部分市中考幾何壓軸題

1、2010部分省市中考幾何壓軸題例1（2010浙江嘉興）如圖，已知O的半徑為1，PQ是O的直徑，n個(gè)相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關(guān)于PQ對(duì)稱，其中第一個(gè)的頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合，第二個(gè)的頂點(diǎn)是與PQ的交點(diǎn)，最后一個(gè)的頂點(diǎn)、在圓上（第23題）（第23題 圖1）（第23題 圖2）（第1題 圖1）（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，求正三角形的邊長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，求正三角形的邊長(zhǎng)；（3）如題圖，求正三角形的邊長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）（1）設(shè)與交于點(diǎn)D，連結(jié)，則，在中，即，解得（2）設(shè)與交于點(diǎn)E，連結(jié)，則，在中，即，解得（3）設(shè)與交于點(diǎn)F，連結(jié)，則，在中，即，解得2（2010 四川南充）如圖，ABC內(nèi)接于

2、O，ADBC，OEBC， OEBC（1）求BAC的度數(shù)（2）將ACD沿AC折疊為ACF，將ABD沿AB折疊為ABG，延長(zhǎng)FC和GB相交于點(diǎn)H求證：四邊形AFHG是正方形（3）若BD6，CD4，求AD的長(zhǎng)AFCDEGHBO【答案】（1）解：連結(jié)OB和OCOEBC，BECEOEBC，BOC90°，BAC45°（2）證明：ADBC，ADBADC90°由折疊可知，AGAFAD，AGHAFH90°，BAGBAD，CAFCAD，BAGCAFBADCADBAC45°GAFBAGCAFBAC90°四邊形AFHG是正方形 （3）解：由（2）得，BHC9

3、0°，GHHFAD，GBBD6，CFCD4設(shè)AD的長(zhǎng)為x，則BHGHGBx6，CHHFCFx4在RtBCH中，BH2CH2BC2，（x6）2（x4）2102解得，x1=12，x22（不合題意，舍去）AD12例3（2010湖北荊門）如圖，圓O的直徑為5，在圓O上位于直徑AB的異側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P，已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在半圓弧AB上運(yùn)動(dòng)（不與A、B兩點(diǎn)重合），過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)（1）求證：AC·CD=PC·BC；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB弧中點(diǎn)時(shí)，求CD的長(zhǎng)； （3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PCD的面積最大？并求出這個(gè)最大面積S。【答案】（

4、1）由題意，AB是O的直徑；ACB=90。，CDCP，PCD=90。ACP+BCD=PCB+DCB=90。，ACP=DCB，又CBP=D+DCB，CBP=ABP+ABC，ABC=APC，APCD，PCADCB；， AC·CD=PC·BC（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB弧的中點(diǎn)時(shí),連接AP，AB是O的直徑，APB=90。，又P是弧AB的中點(diǎn)，弧PA=弧PB，AP=BP，PAB=PBA=45.,又AB=5，PA=，過A作AMCP，垂足為M，在RtAMC中，ACM=45 ，CAM=45，AM=CM=，在RtAMP中，AM2+AP2=PM2，PM=，PC=PM+=。由（1）知：AC·

5、CD=PC·BC ，3×CD=PC×4，CD（3）由（1）知：AC·CD=PC·BC，所以AC：BC=CP：CD；所以CP：CD=3：4，而PCD的面積等于·=，CP是圓O的弦，當(dāng)CP最長(zhǎng)時(shí)，PCD的面積最大，而此時(shí)CP就是圓O的直徑；所以CP=5，3：4=5：CD；CD=，PCD的面積等于·=； 例4（2010 四川成都）已知：如圖，內(nèi)接于O，為直徑，弦于，是AD的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)，分別交、于點(diǎn)、（1）求證：是的外心；（2）若,求的長(zhǎng)；（3）求證：（1）證明：C是AD的中點(diǎn)，AC=CD，CAD=ABCA

6、B是O的直徑，ACB=90°。CAD+AQC=90°又CEAB，ABC+PCQ=90°AQC=PCQ在PCQ中，PC=PQ，CE直徑AB，AC=AEAE=CDCAD=ACE。在APC中，有PA=PC，PA=PC=PQP是ACQ的外心。（2）解：CE直徑AB于F，在RtBCF中，由tanABC=，CF=8，得。由勾股定理，得AB是O的直徑，在RtACB中，由tanABC=，得。易知RtACBRtQCA，。（3）證明：AB是O的直徑，ACB=90°DAB+ABD=90°又CFAB，ABG+G=90°DAB=G；RtAFPRtGFB，即易知

7、RtACFRtCBF，由（1），知PC=PQ，F(xiàn)P+PQ=FP+PC=FC。例5（2010四川 瀘州）(本題滿分10分)如圖9,在平行四邊形ABCD中,E為BC邊上的一點(diǎn),且AE與DE分別平分BAD和ADC.求證:AEDE;設(shè)以AD為直徑的半圓交AB于F,連接DF交AE于G,已知CD=5,AE=8,求的值.(1)證明:在平行四邊形ABCD中,ABCD,BAD+ADC=180°, 又AE、DE平分BAD、ADC， DAE+ADE=90°， AED90°， AEDE. (2)解:在平行四邊形ABCD中,ADBC,AB=CD=5,AD=BC,DAE=BEA, 又DAE=

8、BAE,BEA=BAE,BE=AB=5, 同理EC=CD=5, AD=BC=BE+EC=10, 在RtAED中,DE=6, 又AD為半圓的直徑,AFD=90°,AFD=AED,DAE=FAG,AFGAED, . 例6（2010湖北宜昌）如圖，P是ABC邊AC上的動(dòng)點(diǎn)，以P為頂點(diǎn)作矩形PDEF，頂點(diǎn)D,E在邊BC上，頂點(diǎn)F在邊AB上；ABC的底邊BC及BC上的高的長(zhǎng)分別為a , h,且是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)過D,E,F三點(diǎn)的O的面積為,矩形PDEF的面積為。（1）求證：以a+h為邊長(zhǎng)的正方形面積與以a、h為邊長(zhǎng)的矩形面積之比不小于4；（2）求的最小值；（3）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)

9、，過點(diǎn)A作BC的平行線交直線BP與Q，這時(shí)線段AQ的長(zhǎng)與m , n , k的取值是否有關(guān)？請(qǐng)說明理由。（11分）ACB(第6題)解法一：（1）據(jù)題意，a+h=.所求正方形與矩形的面積之比： 由知同號(hào), 即正方形與矩形的面積之比不小于4.（2）FED=90º,DF為O的直徑.O的面積為：矩形PDEF的面積：面積之比： 設(shè), ，即時(shí)（EF=DE）, 的最小值為MN（3）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，這時(shí)矩形PDEF的四邊相等為正方形過B點(diǎn)過BMAQ，M為垂足，BM交直線PF于N點(diǎn)，設(shè)FP e，BNFE，NFBE,BN=EF,BN =FP =e.由BCMQ,得：BM =AG =h.AQBC, PFBC,

10、AQFP,FBPABQ. ,.線段AQ的長(zhǎng)與m，n，k的取值有關(guān). 解法二：（1）a，h為線段長(zhǎng)，即a，h都大于0，ah （a-h），當(dāng)ah時(shí)等號(hào)成立. 故，（a-h）（ah）a h（ah）a h，（）這就證得（敘述基本明晰即可）（2）設(shè)矩形PDEF的邊PD=x，DE=y，則O的直徑為 . SO=, S矩形PDEF=xy = =由（1）（*）， .的最小值是（3）當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，這時(shí)矩形PDEF的四邊相等為正方形. EF=PF作AGBC，G為垂足.AGBFEB，.AQBFPB, ，=而 EF=PF，AG=AQ=h, AG=h,或者AG=h線段AQ的長(zhǎng)與m，n，k的取值有關(guān).例7（2010廣東清遠(yuǎn)

11、）如下圖，在O中，點(diǎn)P在直徑AB上運(yùn)動(dòng)，但與A、B兩點(diǎn)不重合，過點(diǎn)P作弦CEAB，在上任取一點(diǎn)D，直線CD與直線AB交于點(diǎn)F，弦DE交直線AB于點(diǎn)M，連接CM.（1）如圖10，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與O點(diǎn)重合時(shí)，求FDM的度數(shù). （2）如圖11、圖12，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到與O點(diǎn)不重合時(shí)，求證：FM·OB=DF·MC.解：（1）點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，（如圖10）CE是直徑，CDE90°.CDEFDM180°，F(xiàn)DM90°.（2）當(dāng)點(diǎn)P在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖11）OPCE，CPEP. CMEM.CMPEMP.DMOEMP，CMPDMO.CMPDMCDMODMC，DMFC

12、MO.D所對(duì)的弧是，COM所對(duì)的弧是，DCOM.DFMOCM.FM·OCDF·MC. OBOC，F(xiàn)M·OBDF·MC.當(dāng)點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（如圖12）證法一：連結(jié)AC，AE.OPCE，CPEP.CMEM，CMOEMO.DMFEMO，DMFCMOCDE所對(duì)的弧是，CAE所對(duì)的弧是.CDECAE180°.CDMFDM180°，F(xiàn)DMCAE.圖10 圖11 圖12CAB(P)EOMFDCABPEOFDMOCABPEFDMCAE所對(duì)的弧是，COM所對(duì)的弧是，CAECOM.FDMCOM. DFMOCM.FM·OCDF·MC

13、.OBOC，F(xiàn)M·OBDF·MC.證法二：OPCE，CPEP.CMEM，CMOEMO.DMFEMO，DMFCMOCDE所對(duì)的弧是，CDE度數(shù)的一半的度數(shù)180°的度數(shù).FDM180°CDE180°（180°的度數(shù)）的度數(shù).COM的度數(shù).FDMCOMDFMOCM.FM·OCDF·MC.OBOC，F(xiàn)M·OBDF·MC. 例8(2010湖北黃岡)（15分）已知拋物線頂點(diǎn)為C（1，1）且過原點(diǎn)O.過拋物線上一點(diǎn)P（x，y）向直線作垂線，垂足為M，連FM（如圖）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直線x

14、1上有一點(diǎn)，求以PM為底邊的等腰三角形PFM的P點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明此時(shí)PFM為正三角形；（3）對(duì)拋物線上任意一點(diǎn)P，是否總存在一點(diǎn)N（1，t），使PMPN恒成立，若存在請(qǐng)求出t值，若不存在請(qǐng)說明理由.（1）a1，b2，c0（2）過P作直線x=1的垂線，可求P的縱坐標(biāo)為，橫坐標(biāo)為.此時(shí)，MPMFPF1，故MPF為正三角形.（3）不存在.因?yàn)楫?dāng)t，x1時(shí)，PM與PN不可能相等，同理，當(dāng)t，x1時(shí)，PM與PN不可能相等.例9（2010四川綿陽(yáng)）如圖，拋物線y = ax2 + bx + 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（4，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為DE（1，2）為線段BC的中點(diǎn)，BC的垂直平

15、分線與x軸、y軸分別交于F、G（1）求拋物線的函數(shù)解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）在直線EF上求一點(diǎn)H，使CDH的周長(zhǎng)最小，并求出最小周長(zhǎng)；（3）若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，EFK的面積最大？并求出最大面積CEDGAxyOBF（1）由題意，得 解得，b =1所以拋物線的解析式為，頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，）（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M因?yàn)镋F垂直平分BC，即C關(guān)于直線EG的對(duì)稱點(diǎn)為B，連結(jié)BD交于EF于一點(diǎn)，則這一點(diǎn)為所求點(diǎn)H，使DH + CH最小，即最小為DH + CH = DH + HB = BD = 而 CDH的周長(zhǎng)最小值為CD + DR + CH =設(shè)直線

16、BD的解析式為y = k1x + b，則 解得 ，b1 = 3所以直線BD的解析式為y =x + 3由于BC = 2，CE = BC2 =，RtCEGCOB，得 CE : CO = CG : CB，所以 CG = 2.5，GO = 1.5G（0，1.5）同理可求得直線EF的解析式為y =x +聯(lián)立直線BD與EF的方程，解得使CDH的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)H（，）（3）設(shè)K（t，），xFtxE過K作x軸的垂線交EF于N則 KN = yKyN =（t +）=所以 SEFK = SKFN + SKNE =KN（t + 3）+KN（1t）= 2KN = t23t + 5 =（t +）2 +即當(dāng)t =時(shí)，EFK的

17、面積最大，最大面積為，此時(shí)K（，）例10在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若將經(jīng)過兩點(diǎn)的直線沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱軸是直線（1）求直線及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如果P是線段上一點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）設(shè)的半徑為l，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由并探究：若設(shè)Q的半徑為，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取何值時(shí)，Q與兩坐軸同時(shí)相切？（1）解：（1）沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過原點(diǎn)，。 將 代入，得。解得。直線AC的函數(shù)表達(dá)式為。拋

18、物線的對(duì)稱軸是直線解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。（2）如圖，過點(diǎn)B作BDAC于點(diǎn)D。 ， 。過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E，PECO，APEACO，解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3）（）假設(shè)Q在運(yùn)動(dòng)過程中，存在與坐標(biāo)軸相切的情況。設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。 當(dāng)Q與y軸相切時(shí)，有，即。當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)時(shí)，得， 當(dāng)Q與x軸相切時(shí)，有，即當(dāng)時(shí)，得，即，解得，當(dāng)時(shí)，得，即，解得，。綜上所述，存在符合條件的Q，其圓心Q的坐標(biāo)分別為，。（）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。當(dāng)Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切時(shí)，有。由，得，即，=此方程無(wú)解。由，得，即，解得當(dāng)Q的半徑時(shí)，Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切。例11 （2010重慶）已知：如圖（1），在平面直角坐標(biāo)xOy中，邊長(zhǎng)為2的等邊OAB的頂點(diǎn)B在第一象限，頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上另一等腰OCA的頂點(diǎn)C在第四象限，OCAC，C120°現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、O兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿OC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位的速度沿AOB運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.（1）求在運(yùn)動(dòng)過程中形成的OPQ的面積S與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量t的取值范圍；