對討論題38中等厚干涉裝置的研究

1、對討論題中等厚干涉裝置的研究信息學(xué)院 06級光信一班 蔡菁璐 20061202002對討論題所示裝置，光從正上方入射，可觀察到由A、B所夾空氣膜形成的等厚干涉條紋。設(shè)凹槽最深處的深度為H。建立三維坐標(biāo)如圖。由于空氣膜的厚度在y方向上沒有變化，僅隨x的變化而變化，可知干涉圖樣為一些平行于y軸的亮暗交替的直線。 光 z A R y B h1 (2RHH2)1/2 O x h2 H若想了解干涉條紋在xOy面的具體分布情況，則要求出空氣膜厚度隨x變化的表達(dá)式。設(shè)空氣膜的厚度為h(x)，下面求解其表達(dá)式。分為兩種情況討論，一是空氣膜不超過凹槽范圍，即xR2（RH）21/2=(2RHH2)1/2,另外就是

2、，空氣膜超過凹槽范圍的情況，即x(2RHH2)1/2。當(dāng)(2RHH2)1/2x(2RHH2)1/2時(shí)，截面圓的方程為x2(zR)2=R2。即z=R(R2x2)1/2。h2=Hz=H(R2x2)1/2R。h1=x(2RHH2)1/2tan。h(x)= h1h2=HR(R2x2)1/2x(2RHH2)1/2 tan。當(dāng)x(2RHH2)1/2時(shí)，h(x)=h1=x(2RHH2)1/2tan。綜上所述， HR(R2x2)1/2x(2RHH2)1/2 tanh(x)= (2RHH2)1/2x(2RHH2)1/2x(2RHH2)1/2tan x(2RHH2)1/2若求m級亮紋位置，則令h(x)=m,求m級

3、暗紋位置，則令h(x)=m1/2，求得x即可。為研究條紋的疏密程度，利用h對x求導(dǎo)，所得導(dǎo)數(shù)的絕對值越大，則說明厚度在x方向的變化率越大，條紋越密，反之越疏。當(dāng)(2RHH2)1/2x(2RHH2)1/2時(shí)h(x)=x/(R2x2)1/2tan (2RHH2)1/2x0時(shí)h(x)=1/（R/x）211/2tanx增大，x減小，h(x)減小，條紋變疏。 x=0時(shí)，h(0)= tan，h(x)在x=0處連續(xù)。 0x(2RHH2)1/2時(shí)h(x)=1/（R/x）211/2tanx增大，h(x)繼續(xù)減小。下面又可根據(jù)h(x)能否降為0分為兩種情況。若可達(dá)到h(x)=1/（R/x）211/2tan=0，此

4、時(shí)，x=R/(cot21) 1/2=Rsin。）若Rsin(2RHH2)1/2，隨著x增大，h(x)先減小到0再增大，相應(yīng)的，條紋先變疏,到x= Rsin達(dá)到最疏，之后再變密。）若Rsin(2RHH2)1/2，隨著x增大，h(x)始終減小，條紋繼續(xù)變疏。當(dāng)x(2RHH2)1/2時(shí)，h(x)= tan為常數(shù)，條紋等間距，并且由于h(x)在x=(2RHH2)1/2處不連續(xù)，因此在x= (2RHH2)1/2的左右兩端的條紋間距并無關(guān)系。但可以肯定x(2RHH2)1/2的條紋間距與x=0處的條紋間距相等。下面確定條紋最密和最疏的位置。）若Rsin(2RHH2)1/2，求最密處只需比較h(2RHH2)1

5、/20)= (2RHH2)1/2/（RH）tan和h(2RHH2)1/20)=(2RHH2)1/2/（RH）tan。顯然，h(2RHH2)1/20)h(2RHH2)1/20)，最密處在x=(2RHH2)1/2。最稀處在h(x)=0，即x=Rsin處。）若Rsin(2RHH2)1/2，(2RHH2)1/2x(2RHH2)1/2時(shí)，h(x)始終減小。條紋最密處在x=(2RHH2)1/2，條紋最稀處在x=(2RHH2)1/2。本文只以Rsin(2RHH2)1/2為例畫出干涉圖樣。 y (2RHH2)1/2 (2RHH2)1/2 O x=Rsin由上述分析，可以看到對干涉圖樣有影響。那么，我們可以進(jìn)一

6、步對此題進(jìn)行動態(tài)分析。令在小于/2的范圍內(nèi)從0逐漸增大，分析干涉條紋的變化。=0時(shí)，h(x)=1/（R/x）211/2 （x0），h(x)=0 (x=0)干涉圖樣左右對稱，從左右向中間，條紋由密逐漸變稀疏。 HR(R2x2)1/2x(2RHH2)1/2 tanh(x)= (2RHH2)1/2x(2RHH2)1/2x(2RHH2)1/2tan x(2RHH2)1/2從0逐漸增大，tan增大，h(x)增大，干涉級次增大。條紋最稀疏處x=Rsin逐漸右移。條紋最稀疏處h(x)=0，即h(x)有最大值，條紋有最大級次。因此我們可以看到條紋最稀疏的分界線逐漸右移，并且此線向外逐漸“吐”線，x=0處條紋固定（干涉零級），分界線以右、凹槽右邊界線以左部分h(x)=x/(R2x2)1/2tan條紋變疏、向右移動，凹槽以右h(x)= tan，等間距條紋變密、左移，凹槽右邊界線向里“吞”線。直到條紋最稀疏的分界線到達(dá)凹槽的右邊界，此后以凹槽的右邊界（條紋