(完整版)拉格朗日中值定理教案

1、拉格朗日中值定理教案授課人： *一、 教材分析微積分學(xué)是高等數(shù)學(xué)的重要的部分， 是近代數(shù)學(xué)的偉大成果之一。 它為我們研究函數(shù)和變量提供了重要的方法。 微分中值定理 （羅爾定理， 拉格朗日中值定理，柯西中值定理，泰勒定理等）是微分學(xué)的重要組成部分，在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中起著橋梁作用。拉格朗日中值定理， 建立了函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)之間的定量聯(lián)系， 成為我們討論怎樣由導(dǎo)數(shù)的已知性質(zhì)推斷函數(shù)所具有的性質(zhì)的有效工具。二、教學(xué)重點和難點教學(xué)重點：學(xué)習(xí)羅爾定理，類比探求和理解拉格朗日中值定理。教學(xué)難點：探求拉格朗日中值定理條件，運用定理研究函數(shù)單調(diào)性。三、教學(xué)目標(biāo)1、通過學(xué)習(xí)羅爾定理，類比學(xué)習(xí)理解拉格朗日中值定理，培養(yǎng)學(xué)生

2、分析，抽象，概括，遷移的學(xué)習(xí)能力。2、通過學(xué)習(xí)定理，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的融會貫通，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想，以及嚴(yán)密的思維方法。四、授課過程1、知識回顧費馬定理 ：設(shè)函數(shù) f ( x ) 在 x0 的某領(lǐng)域內(nèi)有定義， 且在 x0 可導(dǎo)。若 x0 為 f的極值點，則必有f (x0 )0 。它的幾何意義在于，若函數(shù)f ( x) 在 xx0 可導(dǎo)，那么在該點的切線平行于 x 軸。2、新科講授首先看一個定理，可以看作是拉格朗日中值定理的引理。（板書） 羅爾定理 : 如果函數(shù) f ( x) 滿足(1) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) ;(2) 在開區(qū)間 a, b 內(nèi)可導(dǎo) ;(3)f (a)f (b) .1那么在a, b

3、 內(nèi)至少存在一點，使得函數(shù)在該點的導(dǎo)數(shù)等于零， 即 f ( )0 .羅爾定理的幾何意義在于： 在每一點都可導(dǎo)的一段連續(xù)曲線上， 如果曲線的兩端高度相同，則至少存在一條水平切線。如圖， f ( x) 的圖像曲線弧AB，點 C 處的切線平行于x 軸，即 f ( 1 )0 。注（1）點 D 處也是符合定理結(jié)論的點 ，故應(yīng)注意原定理中的至少存在一點，而不是唯一存在的。（2）定理的三個條件缺少任何一個，結(jié)論都會不一定成立；接下來看下面三個函數(shù)的圖像：2(1)xx1, 00 ,1y1x 0( 2 )yxx 1,1( 3 )yx 3x0 ,3-11-113（1）（2）（3）然后給出羅爾定理的嚴(yán)格數(shù)學(xué)證明：2

4、證明：因為 f 在 a, b 上連續(xù)，所以必然存在最大值和最小值，分別設(shè)為M , m ，下面分兩種情況來討論：（ 1）若 Mm，則 f 在 a, b 是常函數(shù)，從而結(jié)論顯然成立；（ 2）若 Mm，則因 f af b ，使得最大值 M 和最小值 m 至少有一個是在a,b 內(nèi)某一點處取到，從而是 f 的極值點。而且f 在處可導(dǎo)，由費馬定理可得f ( )0.接下來講授本節(jié)課的主要定理。（板書） 拉格朗日中值定理如果函數(shù) f ( x) 滿足(1) 在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù) ;(2) 在開區(qū)間 a, b 內(nèi)可導(dǎo) ;那么在 a, b 內(nèi)至少存在一點，使得 f b f afb a ，即f bf a(1).

5、fab注：顯然特別的，當(dāng) f (a) f (b) 時，本定理的結(jié)論即為前面羅爾定理的結(jié)論，這表明羅爾定理是拉格朗日中值定理的一個特殊情形。幾何意義： 在滿足定理條件的曲線yf x 上至少有一點P, f，使得該曲線在該點處的切線平行于曲線兩端點的連線AB.3思路條件中與羅爾定理相差 f af bf bf ax a 。弦 AB 的方程為 y f aab用曲線 fx 減去弦 AB 的方程所得曲線a, b 兩端點的函數(shù)值相等。證明作輔助函數(shù) F xf xf bf aaf axbaF x 滿足羅爾定理的三個條件，則在a, b 內(nèi)至少存在一點，使得 F0 。即 ff bf af afb a 。b0 或 f

6、 ba我們把拉格朗日中值定理的結(jié)論的等式（ 1）稱為拉格朗日公式。它還有下面常見的形式f xxf xfxxx其中 01.還可寫為yfxxx ，此式子叫做有限增量公式。它精確表達(dá)了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。作為拉格朗日中值定理的應(yīng)用，有以下推論。推論如果 fx 在區(qū)間 I 上的導(dǎo)數(shù)恒為零，那么 f x在區(qū)間 I 上是一個常數(shù)。證明：在區(qū)間 I 上任取兩點 x1 , x2 且使 x1x2 ，那么由拉格朗日中值定理得，存在x1 , x2 使得f x2f x1fx2x1 .又由已知得 f0 ，fx1f x2 .再加上 x1 , x2 的任意性，所以 fx 在區(qū)間 I上是一個常數(shù)。3、例題 證明當(dāng) x0 時，xln 1xx 。x1證明：設(shè) f xln 1x， fx在 0, x上滿足拉格朗日中