小學(xué)奧數(shù)必須掌握的30個(gè)知識(shí)模塊匯總值得收藏

1、小學(xué)奧數(shù)必須掌握的30個(gè)知識(shí)模塊匯總值得收藏1和差倍問(wèn)題和差問(wèn)題 和倍問(wèn)題 差倍問(wèn)題已知條件 幾個(gè)數(shù)的和與差 幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù) 幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍 已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式 (和差÷2=較小數(shù)較小數(shù)差=較大數(shù)和較小數(shù)=較大數(shù)(和差÷2=較大數(shù)較大數(shù)差=較小數(shù)和較大數(shù)=較小數(shù)和÷(倍數(shù)1=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)和小數(shù)=大數(shù)差÷(倍數(shù)-1=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)差=大數(shù)關(guān)鍵問(wèn)題 求出同一條件下的和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù)2年齡問(wèn)題的三個(gè)基本特征：兩個(gè)人的年齡差是不變的；兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；兩個(gè)人的年齡的

2、倍數(shù)是發(fā)生變化的；3歸一問(wèn)題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語(yǔ)來(lái)表示。關(guān)鍵問(wèn)題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；4植樹(shù)問(wèn)題基本類型 在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都植樹(shù) 在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，兩端都不植樹(shù)在直線或者不封閉的曲線上植樹(shù)，只有一端植樹(shù) 封閉曲線上植樹(shù)基本公式 棵數(shù)=段數(shù)1棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)1棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)棵距×段數(shù)=總長(zhǎng)關(guān)鍵問(wèn)題 確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系5雞兔同籠問(wèn)題基本概念：雞兔同籠問(wèn)題又稱為置換問(wèn)題、假設(shè)問(wèn)題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來(lái)；基本思路

3、：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；再根據(jù)這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)×總頭數(shù)總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問(wèn)題：找出總量的差與單位量的差。7 |0 m- O  c7 |9 ' z8 f6盈虧問(wèn)題 基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)

4、生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭?#160;9 D+ z" T. B/ 9 K7 K5 y基本思路：先將兩種分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化，根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量 * c7 o- V# W% b( k基本題型： 4 f7 # T  F1 I% O一次有余數(shù)，另一次不足； ( V* K9 k; g* A" x q基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差 ( e( v2 Z4 o, g4 I

5、- I4 Z- s當(dāng)兩次都有余數(shù)； 基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差 當(dāng)兩次都不足； ( B! q, a8 i P" z' Q基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差 基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。 8 w: % f3 z  h5 R1 _! 關(guān)鍵問(wèn)題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。 7牛吃草問(wèn)題 基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度

6、和總草量。 : x* B1 W; V7 K; f基本特點(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的； . N9 L1 w1 / O- z3 B關(guān)鍵問(wèn)題：確定兩個(gè)不變的量。 0 L8 r1 d- H. S6 L. Y9 U6 R% Y9 d基本公式：   J- C3 R: p  l# x6 C2 生長(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間×短時(shí)間牛頭數(shù)）÷（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）； 總草量=較長(zhǎng)時(shí)間×長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間×生長(zhǎng)量； 8周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律 

7、, X2 + q; y  S/ w8 c6 M周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。 7 m0 s8 G7 Y# ' A f+ 周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間叫周期。 關(guān)鍵問(wèn)題：確定循環(huán)周期。 閏 年：一年有366天； 4 4 V9 _$ G$ H |年份能被4整除；如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除； 平 年：一年有365天。 4 U1 g. X, s; b年份不能被4整除；如果年份能被100整除，但不能被400整除； * q' X, x+ V8

8、I5 c+ $ J  O; P B5 d7 f; ; d1 a1 z9平均數(shù) " N  " c+ J, j9 基本公式：平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù) 總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù) + k' B8 h' y1 A# d總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù) 9 w, d& j- U 3 o平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和÷總份數(shù) 基本算法： $ y7 E: G2 y6 C/   4 * C求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本

9、公式進(jìn)行計(jì)算. / e  7 z& k% T9 c基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見(jiàn)基本公式。 . J" L2 H: 10抽屜原理 抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在n個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。 例：把4個(gè)物體放在3個(gè)抽屜里，也就是把4分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況： 4

10、=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1 觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2個(gè)或多于2個(gè)物體，也就是說(shuō)必有一個(gè)抽屜中至少放有2個(gè)物體。 抽屜原則二：如果把n個(gè)物體放在m個(gè)抽屜里，其中n>m，那么必有一個(gè)抽屜至少有: k=n/m +1個(gè)物體：當(dāng)n不能被m整除時(shí)。  7 ; X& d# Q$ R2 r( - g, mk=n/m個(gè)物體：當(dāng)n能被m整除時(shí)。 5 x' D9 d% " Y1 G* p  x理解知識(shí)點(diǎn)：X表示不超過(guò)X的最大整數(shù)。&#

11、160;例4.351=4；0.321=0；2.9999=2； 關(guān)鍵問(wèn)題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。11定義新運(yùn)算 2 L$ H2 v# 5 f2 F% |基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合）運(yùn)算。 * d6 N" t+ ; r0 E6 . b6 T; B% n( 基本思路：嚴(yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過(guò)程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。 3 c; d+ j, A$ D關(guān)鍵問(wèn)題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。 2 w

12、9; q! : G; Y$ T* p3 L3 # K注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。 每個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。 12數(shù)列求和 , n/ L; ! J, e" a, + h等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。 基本概念：首項(xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用a1表示； 項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用n表示；   i$ w! w: _" 1 c, m公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用d表示；  B3 O&

13、#39; N. v. W. H3 p% x通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用an表示； + T& A/ 2 E- r; l* a: h$ l0 w% a數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示 基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。 基本公式：通項(xiàng)公式：an = a1+（n1）d； 通項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)一1 ×公差； 數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an×n÷2；&

14、#160;( i- G,   c+ s數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2； 項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1÷d1； : P$ w+ y8 d l7 B項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差1； " ?# u$ X5 4 G, O, _# A8 t公差公式：d =（ana1）÷（n1）； 公差=（末項(xiàng)首項(xiàng)）÷（項(xiàng)數(shù)1）； 關(guān)鍵問(wèn)題：確定已知量和未知量，確定使用的公式； 2 U( D0 l1 v V% l; |5 J4 X2 ?- x7 ! e& K7 d/

15、a13二進(jìn)制及其應(yīng)用 十進(jìn)制：用09十個(gè)數(shù)字表示，逢10進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。 =An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+A3×102+A2×101+A1×100 7 L  g/ e2 A- F0 M/ I( s+ u注意：N0=；N=N

16、（其中N是任意自然數(shù)） 5 f n7 , i& D5 E0 v8 |% J+ Z d4 H" D. ' U w# A; f% J6 X二進(jìn)制：用01兩個(gè)數(shù)字表示，逢2進(jìn)1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。 3 S! d' c5 A7 W- w% X, ?6 C7 （2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7 +A3×22+A2×21+A1×20 % T$

17、 9 O' % i" v- x注意：An不是0就是1。 & I; t, Q8 L: ' ?7 h十進(jìn)制化成二進(jìn)制： 根據(jù)二進(jìn)制滿2進(jìn)1的特點(diǎn)，用2連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫(xiě)出即可。 5 n. y( Y  z8 P1 S" Q2 _# v先找出不大于該數(shù)的2的n次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進(jìn)制展開(kāi)式特點(diǎn)即可寫(xiě)出。  W' # , N2 F1 : W14加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù) + C% w

18、3 U# w" L9 y' _加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法，在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2. +mn種不同的方法。 7 E3 0 m0 H& / K# K關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的分類方法。 7 L5 , x6 ?& c: D O q$ 基本特征：每一種方法都可完成任務(wù)。 . |0 Q2 2 P$ 6 z" s乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成n個(gè)步驟進(jìn)行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方

19、法不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1×m2. ×mn種不同的方法。 關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作的完成步驟。 " i% Z7 A8 o4 d3 B+ i& s基本特征：每一步只能完成任務(wù)的一部分。 ( I# | r1 A/ " L1 _' ?直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。   J4 r/ t8 y$ K ?2 Y0 h直線特點(diǎn)：沒(méi)有端點(diǎn)，沒(méi)有長(zhǎng)度。 線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。  J

20、3 . _6 |/ F線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。 射線：把直線的一端無(wú)限延長(zhǎng)。 8 P7 M9 Y4 3 u: k6 c: ?+ A射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒(méi)有長(zhǎng)度。 數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)1+2+3+（點(diǎn)數(shù)一1）； 數(shù)角規(guī)律=1+2+3+（射線數(shù)一1）； 數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)×寬的線段數(shù)： : Y. H( | l9 W0 o3 A% 6 q數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=1×1+2×2+3×3+行數(shù)×列數(shù) 1 h& h0 D. A0 0 g8 l" t6 x0

21、 D/ W& X' C15質(zhì)數(shù)與合數(shù) % |- x4 d1 & R質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，沒(méi)有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。 合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了1和它本身之外，還有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。 / 8 t- l7 M& M質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。 分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。 ! S" b# e5 ?5 |" r分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：N=，

22、其中a1、a2、a3an都是合數(shù)N的質(zhì)因數(shù)，且a1 。   求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式： P =( r1+1×(r2+1×(r3+1××(rn+1  - S& g3 O1 Q& B9 ?/ R. U' L! v6 I 互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 1 ，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。 16約數(shù)與倍數(shù) 約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。 % d% h( q3 k% ' l+ l公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。&

23、#160;最大公約數(shù)的性質(zhì)： 1、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。 2、 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。 . K 2 j" 2 F' L+ g3 & : x3、 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。 / k/ h+ x( x& 4、 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以m。 & |% E" v* 9 ! | t例如：12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12； 7 O- F% z4 i% B18的約數(shù)有：1、2

24、、3、6、9、18； 9 Z. 9 _- 3 L' m那么12和18的公約數(shù)有：1、2、3、6； 那么12和18最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6； : M+ & R6 T- E6 求最大公約數(shù)基本方法： $ W0 D; l( m: _4 o B6 u. F5 q1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來(lái)。 8 r; E/ v0 O6 A9 T. K8 s2、短除法：先找公有的約數(shù)，然后相乘。 + n3 V7 C- N  ' 6 v3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相

25、除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。 公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。 12的倍數(shù)有：12、24、36、48； 18的倍數(shù)有：18、36、54、72； 那么12和18的公倍數(shù)有：36、72、108； 那么12和18最小的公倍數(shù)是36，記作12，18=36； 最小公倍數(shù)的性質(zhì)： , J# T# L; O" Q2 O# w' W& d1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。 2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這

26、兩個(gè)數(shù)的乘積。 6 3 y5 b  e( J9 v1 f求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法 17數(shù)的整除 * a  _1 4 m# T' C; g一、基本概念和符號(hào)： " W+ e5 2 N* % R+ S1、整除：如果一個(gè)整數(shù)a，除以一個(gè)自然數(shù)b，得到一個(gè)整數(shù)商c，而且沒(méi)有余數(shù)，那么叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。 * C% l5 W( R$ N7 2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“”；因?yàn)榉?hào)“”，所以的符號(hào)“”； 9 Z

27、% n1 P3 & C; W# T  L$ 二、整除判斷方法： 1. 能被2、5整除：末位上的數(shù)字能被2、5整除。 : j. V0 m r' G/ i2. 能被4、25整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被4、25整除。 3. 能被8、125整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被8、125整除。 & r7 T o7 c% Z; k& V4. 能被3、9整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被3、9整除。 5. 能被7整除： 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成數(shù)之差能被7整除。 5 t+

28、 R3 g0 l  4 L6 s. , V逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的2倍后能被7整除。 6. 能被11整除： * x! f. T! / _4 a末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被11整除。 : J9 o% Y$ p奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被11整除。 逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被11整除。 7. 能被13整除： " k/ K. i P7 m2 T5 q# 末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被13整除。  f3 D

29、+ o6 D! I逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的9倍后能被13整除。三、整除的性質(zhì)： 0 y3 U& p$ a2 e! K1. 如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。 2. 如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么a乘以c也能被b整除。 ( _/ d/ r A9 D; W. w3. 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。 4. 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數(shù)整除。 / G0 B7 P# S  d3 g7 E# p, 0 n* _. Q$ L18余數(shù)及其應(yīng)用&

30、#160;基本概念：對(duì)任意自然數(shù)a、b、q、r，如果使得a÷b=qr，且0 那么 r 叫做 a 除以 b 的余數(shù)， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。   余數(shù)的性質(zhì)：   # _# m1 R2   % E3 s 余數(shù)小于除數(shù)。   若 a 、 b 除以 c 的余數(shù)相同，則 c|a-b 或 c|b-a 。   2 Y3 x    ! Q g5 s a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)加上 b 除以 c 的余數(shù)的和除以 c 的余數(shù)。   - l1 8 V- v6 R a 與

31、 b 的積除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)與 b 除以 c 的余數(shù) 的積除以 c 的余數(shù)。   19 余數(shù)、同余與周期   + $ b& f3 ( E' O( M 一、同余的定義：   - 3 F! r* B* H! & K' X/ U 若兩個(gè)整數(shù) a 、 b 除以 m 的余數(shù)相同，則稱 a 、 b 對(duì)于模 m 同余。   % r m8 - D  A' 已知三個(gè)整數(shù) a 、 b 、 m ，如果 m|a-b ，就稱 a 、 b 對(duì)于模 m 同余，記作 ab (mod m ，讀作 a 同余

32、于 b 模 m 。     y- P, t- s9 c' x0 y 二、同余的性質(zhì)：   自身性： aa (mod m ；   對(duì)稱性：若 ab (mod m ，則 ba (mod m ；   傳遞性：若 ab (mod m ， bc (mod m ，則 a c(mod m ；   6 I8 H. H; C! X8 b 和差性：若 ab (mod m ， cd (mod m ，則 a+cb+d (mod m ， a-cb-d (mod m ；   相乘性：若 a b(mod m ， cd (mod m ，則

33、 a×c b×d (mod m ；   乘方性：若 ab (mod m ，則 anbn (mod m ；   # j0 o& H* Q1 U2 |8 m$ S% b 同 倍 性 : 若 a b(mod m ，整數(shù) c ，則 a×c b×c (mod m×c ；   6 0 T* k& f( r2 三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：   若 A= a×b ，則 MA= Ma×b = （ Ma ） b   若 B= c+d 則 MB= Mc+d = Mc×Md &

34、#160; 四、被 3 、 9 、 11 除后的余數(shù)特征：   , b   k : E! ?+ v. 一個(gè)自然數(shù) M ， n 表示 M 的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則 Mn (mod 9 或（ mod 3 ）；   + t( R. b. .   i 一個(gè)自然數(shù) M ， X 表示 M 的各個(gè) 奇數(shù)位 上數(shù)字的和， Y 表示 M 的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 MY-X 或 M11- （ X-Y ） (mod 11 ；   五、費(fèi)爾馬小定理：如果 p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)）， a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除，則 ap-11(mod p

35、。   , o2 L1 Z# p1 & I1 U7 K6 b7 u8 20 分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用   基本概念與性質(zhì)：   分?jǐn)?shù)：把單位 “1” 平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。   分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（ 0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。   分?jǐn)?shù)單位：把單位 “1” 平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。   ; e" D. S$ b/ - d 百分?jǐn)?shù)：表示 一 個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。   $ A9 e! k7 Y/ Y+ 4 M 常用方法：   逆向思維方法：

36、從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。   對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。   1 b. M: X  G0 o& # u3 q! N1 R" B 轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見(jiàn)的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見(jiàn)的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。   假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。 

37、0; 量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況： A 、分量發(fā)生變化，總量不變。 B 、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。 C 、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。   5 G6 I% c1 a& C# V8 a9 J. H 替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量 率關(guān)系 明朗化。   同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。   4 l. f% z5 q4 m+ Y" V" A 濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都

38、發(fā)生變化的狀況。   ! 2 B- R. w& O; H* 7 U 21 分?jǐn)?shù)大小的比較   基本方法：   4 H- w: z& g3 8 w 通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。   通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較。     A9 t! p# 3 P: 基準(zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。   分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的 差一定 時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。   倍率比較法： 當(dāng)比較

39、兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見(jiàn)同倍率變化規(guī)律）   5 u# W9 t: p: m% P9 S 轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。   5 g' l: d r2 D3 d; T6 倍數(shù)比較法：用 一 個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和 1 進(jìn)行比較。   大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和 0 比較。   倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小。   , j! K( z2 y+ S, l$ D: z 基準(zhǔn)數(shù)比較法：確

40、定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。 22分?jǐn)?shù)拆分 一、 將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：  =+； + f( H, U9 z5 e" r+ h3 V=+（d為自然數(shù)）； 23完全平方數(shù) 完全平方數(shù)特征： 5 l/ O- c# * R  j0 F1. 末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。 9 Y" j( R# R+ z- f6 p2. 除以3余0或余1；反之不成立。 3. 除以4余0或余1；反之不成立。 - W; X- R, 3 g+ f-

41、K7 |9 o4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。 / * I( _$ x$ Y/ N2 C8 ?6 O1 _5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。 ( I6 K2 ?$ i1 G! x# X9 d6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。 7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。 ! j# J  t4 r, L- I3 y0 b+ b平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y） - y. |5 _ j' |& H+ l8 j# U完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

42、0;4 F- V, - G! W$ B  e5 j$ t# - |完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2   j1 P1 I* o7 j% v' h" E5 N9 w24比和比例 比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。 ' |" 7 b7 , p% g( r3 O比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。 比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。 比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d

43、或 ! n9 W n- 4 2 Y& 比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘，ad=bc。 正比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也擴(kuò)大或縮小幾倍（AB的商不變時(shí)），則A與B成正比。 9 T% e$ F" . f反比例：若A擴(kuò)大或縮小幾倍，B也縮小或擴(kuò)大幾倍（AB的積不變時(shí)），則A與B成反比。 7 D3 R+ N( Q: J0 X( f& q 比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。 按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。 5 M0 y7 R# t3 z+ ( 25綜合行程 基本概

44、念：行程問(wèn)題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系. 基本公式：路程=速度×時(shí)間；路程÷時(shí)間=速度；路程÷速度=時(shí)間 8 N! 0 z" D( n* D. q關(guān)鍵問(wèn)題：確定運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的位置和方向。   2 t( 3 C/ % m4 u% J6 e4 ?相遇問(wèn)題：速度和×相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫(xiě)出其他公式） # V4 b* 1 Q8 b O* m# W追及問(wèn)題：追及時(shí)間路程差÷速度差（寫(xiě)出其他公式） 流水問(wèn)題：順?biāo)谐?（船速+水速）×

45、;順?biāo)畷r(shí)間 : e8 J5 i/ W5 E% h7 d逆水行程=（船速-水速）×逆水時(shí)間 順?biāo)俣?船速+水速 # 1 x4 y7 k( q4 A' 逆水速度=船速-水速 # v" Z3 f8 v3 T  o0 _; 靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 9 2 W$ L- d/ t水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2 流水問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。 & , v4 _/ b5 i% _4 Z$ t過(guò)橋問(wèn)題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路

46、程，參照以上公式。 主要方法：畫(huà)線段圖法 , Z. q0 T  K3 c6 R: $ J+ X基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。 8 $ h8 B  % ( g  u% l+ d7 a% D+ C$ w+ c1 m9 9 N26工程問(wèn)題 基本公式： + U. 4 g2 G  h* F9 工作總量=工作效率×工作時(shí)間 + x# f8 h0 Q" y

47、0; n1 G* 9 T工作效率=工作總量÷工作時(shí)間 工作時(shí)間=工作總量÷工作效率 基本思路： 8 E/ T. 9 B b+ w+ , x7 G假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無(wú)關(guān)）； 假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間. 關(guān)鍵問(wèn)題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。 : U. x e1 f$ X& w2 n! h+ D2 W經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。( K$ O1 e/ z1 5 d% l4 I7 i |& a4 Y27邏輯推理  N' K% G# D3 基本方法簡(jiǎn)介： 條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷，如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說(shuō)明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè)a是偶數(shù)成立，在判斷過(guò)程中出現(xiàn)了矛盾，那么a一定是奇數(shù)。 . . R; |( w v條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來(lái)輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的