微積分B(2)第6次習題課參考答案(第一型曲線、曲面積分)

1、 微積分 B（2）第 6 次習題課 3 6/9 （2）當考慮 在 yOz 坐標面上的投影區(qū)域時，情況如何？請寫出計算過程？ （3）一般地，柱面上的曲面積分在柱坐標系中的計算會相對簡單一些，對本題的情況， 由于 ： x = cos , 3 y = sin , 0 z = z, 2, 0 z 2 + cos ，所以 2 0 xdS = 3 d 2 + cos 0 cos cos 2 + sin 2 + 02 dz = 12 （面積分的概念、性質、幾何意義） 設曲面 : x + y + z = 1 ，計算曲面積分 I = ( x + y dS 解法 1： 因為曲面 在每一卦限中是一個邊長等于 2 的

2、正三角形，所以 的面積為 3 =4 3 8× 2 因為曲面 關于 yOz 平面對稱，所以 xdS = 0 ，且 y dS = x dS = z dS 故 I= 1 y dS = ( y dS + 3 y + z dS = x dS + z dS = 1 3 ( x + 1 4 3 dS = 3 3 解法 2：利用物理意義 利用曲面 的對稱性，得 I= ( x + y dS = 8 ydS 1 ， 其中 是曲面 在第一卦限中的部分 1 1 1 因為三角形 的面積為 23 ，重心為 ( x , y , z = (1 , , ，所以 3 3 3 1 ydS = y 1 3 3 = 2 6

3、所以 I = 8 63 = 4 33 解法 3：利用二重積分 利用曲面 的對稱性，得 微積分 B（2）第 6 次習題課 I= 7/9 ( x + y dS = 8 ydS 1 ， 其中 是曲面 在第一卦限中的部分 因為三角形 的方程為 z = 1 x y ， ( x, y D = ( x, y x + y 1, x 0, y 0 ，所以 1 1 ydS = y 1 D 3dxdy = 3 dx 0 1 1 x 0 ydy = 3 6 所以 I = 8 63 = 4 33 13 （面積分的性質、計算） 設 為曲面 x + y + z = a ( x 0, y 0, z 0 ，計算曲面積分 I =

4、 xyz ( y z + z x + x y dS 解：直接化為二重積分計算 因為 z = a x y ，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a z z dS = 1 + + dxdy = dxdy 2 x y a x2 y2 2 2 記 D = ( x, y x 2 + y2 a , x 0, y 0 ，則 2 I = xyz ( y 2 z 2 + z 2 x 2 + x 2 y 2 dS = 3 xyz x 2 y 2 dS = 3 x3 y 3 a 2 x 2 y 2 D a a x2 y 2 2 dxdy = 3a 2 d r 3 cos3 r 3 sin 3

5、rdr = 3a 0 0 a a8 8 2 0 cos3 sin 3 d = Remark：根據輪換對稱性，得 xyz x 3a 9 1 a 9 = 8 12 32 2 y 2 dS = xyz y 2 z 2 dS = xyz z 2 x 2 dS （微分學幾何應用，面積分的性質、幾何意義、計算） 14 設 P 為橢球面 S：x + y + z yz = 1 上的動點，若 S 在點 P 處的切平面與 xOy 坐標面垂 2 2 2 直，求點 P 的軌跡 C ，并計算曲面積分 I = ( x + 3 y 2 z 4 + y 2 + z 2 4 yz dS ，其中 是橢球面 S 位于 微積分 B（

6、2）第 6 次習題課 8/9 曲線 C 上方的部分 分析：本題考查了多元微分學的幾何應用、第一型曲面積分化為二重積分的方法和二重積分 的性質等內容 解：橢球面 S：x + y + z yz = 1 在點 P 處的法向量是 n = (2 x, 2 y z, 2 z y ， xOy 坐標面的法向量是 k = (0, 0,1 S 在點 P 處的切平面與 xOy 坐標面垂直的充分必要條件是 n k = 2z y = 0 2 2 2 所以點 P 的軌跡 C 的方程為 即 取 2 z y = 0, 2 3 2 x + y = 1. 4 2 z y = 0, 2 2 2 x + y + z yz = 1.

7、D = ( x, y x 2 + 2 3 2 y 4 2 1 ，記曲面 的方程為 z = z( x, y, ( x, y D 2 2 由于 4 + y 2 + z 2 4 yz 2x 2 y z z z 1+ + = 1+ + = y 2z x y y 2z y 2z I = D ，所以 ( x + 3 y 2 z 4 + y 2 + z 2 4 yz 4 + y 2 + z 2 4 yz dxdy = ( x + 3dxdy y 2z D 因為 xdxdy = 0 ， 3dxdy = 2 ，所以 I = ( x + 3dxdy = 2 15 （面積分的計算） 設函數 f ( x 連續(xù)，曲面

8、: x + y + z = 1 求證： D D D 2 2 2 證：設 M ( x, y, z 為球面 上的點，記 r = xi + yj + zk ， l = ai + bj + ck ，則 r =1， l = a + b + c ， ax + by + cz = l r = l r cos = a + b + c cos ， 其中 為 l 與 r 的夾角 所以 f (ax + by + czdS = f ( a + b + c cos dS f (ax + by + czdS = 2 1 1 f ( a 2 + b 2 + c 2 t dt 2 2 2 2 2 2 2 2 2 微積分 B（2）第 6 次習題課 9/9 以直角坐標系的原點為原點，以向量 l 的方向為 z 軸方向建立球坐標系，球面 的球坐 標方程為 x = sin cos , y = sin sin , 0 z = cos , ， 0 2 所以 dS = A2 + B 2 + C 2 = sin d d ， f