一元二次方程應(yīng)用題題型匯總含答案

1、Z 一元二次方程應(yīng)用題經(jīng)典題型匯總、增長(zhǎng)率問題例1恒利商廈九月份的銷售額為 200萬元，十月份的銷售額下降了 20%，商廈從一月份起加強(qiáng)管理，改善經(jīng)營(yíng)，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達(dá) 到了 193.6萬元，求這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率解 設(shè)這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是X.，則根據(jù)題意，得200(1 20%)(1+ x)2 =193.6，即(1+x)2= 1.21，解這個(gè)方程, 得 X1 = 0.1 ， X2 = 一 2.1 (舍去).答這兩個(gè)月的平均增長(zhǎng)率是10%.說明 這是一道正增長(zhǎng)率問題,對(duì)于正的增長(zhǎng)率問題，在弄清楚增長(zhǎng)的次數(shù)和問題中每一個(gè)數(shù)據(jù)的意義，即可利用公式m(1+x)2 = n求解，其中

2、m v n.對(duì)于負(fù)的增長(zhǎng)率問題，若經(jīng)過兩次相等下降后，則有公式m(1 X)2 = n即可求解，其中 m >n.二、商品定價(jià)例2益群精品店以每件21元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品，該商品可以自行定價(jià)，若每件商品售價(jià)a元，則可賣出(350 10a)件，但物價(jià)局限定每件商品的利潤(rùn)不得超過20%，商店計(jì)劃要盈利400元，需要進(jìn)貨多少件？每件商品應(yīng)定價(jià)多少?解 根據(jù)題意，得(a 21)(350 10a) = 400，整理，得 a2 56a+775 = 0，解這個(gè)方程，得a1 = 25，a2 = 31.因?yàn)?1 X (1+20%) = 25.2，所以a2=31不合題意，舍去.所以 350 10a= 350 1

3、0 X 25 = 100 (件).答 需要進(jìn)貨100件，每件商品應(yīng)定價(jià)25元.說明 商品的定價(jià)問題是商品交易中的重要問題，也是各種考試的熱點(diǎn)三、儲(chǔ)蓄問題例3王紅梅同學(xué)將1000元壓歲錢第一次按一年定期含蓄存入“少兒銀行”，到期后將本金和利息取出， 并將其中的500元捐給“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，這時(shí)存款的年利率已下調(diào)到第一次存款時(shí)年利率的90%，這樣到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款時(shí)的年利率.(假設(shè)不計(jì)利息稅)解 設(shè)第一次存款時(shí)的年利率為X.則根據(jù)題意，得1000(1+ X) 500(1+0.9 X)= 530.整理，得90x2+145 x-3 =0.解這個(gè)方程，

4、得X仔0.0204 = 2.04%，X2 1.63.由于存款利率不能為負(fù)數(shù),所以將X21.63舍去.答 第一次存款的年利率約是2.04%.說明 這里是按教育儲(chǔ)蓄求解的，應(yīng)注意不計(jì)利息稅四、趣味問題例4 一個(gè)醉漢拿著一根竹竿進(jìn)城，橫著怎么也拿不進(jìn)去，量竹竿長(zhǎng)比城門寬4米，旁邊一個(gè)醉漢嘲笑他，你沒看城門高嗎，豎著拿就可以進(jìn)去啦，結(jié)果豎著比城門高2米，二人沒辦法，只好請(qǐng)教聰明人，聰明人教他們二人沿著門的對(duì)角斜著拿，二人一試，不多不少剛好進(jìn)城，你知道竹竿有多長(zhǎng)嗎?解 設(shè)渠道的深度為xm，那么渠底寬為(x+0.1)m，上口寬為(x+0.1+1.4)m.則根據(jù)題意，得(X+0.1+ x+1.4+0.1)

5、X=1.8，整理，得 x2+0.8x 1.8 = 0.解這個(gè)方程，得 Xi = 一 1.8 （舍去），X2 = 1.所以 X+1.4+0.1 = 1+1.4+0.1= 2.5.答 渠道的上口寬2.5m，渠深1m.說明 求解本題幵始時(shí)好象無從下筆， 但只要能仔細(xì)地閱讀和口味， 就能從中 找到等量關(guān)系，列出方程求解五、古詩問題例5讀詩詞解題：（通過列方程式，算出周瑜去世時(shí)的年齡）大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流數(shù)人物;而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù);十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符;哪位學(xué)子算得快，多少年華屬周瑜?解設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為X，則十位數(shù)字為X 3.則根據(jù)題意，得X2 = 10（x 3）

6、+x，即卩x2-11x+30 = 0，解這個(gè)方程，得X = 5當(dāng)x = 5時(shí)，周瑜的年齡25歲，非而立之年，不合題意，舍去;當(dāng)x = 6時(shí)，周瑜年齡為36歲，完全符合題意.答 周瑜去世的年齡為36歲.六、象棋比賽例6象棋比賽中，每個(gè)選手都與其他選手恰好比賽一局，每局贏者記輸者記0分.如果平局，兩個(gè)選手各記1分，領(lǐng)司有四個(gè)同學(xué)統(tǒng)計(jì)了中全部選手的得分總數(shù)，分別是1979，1980，1984，1985.經(jīng)核實(shí)，有一位同學(xué)統(tǒng)計(jì)無誤.試計(jì)算這次比賽共有多少個(gè)選手參加解 設(shè)共有n個(gè)選手參加比賽，每個(gè)選手都要與(n - 1)個(gè)選手比賽一局,共計(jì)n(n -1)局，但兩個(gè)選手的對(duì)局從每個(gè)選手的角度各自統(tǒng)計(jì)了一次

7、，因此實(shí)際比賽總局?jǐn)?shù)應(yīng)為2n(n - 1)局.由于每局共計(jì)2分，所以全部選手得分總共為n(n - 1)分.顯然(n - 1)與n為相鄰的自然數(shù)，容易驗(yàn)證，相鄰兩自然數(shù)乘積的末位數(shù)字只能是0，2，6，故總分不可能是1979，1984，1985，因此總分只能是1980，于是由 n(n 1) = 1980，得 n2-n 1980 = 0，解得 m = 45，n2 = 44(舍去).答參加比賽的選手共有45人.說明類似于本題中的象棋比賽的其它體育比賽或互贈(zèng)賀年片等問題,都可以仿照些方法求解.七、情景對(duì)話例7春秋旅行社為吸引市民組團(tuán)去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游，推出了如圖1對(duì)話中收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn).某單位組織員工去天水灣風(fēng)

8、景區(qū)旅游，共支付給春秋旅行社旅游費(fèi)用27000元.請(qǐng)問該單位這次共有多少員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游?解 設(shè)該單位這次共有x名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.因?yàn)?000 X 25 = 25000< 27000 ,所以員工人數(shù)一定超過25人.則根據(jù)題意，得1000 20(x 25) x = 27000.整理，得 X2 75X+1350 = 0,解這個(gè)方程，得 Xi = 45 , X2= 30.當(dāng) X = 45 時(shí)，1000 20(x 25) = 600 < 700，故舍去 Xi ；當(dāng) X2 = 30 時(shí)，1000 20( X 25) = 900 > 700，符合題意.答：該單位這次共有30

9、名員工去天水灣風(fēng)景區(qū)旅游.說明 求解本題要時(shí)刻注意對(duì)話框中的數(shù)量關(guān)系，求得的解還要注意分類討 論，從中找出符合題意的結(jié)論八、等積變形例8將一塊長(zhǎng)18米，寬15米的矩形荒地修建成一個(gè)花園（陰影部分）所占的 面積為原來荒地面積的三分之二.（精確到0.1m ）（1 ）設(shè)計(jì)方案1 （如圖2）花園中修兩條互相垂直且寬度相等的小路（2）設(shè)計(jì)方案2 （如圖3）花園中每個(gè)角的扇形都相同以上兩種方案是否都能符合條件 ？若能，請(qǐng)計(jì)算出圖2中的小路的寬和圖3中扇形的半徑；若不能符合條件，請(qǐng)說明理由解 都能.（1 ） 設(shè)小路寬為 X，貝y 18X+16 X X2X18 X15 ,X2 34X+180 = 0,34 +

10、 7«6解這個(gè)方程，得X =2 ，即X6.6.(2) 設(shè)扇形 半徑為則 3.14 r2X18 X15 ,r2 57.32，所以 r 76說明等積變形一般都是涉及的是常見圖形的體積，面積公式；其原則是形變積不變；或形變積也變，但重量不變，等九、動(dòng)態(tài)幾何問題例9 如圖4所示，在 ABC 中，/ C= 90?/SPAN> , AC = 6cm , BC= 8cm , 點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn) Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng).(1 )如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使PCQ的面積為8平方厘米?(2 )點(diǎn)P、Q在移動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻

11、,使得 PCQ的面積等于 ABC的面積的一半.若存在，求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；若不存在,說明理由因 為/ C90?/S PANAB10 (cm ).(1)設(shè) xs 后，可使 PCQ 的面積為 8cm 2,所以 AP = xcm , PC= (6 x)cm ,CQ= 2xcm.則根據(jù)題意，得 (6 x) 2x= 8.整理，得x2 6X+8 = 0,解這個(gè)方程，得xi = 2, X2= 4.所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使 PCQ的面積為8cm 2.(6 x) 2x =(2)設(shè)點(diǎn)P出發(fā)x秒后， PCQ的面積等于 ABC面積的一半.則根據(jù)題意，得6 X 8.整理，得 x2 6X+12 = 0.由于此方程

12、沒有實(shí)數(shù)根，所以不存在使 PCQ的面積等于ABC面積一半的時(shí)說明 本題雖然是一道動(dòng)態(tài)型應(yīng)用題， 但它又要運(yùn)用到行程的知識(shí)， 求解時(shí)必 須依據(jù)路程=速度X時(shí)間.十、梯子問題例10(2)一個(gè)長(zhǎng)為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端距墻角6m.若梯子的頂端下滑1m，求梯子的底端水平滑動(dòng)多少米?若梯子的底端水平向外滑動(dòng)1m，梯子的頂端滑動(dòng)多少米?如果梯子頂端向下滑動(dòng)的距離等于底端向外滑動(dòng)的距離，那么滑動(dòng)的距離是多少米?解依題意，梯子的頂端距墻角(m).(1 )若梯子頂端下滑1m，則頂端距地面7m.設(shè)梯子底端滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程72+(6+ X)2 = 102，整理，得x2+12 x 15 =

13、 0,解這個(gè)方程，得 X11.14，X213.14 (舍去)，所以梯子頂端下滑1m，底端水平滑動(dòng)約1.14m.(2)當(dāng)梯子底端水平向外滑動(dòng)1m時(shí)，設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng) xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8 x)2+(6+1) 2= 100.整理，得X2 16X+13 = 0.解這個(gè)方程，得 X10.86，X2 15.14 (舍去).所以若梯子底端水平向外滑動(dòng)1m，則頂端下滑約0.86m.(3)設(shè)梯子頂端向下滑動(dòng) xm時(shí)，底端向外也滑動(dòng)xm.則根據(jù)勾股定理，列方程(8 x)2+(6+ x)2= 102，整理，得2X2 4x= 0，解這個(gè)方程，得 X1 = 0 (舍去)，X2 = 2.所以梯子頂端向下滑

14、動(dòng)2m時(shí)，底端向外也滑動(dòng)2m.說明求解時(shí)應(yīng)注意無論梯子沿墻如何上下滑動(dòng)，梯子始終與墻上、地面構(gòu)成直角三角形.卜一、航海問題例11 如圖5所示，我海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo) B,在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C,小島D恰好位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭；小島 F位于BC上且恰好處于小島 D的正南方向，一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航.一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送往軍艦(1 )小島D和小島F相距多少海里?(2)已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇于E處，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？(精確到0.

15、1海里)AB丄BC，D為AC的中點(diǎn),解(1) F位于D的正南方向，則 DF丄BC.因?yàn)樗訢F=2 AB = 100海里，所以，小島 D與小島F相距100海里.(2 )設(shè)相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了 x海里，那么DE= x海里，AB+BE= 2x海里,EF= AB+BC- (AB+BE) CF= (300 2x)海里.在Rt DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程 x2 = 100 2+(300 2x)2，整理，得3x21200 x+100000 = 0.X2 =200+（不合題意，舍去）118.4，解這個(gè)方程，得 Xi = 200 -所以，相遇時(shí)補(bǔ)給船大約航行了118.4海里.說明 求解本題時(shí)，一定要認(rèn)真地分

16、析題意，及時(shí)發(fā)現(xiàn)題目中的等量關(guān)系，并 能從圖形中尋找直角三角形，以便正確運(yùn)用勾股定理布列一元二次方程十二、圖表信息例12 如圖6所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為12，劃分成12 X 12個(gè)小正方形格,將邊長(zhǎng)為n （n為整數(shù)，且2<n< 11 ）的黑白兩色正方形紙片按圖中的方式，黑 白相間地?cái)[放，第一張n X n的紙片正好蓋住正方形 ABCD左上角的n x n個(gè)小正方形格，第二張紙片蓋住第一張紙片的部分恰好為(n 1) X (n 1)個(gè)小正方形.如此擺放下去，直到紙片蓋住正方形 ABCD的右下角為止.請(qǐng)你認(rèn)真觀察思考后回答下列問題:(1) 由于正方形紙片邊長(zhǎng) n的取值不同，？完成擺放時(shí)所

17、使用正方形紙片的張數(shù)也不同，請(qǐng)?zhí)顚懴卤?紙片的邊長(zhǎng)n23456使用的紙片張數(shù)(2) 設(shè)正方形ABCD被紙片蓋住的面積(重合部分只計(jì)一次)為S1，未被蓋住的面積為S2.當(dāng)n = 2時(shí)，求Si : S2的值;是否存在使得Si = S2的n值？若存在，請(qǐng)求出來；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1 )依題意可依次填表為:11 、 10、9、8、7.(2) S1 = n2+(12 n)n2- (n 1)2 = n2+25 n 12.當(dāng) n = 2 時(shí)，S1 = 22+25 X 2 12 = 34，S2 = 12 X 12 34 = 110.所以 S1 : S2 = 34 : 110 = 17 : 55.若 Si

18、 = S2，則有一 n2+25 n -12 = 2 x 122，即 n2 25 n +84 = 0，解這個(gè)方程，得ni = 4，n2 = 21 （舍去）.所以當(dāng)n = 4時(shí)，Si = S2.所以這樣的n值是存在的.說明 求解本題時(shí)要通過閱讀題設(shè)條件及提供的圖表，及時(shí)挖掘其中的隱含條 件，對(duì)于求解第（3）小題，可以先假定問題的存在，進(jìn)而構(gòu)造一元二次方程，看 得到的一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根來加以判斷十三、探索在在問題例13 將一條長(zhǎng)為20cm的鐵絲剪成兩段，并以每一段鐵絲的長(zhǎng)度為周長(zhǎng)做成 一個(gè)正方形.（1）要使這兩個(gè)正方形的面積之和等于17cm 2，那么這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是多少？（2）兩

19、個(gè)正方形的面積之和可能等于 12cm 2嗎？若能，求出兩段鐵絲的長(zhǎng)度;若不能，請(qǐng)說明理由.解（1）設(shè)剪成兩段后其中一段為xcm，則另一段為（20 x） cm.丿a、17 ,解得 xi = 16 , X2 = 4 ,當(dāng) x = 16 時(shí)，20 x = 4，當(dāng) x = 4時(shí)，20 x= 16 ,答 這段鐵絲剪成兩段后的長(zhǎng)度分別是 4cm和16cm.(2)不能.理由是：不妨設(shè)剪成兩段后其中一段為 ycm，則另一段為(20 y)cm.12，整理，得y2 20y+104 = 0，移項(xiàng)并配方，得(y 10)2 = 4< 0 ,所以此方說明 本題的第(2)小問也可以運(yùn)用求根公式中的b2 4ac來判定.

20、若b2 4ac > 0，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若 b2 4ac< 0，方程沒有實(shí)數(shù)根，本題中的b2 4ac = 16 < 0 即無解.十四、平分幾何圖形的周長(zhǎng)與面積問題例14 如圖乙在等腰梯形 ABCD中，AB = DC = 5, AD = 4, BC= 10.點(diǎn)E?在下底邊BC上，點(diǎn)F在腰AB 上.(1 )若EF平分等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)，設(shè)BE長(zhǎng)為X,試用含x的代數(shù)式表 示 BEF的面積;(2)是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在,求出此時(shí)BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由;(3) 是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1 : 2的兩部分

21、？若存在，求此時(shí) BE的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由已知條件得，梯形周長(zhǎng)為12，高4，面積為28.過點(diǎn)F作FG丄BC于G,過點(diǎn)A作AK丄BC于K.則可得，F(xiàn)G=X 4,Sa BEFBE - FGx (7 < x< 10).x = 14，解這個(gè)方程，得xi =乙X2 = 5 (不合題意，舍去)，所以存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)與面積同時(shí)平分，此時(shí) BE= 7.(3 )不存在.假設(shè)存在，顯然有 BEF : S多邊形AFECD = 1 : 2，(BE+BF) ： (AF+AD + DC)1 : 2.正方形邊長(zhǎng)2468n （偶數(shù)）整理，得3x2 24X+70 = 0，此時(shí)的求根公式中的b2 4ac = 576 840 < 0,所以不存在這樣的實(shí)數(shù) X.即不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)和面積同時(shí)分成1 : 2的兩部分.說明求解本題時(shí)應(yīng)注意：一是要能正確確定X的取值范圍；二是在求得 X2=5時(shí)，并不屬于7<x< 10,應(yīng)及時(shí)地舍去;三是處理第（3）個(gè)問題時(shí)的實(shí)質(zhì)是利用一元