第9章 數(shù)項級數(shù)練習

1、 第9章 數(shù)項級數(shù) §1 數(shù)項級數(shù)的收斂性一 概念：1 級數(shù)：級數(shù),無窮級數(shù);通項 (一般項, 第項), 前項部分和等概念 (與中學的有關(guān)概念聯(lián)系).級數(shù)常簡記為.2. 級數(shù)的斂散性與和:介紹從有限和入手, 引出無限和的極限思想.以在中學學過的無窮等比級數(shù)為藍本, 定義斂散性、級數(shù)的和、余和以及求和等概念 .例1 討論幾何級數(shù) 的斂散性.解 當時, . 級數(shù)收斂;當時, 級數(shù)發(fā)散 ;當時, , , 級數(shù)發(fā)散 ;當時, , , 級數(shù)發(fā)散 .綜上, 幾何級數(shù) 當且僅當 時收斂, 且和為 ( 注意從0開始 ).例2 討論級數(shù) 的斂散性. 解 用鏈鎖消去法求.例3 討論級數(shù)的斂散性.解 設

2、, , , . , . 因此, 該級數(shù)收斂. 例4 討論級數(shù)的斂散性.解 , . 級數(shù)發(fā)散.3. 級數(shù)與數(shù)列的關(guān)系:設對應部分和數(shù)列, 則收斂 收斂;對每個數(shù)列,對應級數(shù),對該級數(shù),有=.于是,數(shù)列收斂級數(shù) 收斂. 可見,級數(shù)與數(shù)列是同一問題的兩種不同形式. 4. 級數(shù)與無窮積分的關(guān)系:, 其中 . 無窮積分可化為級數(shù);對每個級數(shù), 定義函數(shù) , 易見有=. 即級數(shù)可化為無窮積分.綜上所述,級數(shù)和無窮積分可以互化,它們有平行的理論和結(jié)果.可以用其中的一個研究另一個. 二 級數(shù)收斂的充要條件 Cauchy準則 ：把部分和數(shù)列收斂的Cauchy準則翻譯成級數(shù)的語言，就得到級數(shù)收斂的Cauchy準則

3、. Th1 ( Cauchy準則 ) 收斂和N.由該定理可見,去掉或添加上或改變(包括交換次序) 級數(shù)的有限項, 不會影響級數(shù)的斂散性. 但在收斂時, 級數(shù)的和將改變.去掉前 項的級數(shù)表為或.推論 (級數(shù)收斂的必要條件)收斂 .例5 證明級數(shù) 收斂 .證 顯然滿足收斂的必要條件.令 , 則當 時,有注: 應用Cauchy準則時，應設法把式 |不失真地放大成只含而不含的式子，令其小于，確定. 例6 判斷級數(shù)的斂散性. (驗證 . 級數(shù)判斂時應首先驗證是否滿足收斂的必要條件)例7 證明調(diào)和級數(shù)發(fā)散. 證法一 (用Cauchy準則的否定進行驗證) 證法二 (證明. 即得，. )注: 此例為但級數(shù)發(fā)散

4、的例子. 三 收斂級數(shù)的基本性質(zhì)：（均給出證明） 性質(zhì)1 收斂,為常數(shù)收斂,且有=(收斂級數(shù)滿足分配律)性質(zhì)2 和收斂收斂,且有=.問題: 、三者之間斂散性的關(guān)系.性質(zhì)3 若級數(shù)收斂, 則任意加括號后所得級數(shù)也收斂, 且和不變.(收斂數(shù)列滿足結(jié)合律)例8 考查級數(shù) 從開頭每兩項加括號后所得級數(shù)的斂散性. 該例的結(jié)果說明什么問題 ? §3 正項級數(shù) 一. 正項級數(shù)判斂的一般原則 :1. 正項級數(shù): ; 任意加括號不影響斂散性.2. 基本定理: Th 1 設.則級數(shù)收斂.且當發(fā)散時,有, . ( 證 )正項級數(shù)斂散性的記法 .3. 正項級數(shù)判斂的比較原則:Th 2 設和是兩個正項級數(shù),

5、且時有, 則 > < , < ; > =, = . ( > 是>的逆否命題 )例1 考查級數(shù)的斂散性 .解 有 例2 設. 判斷級數(shù)的斂散性.推論1 (比較原則的極限形式) 設和是兩個正項級數(shù)且,則 > 當時,和共斂散 ; > 當時 ,<< ; > 當時,= . ( 證 )推論2 設和是兩個正項級數(shù),若=，特別地，若 ,， 則<=. 例3 判斷下列級數(shù)的斂散性: ; ( ) ; ; .二 正項級數(shù)判斂法: 1比值法：亦稱為 Dalembert判別法.用幾何級數(shù)作為比較對象,有下列所謂比值法.Th 3 設為正項級數(shù), 且 及

6、 時 > 若< > 若= . 證 > 不妨設 時就有成立, 有 依次相乘, 即 . 由 , 得 <. > 可見往后遞增.推論 (比值法的極限形式) 設為正項級數(shù), 且 . 則 > 當<< >當>或=. ( 證 )注: 倘用比值法判得=, 則有 .檢比法適用于和有相同因子的級數(shù), 特別是中含有因子者.例4 判斷級數(shù) 的斂散性.解 . 例5 討論級數(shù)的斂散性. 解 因為.因此, 當時, ; 時, ; 時, 級數(shù)成為, 發(fā)散.例6 判斷級數(shù)的斂散性 . 注: 對正項級數(shù)，若僅有，其斂散性不能確定. 例如對級數(shù) 和 , 均有 ，但前者發(fā)

7、散, 后者收斂. 2. 根值法 ( Cauchy 判別法 ): 也是以幾何級數(shù)作為比較的對象建立的判別法.Th 4 設為正項級數(shù),且 及 , 當 時, > 若 < > 若=. ( 此時有.) ( 證 )推論 (根值法的極限形式) 設為正項級數(shù),且 . 則 > 當時< > 當時= . ( 證 )注: 根值法適用于通項中含有與有關(guān)的指數(shù)者.根值法優(yōu)于比值法. (參閱1P12)例7 研究級數(shù) 的斂散性 . 解 . 例8 判斷級數(shù)和的斂散性 . 解 前者通項不趨于零 , 后者用根值法判得其收斂 . 3 積分判別法：Th 5 設在區(qū)間上函數(shù)且. 則正項級數(shù)與積分共斂散

8、. 證 對 且 .例9 討論 級數(shù)的斂散性.解 考慮函數(shù)0時在區(qū)間 上非負遞減. 積分當時收斂, 時發(fā)散級數(shù)當時收斂,當時發(fā)散,當時, , 級數(shù)發(fā)散.綜上,級數(shù)當且僅當時收斂.例10 討論下列級數(shù)的斂散性: ; . §4 任意項級數(shù) 一. 交錯級數(shù): 交錯級數(shù), Leibniz型級數(shù).Th 1 ( Leibniz ) Leibniz型級數(shù)必收斂,且余和的符號與余和首項相同, 并有.證 (證明部分和序列 的兩個子列和收斂于同一極限. 為此先證明遞增有界. ) ;又 , 即數(shù)列有界.由單調(diào)有界原理, 數(shù)列收斂 . 設 . .由證明數(shù)列有界性可見 , . 余和亦為型級數(shù)余和與同號, 且.

9、例1 判別級數(shù)的斂散性.解 當時, 由Leibniz判別法收斂;當時, 通項, 發(fā)散. 二. 絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì): 1. 絕對收斂和條件收斂: 以Leibniz級數(shù)為例, 先說明收斂 絕對收斂.Th 2 ( 絕對收斂與收斂的關(guān)系 ) , 收斂.證 ( 用Cauchy 準則 ).注: 一般項級數(shù)判斂時, 先應判其是否絕對收斂. 例2 判斷例1中的級數(shù)絕對或條件收斂性 . 2. 絕對收斂級數(shù)可重排性: 同號項級數(shù)：對級數(shù)，令 則有 > 和均為正項級數(shù) , 且有和; > , . 同號項級數(shù)的性質(zhì):Th 3 > 若 ， 則 ， . > 若 條件收斂 , 則 , .證 >

10、 由和, > 成立 . > 反設不真 , 即和中至少有一個收斂 , 不妨設 .由 = , = 以及 和收斂 .而, 與條件收斂矛盾 . 絕對收斂級數(shù)的可重排性: 更序級數(shù)的概念.Th 4 設是的一個更序. 若,則,且=.證 > 若,則和是正項級數(shù),且它們的部分和可以互相控制.于是, , 且和相等. > 對于一般的, = = .正項級數(shù)和分別是正項級數(shù)和的更序. 由, 據(jù)Th 1 , 和收斂. 由上述>所證,有, , 且有= , = =.由該定理可見, 絕對收斂級數(shù)滿足加法交換律.是否只有絕對收斂級數(shù)才滿足加法交換律呢 ? 回答是肯定的 .Th 5 ( Rieman

11、n ) 若級數(shù)條件收斂, 則對任意實數(shù) ( 甚至是 ),存在級數(shù)的更序, 使得= .證 以Leibniz級數(shù) 為樣本, 對照給出該定理的證明.關(guān)于無窮和的交換律, 有如下結(jié)果: > 若僅交換了級數(shù)的有限項, 的斂散性及和都不變. > 設是的一個更序. 若, 使 在中的項數(shù)不超過,則和共斂散, 且收斂時和相等 . 三. 級數(shù)乘積簡介: 1. 級數(shù)乘積: 級數(shù)乘積, Cauchy積. 見教材. 2級數(shù)乘積的Cauchy定理:Th 6 ( Cauchy ) 設, , 并設=, =. 則它們以任何方式排列的乘積級數(shù)也絕對收斂, 且乘積級數(shù)的和為. ( 證略 ) 例3 幾何級數(shù) 是絕對收斂的

12、. 將按Cauchy乘積排列, 得到 . 四. 型如的級數(shù)判斂法： 1Abel判別法：引理1 (分部求和公式，或稱Abel變換)設和. 則 .證 注意到 , 有 .分部求和公式是離散情況下的分部積分公式. 事實上, .可見Abel變換式中的相當于上式中的, 而差相當于, 和式相當于積分.引理2 ( Abel )設、和如引理1 .若單調(diào) , 又對,有，則 .證 不妨設. .推論 設,( ). 和如引理1. 則有. ( 參引理2證明 )Th 7 (Abel判別法)設> 級數(shù)收斂,> 數(shù)列收斂.證 (用Cauchy收斂準則,利用Abel引理估計尾項)設, 由收斂對時 , 對, 有 .于是當時對有 .由Cauchy收斂準則收斂. 2. Dirichlet判別法:Th 8 ( Dirichlet)設> 級數(shù)的部分和有界, > 數(shù)列單調(diào)趨于零. 則級數(shù)收斂.證 設, 則對, 有 .不妨設0 對. 此時就有 .由Cauchy收斂準則, 收斂