第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入――3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

1、第3章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入【教學(xué)目標(biāo)】1了解解方程等實(shí)際需要也是數(shù)系發(fā)展的一個(gè)主要原因，數(shù)集的擴(kuò)展過程以及復(fù)數(shù)的分類表；2理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念以及符號(hào)表示；3掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式及其有關(guān)概念；4.在問題情境中了解數(shù)系得擴(kuò)充過程，體會(huì)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系【教學(xué)重點(diǎn)】引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性、對(duì)i的規(guī)定以及復(fù)數(shù)的有關(guān)概念 【教學(xué)難點(diǎn)】復(fù)數(shù)概念的理解【教學(xué)過程】1對(duì)數(shù)集因生產(chǎn)和科學(xué)發(fā)展的需要而逐步擴(kuò)充的過程進(jìn)行概括（教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)明扼要的概括和總結(jié)）自然數(shù) 整數(shù) 有理數(shù) 無理數(shù) 實(shí)數(shù)2提出問題我們

2、知道，對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程，沒有實(shí)數(shù)根我們能否將實(shí)數(shù)集進(jìn)行擴(kuò)充，使得在新的數(shù)集中，該問題能得到圓滿解決呢？3組織討論，研究問題我們說，實(shí)系數(shù)一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根實(shí)際上，就是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，沒有一個(gè)實(shí)數(shù)的平方會(huì)等于負(fù)數(shù)解決這一問題，其本質(zhì)就是解決一個(gè)什么問題呢？組織學(xué)生討論，引導(dǎo)學(xué)生研究，最后得出結(jié)論：最根本的問題是要解決1的開平方問題即一個(gè)什么樣的數(shù)，它的平方會(huì)等于14引入新數(shù)，并給出它的兩條性質(zhì)根據(jù)前面討論結(jié)果，我們引入一個(gè)新數(shù)，叫做虛數(shù)單位，并規(guī)定：（1）；（2）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有的加、乘運(yùn)算律仍然成立有了前面的討論，引入新數(shù)，可以說是水到渠成的事這樣，就可以

3、解決前面提出的問題（1可以開平方，而且1的平方根是）5提出復(fù)數(shù)的概念根據(jù)虛數(shù)單位的第（2）條性質(zhì)，可以與實(shí)數(shù)b相乘，再與實(shí)數(shù)a相加由于滿足乘法交換律及加法交換律，從而可以把結(jié)果寫成這樣，數(shù)的范圍又?jǐn)U充了，出現(xiàn)了形如 的數(shù)，我們把它們叫做復(fù)數(shù)全體復(fù)數(shù)所形成的集合叫做復(fù)數(shù)集，一般用字母C表示，顯然有：N*NZQRC【鞏固練習(xí)】下列數(shù)中，哪些是復(fù)數(shù)，哪些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)？并分別指出這些復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部各是什么？例1.實(shí)數(shù)m分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)zm+1(m-1i是(1實(shí)數(shù)？(2虛數(shù)？(3純虛數(shù)？ 分析：因?yàn)閙R，所以m+1，m-1都是實(shí)數(shù)，由復(fù)數(shù)zabi是實(shí)、虛數(shù)、純虛數(shù)與零的條件可以

4、確定實(shí)數(shù)m的值6提出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，即兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是它們的實(shí)部與虛部分別對(duì)應(yīng)相等也就是由此容易得出：例2 已知,其中，x,yR，求x與y分析：因?yàn)閤，yR，所以由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義，可列出關(guān)于x，y的方程組，解這個(gè)方程組，可求出x，y的值練習(xí)：【課堂游戲】【想一想】?jī)蓚€(gè)復(fù)數(shù)是否可以比較大小.【歸納總結(jié)】一、數(shù)系的擴(kuò)充；二、復(fù)數(shù)有關(guān)的概念：1、復(fù)數(shù)的代數(shù)形式；2、復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部。3、虛數(shù)、純虛數(shù)；4、復(fù)數(shù)的相等.【布置作業(yè)】習(xí)題3.1A組 1 2 3數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念教案說明數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念是人教版普通高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教材選修2-2第三章第一節(jié)的內(nèi)容，課時(shí)安排約一課時(shí)。復(fù)數(shù)

5、的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對(duì)于數(shù)的概念有一個(gè)初步的、完整的認(rèn)識(shí)，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下了基礎(chǔ)。通過本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識(shí)，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用。學(xué)習(xí)目標(biāo)為（1）在問題情境中了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，體會(huì)實(shí)際需求在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系；（2）理解復(fù)數(shù)的基本概念以及復(fù)數(shù)相等的充要條件。復(fù)數(shù)的概念是整個(gè)復(fù)數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，復(fù)數(shù)的有關(guān)概念都是圍繞復(fù)數(shù)的代數(shù)表示形式展開的。虛數(shù)單位、實(shí)部、虛部的命名，復(fù)數(shù)想等的充要條件，以及虛數(shù)、純虛數(shù)等概念的理

6、解，都應(yīng)促進(jìn)對(duì)復(fù)數(shù)實(shí)質(zhì)的理解，即復(fù)數(shù)實(shí)際上是一有序?qū)崝?shù)對(duì)。類比實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸表示，把復(fù)數(shù)在直角坐標(biāo)系中表示出來，就得到了復(fù)數(shù)的幾何表示，這就把數(shù)和形有機(jī)的結(jié)合了起來。另外復(fù)數(shù)與向量、平面解析幾何、三角函數(shù)等都有密切的聯(lián)系，運(yùn)用復(fù)數(shù)法可以解決函數(shù)最值、三角恒等式、組合問題、不等式問題、數(shù)列問題等。而復(fù)數(shù)在電力、熱力學(xué)、流體力學(xué)、固體力學(xué)、系統(tǒng)分析、信號(hào)分析、反常積分等方面都有應(yīng)用。在學(xué)習(xí)本節(jié)課的過程中，復(fù)數(shù)的概念如果單純地講解或介紹會(huì)顯得較為枯燥無味，學(xué)生不易接受，教學(xué)時(shí)，采用講解已學(xué)過的數(shù)集的擴(kuò)充的歷史，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，也是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的需要；介紹數(shù)的概念的發(fā)展過程

7、，使學(xué)生對(duì)數(shù)的形成、發(fā)展的歷史和規(guī)律，各種數(shù)集中之間的關(guān)系有著比較清晰、完整的認(rèn)識(shí).從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類。由于學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充的知識(shí)不熟悉，對(duì)了解實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系的過程有困難，也就是對(duì)虛數(shù)單位的引入難以理解。另外虛數(shù)單位和實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算也不容易接受。復(fù)數(shù)的相等和復(fù)數(shù)的相關(guān)概念（比如實(shí)部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)等）這些學(xué)生很容易理解。本節(jié)課我采用數(shù)學(xué)典故吸引學(xué)生，讓學(xué)生知道數(shù)系的擴(kuò)充過程，從而為虛數(shù)單位的引入打下基礎(chǔ)，在講解例題后用游戲的方式鞏固教學(xué)效果。另外我還充分利用多媒體，提高教學(xué)效果，在設(shè)疑、提示、觀察、類比、練習(xí)、游戲等活動(dòng)中啟發(fā)學(xué)生，讓學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)

8、口、動(dòng)腦，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。在學(xué)習(xí)了這節(jié)課以后，學(xué)生首先能知道數(shù)系是怎么擴(kuò)充的，并且這種擴(kuò)充是必要的，虛數(shù)單位在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用，而復(fù)數(shù)就是一個(gè)實(shí)數(shù)加上一個(gè)實(shí)數(shù)乘以。學(xué)生能清楚的知道一個(gè)復(fù)數(shù)什么時(shí)候是虛數(shù)，什么時(shí)候是純虛數(shù)，兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么。讓學(xué)生在經(jīng)歷一系列的活動(dòng)后，完成對(duì)知識(shí)的探索，變被動(dòng)地“接受問題”為主動(dòng)地“發(fā)現(xiàn)問題”，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)應(yīng)用的靈活性，深化學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)，從而提高分析問題和解決問題的能力。 教學(xué)中應(yīng)注意幾個(gè)問題，注意與以前所學(xué)過的數(shù)的內(nèi)容的銜接，在以前，學(xué)生學(xué)過整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念和運(yùn)算，在本節(jié)課，則要系統(tǒng)地學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念的發(fā)展過程，復(fù)習(xí)實(shí)數(shù)的有關(guān)概念等，從