2018年天津市高考數學試卷(理科)

1、第1頁（共26頁）2018 年天津市高考數學試卷（理科）.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的(5.00 分)設全集為 R,集合 A=x|0vxv2 , B=x|x 1，貝UAA(?RB)=x|0vxbc B. bac C. cba D. cab6.（5.00 分）將函數 y=sin（2x）的圖象向右平移個單位長度，所得圖象5|10對應的函數（）A.在區(qū)間半，竺上單調遞增B.在區(qū)間空，n上單調遞減444c.在區(qū)間平，卑耳上單調遞增 D.在區(qū)間空，2 詢上單調遞減4227. （5.00 分）已知雙曲線 =1 （a0，b0）的離心率為 2，過右焦點且垂直于 x 軸的直線與雙曲

2、線交于 A，B 兩點.設 A，B 到雙曲線的同一條漸近線 的距離分別為 d1和 d2，且 d1+d2=6，則雙曲線的方程為（）2 I 222 I 2| I 2| I 2| I 2|A. L-匚=1 B.-匚=1 C.匚-匚=1 D. L-L=11212439938.（5.00 分）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，AB 丄 BC, AD 丄 CD,/ BAD=120,AB=AD=1 若點 E 為邊 CD 上的動點，則喬豆的最小值為（）一 B5第4頁（共26頁）二.填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.9.（5.00 分）i 是虛數單位，復數I=_.）5的展開式中，x2的系數

3、為11. （5.00 分）已知正方體 ABCD- A1B1CD1的棱長為1,除面 ABCD 外，該正方 體其余各面的中心分別為點 E, F, G, H, M （如圖），則四棱錐 M - EFGH 的體12. （5.00 分）已知圓 x2+y2- 2x=0 的圓心為 C,直線,（t 為參數）與該圓相交于A, B 兩點，則 ABC 的面積為13.（5.00 分）已知 a, b R,且 a-3b+6=0，則14.（5.00 分）已知 a 0,函數 f （x）=若關于 x 的方程 f10. （5.00 分）在（x-第5頁（共26頁）（x） =ax 恰有 2 個互異的實數解，則 a 的取值范圍是三.解答

4、題：本大題共 6 小題，共 80 分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算 步驟.15. （ 13.00 分）在厶 ABC 中，內角 A,B,C 所對的邊分別為 a, b,c.已知 bsinA=acos（I ）求角 B 的大小;（B-7T?） .第6頁(共26頁)(U)設 a=2, c=3,求 b 和 sin (2A- B)的值.16. (13.00 分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為 24, 16, 16.現 采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，進行睡眠時間的調查.(I)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(U)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現從

5、這 7 人中隨機抽取 3 人做進一步的身體檢查.(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量 X 的分布列與數 學期望；(ii)設 A 為事件 抽取的 3 人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工 ”,求事件 A 發(fā)生的概率.17. (13.00 分)如圖，AD/ BC 且 AD=2BC AD 丄 CD, EG/ AD 且 EG=AD CD/FG 且 CD=2FG DG 丄平面 ABCD, DA=DC=DG=2(I)若 M 為 CF 的中點，N 為 EG 的中點，求證：MN/平面 CDE(n)求二面角 E- BC- F 的正弦值；(川)若點 P 在線段 DG 上,且直線

6、 BP 與平面 ADGE 所成的角為 60求線段 DP 的長.18. (13.00 分)設an是等比數列，公比大于 0,其前 n 項和為 Sn(n N*), bn 是等差數列.已知 a1=1, a3=a2+2, a4=b3+b5, a5=b4+2b6.(I)求an和bn的通項公式；(n)設數列S的前 n 項和為 Tn(n N*),19. (14.00 分)設橢圓 + . =1 (ab0)的左焦點為 F, 上頂點為 B.已知 橢圓的離心(ii)證明-2 (n N*).第7頁(共26頁)率為匹，點 A 的坐標為(b, 0),且|FB?|AB|= .3(I)求橢圓的方程；(U)設直線 I: y=kx

7、 (k0)與橢圓在第一象限的交點為 P,且 I 與直線 AB 交 于點 Q若=- sin/ AOQ( O 為原點)，求 k 的值.|PQ|F20.(14.00 分)已知函數 f (x) =ax, g (x) =logax，其中 a 1.(I)求函數 h (x) =f (x)- xlna 的單調區(qū)間；(U)若曲線 y=f (x)在點(x1, f (X1)處的切線與曲線 y=g (x)在點(x2, g(x?)處的切線平行，證明 x1+g (X2)=-;Inanr(E)證明當 ae -時，存在直線 I,使 I 是曲線 y=f (x)的切線，也是曲線 y=g(x)的切線.第8頁（共26頁）2018年天

8、津市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（5.00 分）設全集為 R,集合 A=x|0vXV2 , B=x|x 1，貝UAA（?RB）=（ ）A.x|0vx1B. x|0vxv1C. x| 1 1,?RB=X| xv1,AA（?RB）=x| 0vxv1.故選：B.【點評】本題考查了集合的化簡與運算問題，是基礎題目.值為（）A. 6 B. 19 C. 21 D. 45【分析】先畫出約束條件的可行域，利用目標函數的幾何意義，分析后易得目標 函數 z=3x+5y 的最大值.【解答】解：由變量 x, y 滿足約束條件* _工+醫(yī),得

9、如圖所示的可行域，由卅產解得 A （2, 3）.I.當目標函數 z=3x+5y 經過 A 時，直線的截距最大，z 取得最大值.2. （5.00 分）設變量 x, y 滿足約束條件2s-y4,則目標函數 z=3x+5y 的最大第9頁（共26頁）將其代入得 z 的值為 21,故選：C.【點評】在解決線性規(guī)劃的小題時，常用 角點法”其步驟為：由約束條件畫出可行域？求出可行域各個角點的坐標？將坐標逐一代入目標函數？驗證，求出最優(yōu)解.也可以利用目標函數的幾何意義求解最優(yōu)解，求解最值.3. （5.00 分）閱讀如圖的程序框圖，運行相應的程序，若輸入 N 的值為 20,則輸出 T 的值為（）第10頁（共26

10、頁）【分析】根據程序框圖進行模擬計算即可.【解答】解：若輸入 N=20,則 i=2, T=0,理竺=10 是整數，滿足條件.T=0+仁 1, i=2+仁 3, i5 不成立，i2循環(huán)，二二不是整數，不滿足條件.，i=3+仁 4, i 5 不成立，i 3循環(huán)，一=5 是整數，滿足條件，T=1+1=2, i=4+1=5, i 5 成立，i 4輸出 T=2,故選：B.【點評】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，根據條件進行模擬計算是解決本 題的關鍵.4. （5.00 分）設 xR,則“x-寺|V寺”是“XV1”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件第11頁（共26頁）C.充要條件 D.既不充分

11、也不必要條件第12頁（共26頁）【分析】先解不等式，再根據充分條件和必要條件的定義即可求出.由 X3V1，解得 XV1 , 故“x詩1甘是“3V1”勺充分不必要條件,故選：A.【點評】本題考查了不等式的解法和充分必要條件，屬于基礎題.5. （5.00 分）已知 a=log2e, b=ln2, c=log ,則 a, b, c 的大小關系為（）ao2A. abc B. bac C. cba D. cab【分析】根據對數函數的單調性即可比較.【解答】 解：a=log2e 1, 0Vb=ln2v1, c=log .二=log23 log2e=a,2則 a, b, c 的大小關系 cab,故選：D.【

12、點評】本題考查了對數函數的圖象和性質，屬于基礎題，對應的函數（）A.在區(qū)間晉，晉上單調遞增B.在區(qū)間晉,n上單調遞減C.在區(qū)間牛，晉上單調遞增 D.在區(qū)間琴,2n上單調遞減【分析】將函數 y=sin（2x）的圖象向右平移丄個單位長度，得到的函數為:乙由此能求出結果.【解答】解：將函數 y=sin（2x）的圖象向右平移個單位長度, 得到的函數為：y=si n2x【解答】解：由|X 寺1V*可得-6. （5.00 分）將函數 y=sin（2x ）的圖象向右平移個單位長度，所得圖象y=sin2x,增區(qū)間為+k n,+kn, k Z,減區(qū)間為下+kn3兀T+kn ,k第13頁（共26頁）將函數 y=s

13、in （2x+ ）的圖象向右平移一個單位長度,510所得圖象對應的函數在區(qū)間，上單調遞增.故選：A.【點評】本題考查三角函數的單調區(qū)間的確定， 考查三角函數的圖象與性質、 平 移等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想，是中檔題.7.（5.00 分）已知雙曲線 =1 （a0，b0）的離心率為 2，過右焦點且垂直于 x 軸的直線與雙曲線交于 A，B 兩點.設 A，B 到雙曲線的同一條漸近線 的距離分別為 di和 d2，且 di+d2=6，則雙曲線的方程為（）【分析】畫出圖形，利用已知條件，列出方程組轉化求解即可.【解答】解：由題意可得圖象如圖，CD 是雙曲線的一條漸近線y 一工，即卩 b

14、x ay=0, F （c, 0），a 1AC 丄 CD, BD 丄 CD, FEL CD, ACDB 是梯形，=1412B.皿=1C12422 y=1 D2x391L9A.汀1增區(qū)間滿足:減區(qū)間滿足:-丄+心2x0, b0）的離心率為 2,可得二二22可得：八 ，解得 a=；.a第15頁（共26頁）【點評】本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，考查計算能力.8.（5.00 分）如圖，在平面四邊形 ABCD 中，AB 丄 BC, AD 丄 CD,/ BAD=120,AB=AD=1 若點 E 為邊 CD 上的動點，則的最小值為（）為 y 軸，求出 A，B, C 的坐標，根據向量的數量積

15、和二次函數的性質即可求出.【解答】解：如圖所示，以 D 為原點，以 DA 所在的直線為 x 軸， 以 DC 所在的直線為 y 軸，以 DA 所在的直線為 x 軸，以 DC 所在的直線則雙曲線的方程為：罟-*;=1-第16頁（共26頁）過點 B 做 BN 丄 x 軸，過點 B 做 BM 丄 y 軸,第17頁（共26頁） AB 丄 BC, AD 丄 CD, / BAD=120 , AB=AD=1, AN=ABcos6, BN=ABsin60=,22DN=m,2 2 BM 二,2【點評】本題考查了向量在幾何中的應用，考查了運算能力和數形結合的能力, 屬于中檔題.二.填空題：本大題共 6 小題,每小題

16、 5 分,共 30 分.9.（5.00 分）i 是虛數單位，復數 一=4 - i . A (1, 0), B (， _ ) , C(0 ,.:；),設 E (0 , m),應（-1, m）,屈=（-# , m -孚）, 正龐冷+m2爭 m= （m-乎）2礙- 當 m=；時,取得最小值為亠.4 16DC=D0 m0,函數 f (x) =、.若關于 x 的方程 f、-x反0(x) =ax 恰有 2 個互異的實數解，則 a 的取值范圍是(4, 8).【分析】分別討論當 x0 時，利用參數分離法進行求解即可.【解答】 解：當 x0 得-2vxv-1 或-1vxv0,此時遞增，由 g(x)v0 得 xv

17、- 2,此時遞減，即當 x=- 2 時，g (x)取得極小值為 g (2) =4,當 x0 時，由 f (x) =ax 得-x2+2ax- 2a=ax,得 x2- ax+2a=0,由 h (x)0 得 x4,此時遞增，由 h (x)v0 得 0vxv2 或 2vxv4,此時遞減，即當 x=4 時，h (x)取得極小 值為 h(4) =8,要使 f (x) =ax 恰有 2 個互異的實數解,(x-2)2(x-2 )2得 a (x- 2) =x，當 x=2 時，方程不成立,則由圖象知 4vav8,第24頁(共26頁)【點評】本題主要考查函數與方程的應用，利用參數分離法結合函數的極值和導14第25頁

18、(共26頁)數之間的關系以及數形結合是解決本題的關鍵.三.解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算 步驟.15. ( 13.00 分)在厶 ABC 中，內角 A,B,C 所對的邊分別為 a, b,c.已知 bsinA=acos(B-)6(I)求角 B 的大??；(U)設 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A-B)的值.【分析】(I)由正弦定理得 bsinA=asinB 與 bsinA=acos(B).由此能求出 6由此能求出 sin (2A- B).又 B(0, n), B)(兒)在厶 ABC 中，a=2, c=3, B=-37, 由 bsinA=acos

19、 (B-羋)，得 sinA=L6Iavc, cosA=X-V?si n2A=2si nAcosA= 7cos2A=2cogA- 1 丄, sin (2A- B) =sin2AcosB- cos2AsinB=72 72【點評】本題考查角的求法，考查兩角差的余弦值的求法，考查運算求解能力,(U)由余弦定理得 b=廠，由 bsinA=acos ( B-7T),得 sinA=7,cosA ,V7【解答】a. bsi nA sinB,得 bsinA=asinEB由余弦定理得b= . I ! ,/又 bsinA=acos (B- tanB=.=,即si nB=cos ( B考查函數與方程思想，是中檔題.1

20、6. (13.00 分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為 24, 16, 16.現 采用分層抽樣的方法從中抽取 7 人，進行睡眠時間的調查.(I)應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？(U)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現從這 7 人中隨機抽取 3 人做進一步的身體檢查.(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數，求隨機變量 X 的分布列與數 學期望；(ii)設 A 為事件 抽取的 3 人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工 ”,求事件 A 發(fā)生的概率.【分析】(I)利用分層抽樣，通過抽樣比求解應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取人

21、數；(U)若(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數，的可能值，求出概 率，得到隨機變量 X 的分布列，然后求解數學期望；(ii)利用互斥事件的概率求解即可.【解答】解：(I)單位甲、乙、丙三個部門的員工人數分別為 24，16，16.人數比為：3: 2: 2，從中抽取 7 人現，應從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取 3, 2，2 人.(U)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足，3 人睡眠充足，現從這 7 人中隨機抽取 3 人做進一步的身體檢查.(i)用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的員工人數,所以隨機變量的分布列為:3生35(ii)設 A 為事件 抽取的 3 人中，既有睡眠充

22、足的員工，也有睡眠不足的員工隨機變量 X 的取值為:0, 1, 2,k=0,1, 2, 3.0135隨機變量 X 的數學期望 E (X)12=1第27頁(共26頁)第18頁(共26頁)設事件 B 為：抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 1 人，睡眠不足的員工有 2 人, 事件C 為抽取的 3 人中，睡眠充足的員工有 2 人，睡眠不足的員工有 1 人，則：A=BUC,且 P (B) =P (X=2), P ( C) =P (X=1)，故 P(A)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=1)二.7所以事件 A 發(fā)生的概率：.【點評】本題考查分層抽樣，考查對立事件的概率，考查離散型隨機變量的分布 列與

23、期望，確定 X 的可能取值，求出相應的概率是關鍵.17. (13.00 分)如圖，AD/ BC 且 AD=2BC AD 丄 CD, EG/ AD 且 EG=AD CD/ FG且 CD=2FG DG 丄平面 ABCD，DA=DC=DG=2(I)若 M 為 CF 的中點，N 為 EG 的中點，求證：MN/平面 CDE(n)求二面角 E- BC- F 的正弦值；(川)若點 P 在線段 DG 上,且直線 BP 與平面 ADGE 所成的角為 60求線段 DP 的長.I-H -【分析】(I)依題意，以 D 為坐標原點，分別以.、1 :的方向為 x 軸，y軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標系.求出對應點的坐

24、標，求出平面 CDE 的法 向兀量及而，由袖兀二 0,結合直線 MN?平面 CDE 可得 MN /平面 CDE(n)分別求出平面 BCE 與平面平面 BCF 的一個法向量，由兩法向量所成角的余 弦值可得二面角 E- BC- F 的正弦值；(川)設線段 DP 的長為 h, (h 0, 2),則點 P 的坐標為(0, 0, h),求出BP=(-1, -2, h),而 DC=(O, 2, Q)為平面 ADGE 的一個法向量，由直線 BP 與平 面 ADGE所成的角為 60可得線段 DP 的長.第20頁（共26頁）【解答】（I）證明：依題意，以 D 為坐標原點，分別以；.、I、-的方向為 x 軸，y

25、軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標系.可得 D （0，0，0），A （2, 0，0），B （1, 2, 0），C （0，2，0），E （2，0，2），F （0，1, 2），G （0，0，2），M （0, 一，1）, N （1, 0，2）.設無二仏 y,爲）為平面 CDE 的法向量，nn* DC=2y=0-，不妨令 z=-1可得石二（1, 0, -1）；ncl-DE=2x+2z=O-u又 M 滬（1，-77 1）,可得 MNno=0 .又直線 MN?平面 CDE MN /平面 CDE（U ）解：依題意，可得| 1 .，| _ .丄.一.設二二 3 丁. :為平面 BCE 的法向量，* 則丁蘭二-

26、口，不妨令 z=1,可得二 e 1, 1）Ln * BE=x-2y+2z=0設；| :為平面 BCF 的法向量，則曹更 5，不妨令 z=1，可得訓2, 1）.冷CF=-y+2 口 因此有 COSV ；=、一；_ ，于是 sin；=.丄ULU二面角 E- BC- F 的正弦值為;10（川）解：設線段 DP 的長為 h, （h 0, 2）,則點 P 的坐標為（0, 0, h）,可得審二（-1, -2, h）,而丘=（Q, 2, 0）為平面 ADGE 的一個法向量，%一、I IIPCD |2故1*.4 工由題意，可得 一 Z1/.:，解得 h= _ 0, 2.#h+5/第29頁(共26頁)18. (

27、13.00 分)設an是等比數列，公比大于 0,其前 n 項和為 Sn(n N*), bn是等差數列.已知 ai=1, a3=a2+2, a4=b3+b5, a5=b4+2b6.(I)求an和bn的通項公式；(II)設數列Si的前 n 項和為 Tn(n N*),【分析】(I)設等比數列an的公比為 q，由已知列式求得 q,則數列an的通 項公式可求；等差數列bn的公差為 d,再由已知列關于首項與公差的方程組， 求得首項與公差，可得等差數列的通項公式；(I)(i)由等比數列的前 n 項和公式求得 Sn,再由分組求和及等比數列的前 n項和求得數列S的前 n 項和為 Tn；【解答】(I)解：設等比數

28、列an的公比為 q，由 a1=1, a3=a2+2，可得 q2-q-2=0. q0,可得 q=2.【點評】 本題考查直線與平面平行的判定,向量求解空間角，是中檔題.考查空間角的求法，訓練了利用空間(ii)證明=L薔0d-i)0d-2)n+2-2 (n N*).(ii )化簡整理再由裂項相消法證明結論.線段 DP 的長第20頁（共26頁）設等差數列bn的公差為 d, 由 a4=b3+b5,得 b1+3d=4,第31頁(共26頁)由 a5=b4+2b6，得 3bi+13d=16, bi=d=1.故 bn=n；(n)解：由(I)，可得nn故 T =E C2k-1)=E 2k-nk=l【點評】本題主要

29、考查等差數列、等比數列的通項公式及前 n 項和等基礎知識, 考查數列求和的基本方法及運算能力，是中檔題.19.(14.00 分)設橢圓 =1 (ab0)的左焦點為 F,上頂點為 B.已知 橢圓的離心率為匹，點 A 的坐標為(b，0 )，且|FB?|AB= .3(I)求橢圓的方程；(U)設直線 I: y=kx (k0)與橢圓在第一象限的交點為 P,且 I 與直線 AB 交于點 Q.若=-sin/ AOQ(O 為原點)，求 k 的值.|Py |4【分析】(I)設橢圓的焦距為 2c,根據橢圓的幾何性質與已知條件，求出 a、b 的值，再寫出橢圓的方程；(U)設出點 P、Q 的坐標，由題意利用方程思想，

30、求得直線 AB 的方程以及 k 的值.【解答】解：(I)設橢圓一+.=1(ab0)的焦距為 2c,由橢圓的離心率為 e=匚,又 a2=b2+c2,=j：. . 一 :;1-2(ii)證明： .(幾+b知2)%_2曲-卜2址+2)1 _(k+訂(k十可_0c+l)Ck-b2) k+2 Icfl (k+f Qri-2)34 諜年略事醤占nH+2tk+n(k+2)第32頁(共26頁)-2a=3b，由 |FB=a, |AB|b，且 |FB?|AB|=;可得 ab=6,從而解得 a=3, b=2,2 I 2橢圓的方程為+匚=1；（U）設點 P 的坐標為（xi, yi）,點 Q 的坐標為（X2, y2）,

31、由已知 yi y2 0; | PQ sin / AOQ=y - y2；| AQ| = .:y2,直線 AB 的方程為 x+y- 2=0;由方程組產也，消去 x,可得 y2化;xfy-2=0k+1由 5yi=9y2,可得 5 (k+1) =3 .：；, 兩邊平方，整理得 56k2- 50k+1 仁 0,解得 k或;2 28 k 的值為寺或z z8【點評】本題主要考查了橢圓的標準方程與幾何性質、 直線方程等知識的應用問 題，也考查了利用代數方法求研究圓錐曲線的性質應用問題， 考查了運算求解能 力與運用方程思想解決問題的能力.20.(14.00 分)已知函數 f (x)=才，g (x) =logax

32、，其中 a 1.(I)求函數 h (x) =f (x)- xlna 的單調區(qū)間；(U)若曲線 y=f(x)在點(X1,f(X1)處的切線與曲線 y=g(x)在點(x2,g又 | AQ| =sinZOAB且/OAB*,由-L=sin/AOQ,可得 5yi=9y2；第33頁(共26頁)(X2)處的切線平行，證明 Xl+g (X2)二-女1口1門且；Inam(E)證明當 ae -時，存在直線 I,使 I 是曲線 y=f (x)的切線，也是曲線 y=g (x)的切線.【分析】(I)把 f (x)的解析式代入函數 h (x) =f (x)- xlna,求其導函數， 由導函數的零點對定義域分段，由導函數在

33、各區(qū)間段內的符號可得原函數的單調 區(qū)間；(U)分別求出函數 y=f (x)在點(xi, f (xi)處與 y=g (x)在點(X2, g (x2) 處的切線的斜率，由斜率相等，兩邊取對數可得結論；(E)分別求出曲線 y=f (x)在點(勺，J】)處的切線與曲線 y=g(x)在點(X2,Iogax2)處的切線方程，把問題轉化為證明當 ajj時，存在 xi(-x,+x),x2( 0 , +x)使得 Ii與|2重合，進一步轉化為證明當a 時，方程且-心 Qin 寸+亠耳皿丸存在實數解然后利用導數證明即可11Ina Ina【解答】(I)解：由已知，h (x) =a 1,可知當 x 變化時，h (x), h (x)的變化情況如下表：(-x,0)h (x)-0+h (x)J極小值T函數 h(x)的單調減區(qū)間為(-x,0)，單調遞增區(qū)間為(0,+x)；(U)證明： 由f(x)=彳|na,可得曲線y=