高中數(shù)學(xué) 第三章 統(tǒng)計(jì)案例 12 相關(guān)系數(shù)知識導(dǎo)航 北師大

1、自主整理判斷兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系的方法有：（1）_.（2）_.高手筆記1.假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為（x1，y1），（x2，y2)，（xn，yn），則變量間線性相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式為r=2.（1）r-1，1，|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高.（2）|r|值越接近0,Q越大,變量之間的線性相關(guān)程度越低.(3)當(dāng)r0時(shí),lxy0,b=0,兩個(gè)變量正相關(guān).當(dāng)r0時(shí),lxy0,b=0,兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).當(dāng)r=0時(shí),兩個(gè)變量線性不相關(guān).名師解惑如何用變量間線性系數(shù)r來恒量兩變量間的線性相關(guān)程度的大小?剖析：誤差Q(a，b）=yi-(a+bxi)2=lyy+n-(a+b)2+lx

2、x(b-)2-.當(dāng)b=,a=-b時(shí)，Q（a，b）最小=lyy-=lyy（1-）=lyy·（1-r2）.Q(a,b)0，1-r20，即r-1，1.（1）|r|值越大，1-r2越接近于0，誤差Q（a，b）越小，兩變量之間的線性相關(guān)程度越高.（2）|r|值越接近于0，1-r2越大，誤差Q（a，b）越大，兩變量之間的線性相關(guān)程度越低.（3）當(dāng)r=0時(shí)，兩變量線性不相關(guān).講練互動(dòng)【例1】維尼綸纖維的耐熱水性能的好壞可以用指標(biāo)“縮醛化度”y來衡量，這個(gè)指標(biāo)越高，耐水性能也越好，而甲醛濃度是影響縮醛化度的重要因素，在生產(chǎn)中常用甲醛濃度x（克/升）去控制這一指標(biāo)，為此必須找出它們之間的關(guān)系，現(xiàn)安排一

3、批實(shí)驗(yàn)，獲得如下數(shù)據(jù).甲醛濃度(克/升)18202224262830求相關(guān)系數(shù)r.解：列表如下ixiyixi2xiyi1183242204005673224844245765266766287848407309001684 144=24,=,r=0.96.由此可知，甲醛濃度與縮醛化度之間有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.綠色通道:當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近1時(shí),兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越強(qiáng),當(dāng)相關(guān)系數(shù)|r|越接近0時(shí),兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系越弱.變式訓(xùn)練1.以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的大小x的數(shù)據(jù).房屋大小/m211511080135105銷售價(jià)格/萬元22(1)畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;(2)用最小二乘估計(jì)求線性

4、回歸方程；(3)求相關(guān)系數(shù)r,并作出評價(jià).解:(1)略.(2)ixiyixi2yi2xiyi111513 2252 852211012 1002 3763806 4001 472413518 2253 94251052211 0254842 31054511660 97512 952=109，=23.2，b=0.196，a=-b=23.2-0.196×109=1.836.回歸方程為y=1.836+0.196x，（3）r=0.96，擬合程度較高.【例題2】為了了解某地母親身高x與女兒身高y的相關(guān)關(guān)系,現(xiàn)隨機(jī)測得10對母女的身高,所得數(shù)據(jù)如下表所示.母親身高x/c/p>

5、3159154159158159157女兒身高y/cm158159160161161155162157162156（1）試對x與y進(jìn)行線性回歸分析，并預(yù)測當(dāng)母親身高為161 cm時(shí)，女兒的身高為多少？（2）求相關(guān)系數(shù)r.解：（1）ixiyixi2yi2xiyi115915825 28124 96425 122216015925 60025 28125 440316016025 60025 60025 600416316126 56925 92126 243515916125 28125 92125 599615415523 71624 02523 870715916225 28126 2442

6、5 758815815724 96424 64924 806915916225 28126 24425 7581015715624 64924 33624 4921 5881 591252 222253 185252 688=158.8，=159.1，b=0.78，a=-b=159.1-0.78×158.8=35.回歸直線方程為y=35+0.78x.當(dāng)x=161時(shí),y=160.58 cm,即女兒身高為160.58 cm.（2）r=0.715.綠色通道:解相關(guān)性檢驗(yàn)的必要性，如果不作相關(guān)性檢驗(yàn)，我們?nèi)匀豢梢郧蟪鰔與y的回歸直線方程，但這時(shí)的回歸直線方程已經(jīng)沒有任何實(shí)際價(jià)值了，它也就不能

7、反映變量x與y之間的變化規(guī)律.只有在x與y之間具有相關(guān)關(guān)系時(shí),求回歸直線方程才有實(shí)際意義,也才可以用于預(yù)測取值的情況.變式訓(xùn)練2.設(shè)變量x,y存在相關(guān)關(guān)系,今測得下列10組數(shù)據(jù).x23456810121416y152025303545608082105（1）寫出y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）預(yù)測x=25時(shí)y的取值；(3)求線性相關(guān)系數(shù)r.解：i12345678910xi2345681012141680yi152025303545608082105497xi24916253664100144196256850yi22254006259001 2252 0253 6006 4006 7241102533 149xiyi30601001502103606009601 1