正余弦定理專題(共4頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上解斜三角形（正余弦定理靈活應(yīng)用）1.正弦定理： =2R.（關(guān)鍵點(diǎn)“比”）利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題.（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角.（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）2.余弦定理： a2=b2+c22bccosA； b2=c2+a22cacosB； c2=a2+b22abcosC.在余弦定理中，令C=90°，這時(shí)cosC=0，所以c2=a2+b2.cosA=； cosB=； cosC=.利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知三邊，求三個(gè)角； （2）已知兩邊和它們的夾

2、角，求第三邊和其他兩個(gè)角.可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對(duì)大角定理及幾何作圖來理解”.判斷三角形的形狀：1.在ABC中，若2cosBsinA=sinC，則ABC的形狀一定是（ ） 答案：CA.等腰直角三角形B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等邊三角形2.下列條件中，ABC是銳角三角形的是（ ） 答案：CA.sinA+cosA=B.·0 C.tanA+tanB+tanC0D.b=3，c=3，B=30°解析：由sinA+cosA= 得2sinAcosA=0，A為鈍角.由·0，得·0，cos，0.B為鈍角.由tanA+tanB+ta

3、nC0，得tan（A+B）·（1tanAtanB）+tanC0. tanAtanBtanC0，A、B、C都為銳角.由=，得sinC=，C=或. 3.在ABC中，sinA=，判斷這個(gè)三角形的形狀.解：a=，所以b（a2b2）+c（a2c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以ABC是直角三角形.解斜三角形（求角度和長(zhǎng)度）4.已知（a+b+c）（b+ca）=3bc，則A=_.解析：由已知得（b+c）2a2=3bc，b2+c2a2=bc.=.A=. 答案：5.在ABC中，“A30°”是“s

4、inA”的A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：在ABC中，A30°0sinA1 sinA；sinA30°A150°A30°答案：B6.在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，若三角形的面積S=（a2+b2c2），則C的度數(shù)是_.解析：由S=（a2+b2c2）得absinC=·2abcosC.tanC=1.C=. 答案：45°7.ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，如果a2=b（b+c），求證：A=2B.證明：用正弦定理，a=2RsinA，b=2RsinB，c=

5、2RsinC，代入a2=b（b+c）中，得sin2A=sinB（sinB+sinC）sin2Asin2B=sinBsinC=sinBsin（A+B）（cos2Bcos2A）=sinBsin（A+B）sin（A+B）sin（AB）=sinBsin（A+B），因?yàn)锳、B、C為三角形的三內(nèi)角，所以sin（A+B）0.所以sin（AB）=sinB.所以只能有AB=B，即A=2B.該題若用余弦定理如何解決?解：利用余弦定理，由a2=b（b+c），得cosA=，cos2B=2cos2B1=2（）21=1=.所以cosA=cos2B.因?yàn)锳、B是ABC的內(nèi)角，所以A=2B.評(píng)述：高考題中，涉及到三角形的題目

6、，重點(diǎn)考查正弦、余弦定理，考查的側(cè)重點(diǎn)還在于三角轉(zhuǎn)換.這是命題者的初衷.8.ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，如果a、b、c成等差數(shù)列，B=30°，ABC的面積為，那么b等于（ ） 答案：BA.B.1+ C. D.2+解析：2b=a+c.平方得a2+c2=4b22ac.又ABC的面積為，且B=30°，故由SABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.a2+c2=4b212.由余弦定理，得cosB=，解得b2=4+2.又b為邊長(zhǎng)，b=1+. 9.已知銳角ABC中，sin（A+B）=，sin（AB）=.（1）求證：tanA=2tanB； （2

7、）設(shè)AB=3，求AB邊上的高.（1）證明：sin（A+B）=，sin（AB）=， =2. tanA=2tanB.（2）解：A+B，sin（A+B）=. tan（A+B）=，即=.將tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B4tanB1=0，解得tanB=（負(fù)值舍去）.得tanB=，tanA=2tanB=2+.設(shè)AB邊上的高為CD，則AB=AD+DB=+=.由AB=3得CD=2+，所以AB邊上的高為2+.10.在ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a2c2=acbc，求A的大小及的值.剖析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求A，需找A與三邊的關(guān)系，

8、故可用余弦定理.由b2=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值.解法一：a、b、c成等比數(shù)列，b2=ac. 又a2c2=acbc，b2+c2a2=bc.在ABC中，由余弦定理得 cosA=，A=60°.在ABC中，由正弦定理得sinB=， b2=ac，A=60°，=sin60°=.解法二：在ABC中，由面積公式得bcsinA=acsinB. b2=ac，A=60°，bcsinA=b2sinB. =sinA=.評(píng)述：解三角形時(shí)，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理.11.在ABC中，若C=60°，則=_.解析：= =

9、.（*）C=60°，a2+b2c2=2abcosC=ab. a2+b2=ab+c2. 代入（*）式得=1. 答案：1取值范圍題目12.在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，依次成等比數(shù)列，求y=的取值范圍.解：b2=ac，cosB=（+）. 0B，y=sinB+cosB=sin（B+）.B+， sin（B+）1. 故1y.13.已知ABC中，2（sin2Asin2C）=（ab）sinB，外接圓半徑為.（1）求C； （2）求ABC面積的最大值.解：（1）由2（sin2Asin2C）=（ab）·sinB得2（）=（ab）.又R=，a2c2=abb2.a2+b2c2=

10、ab. cosC=.又0°C180°，C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°A）=2sinA（sin120°cosAcos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2Asin2Acos2A+=sin（2A30°）+.當(dāng)2A=120°，即A=60°時(shí)，Smax=.14.在銳角ABC中，邊長(zhǎng)a=1，b=2，則邊長(zhǎng)c的取值范圍是_.解析：若c是最大邊，則cosC0.0，c.又cba=1， 1c.思悟小結(jié)1.在ABC中，A+B+C=，si