專題--立體幾何中的常見(jiàn)模型(續(xù))和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、專題補(bǔ)充之-立體幾何中的常見(jiàn)模型和動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.繼續(xù)上節(jié)課的常見(jiàn)模型；2.掌握立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的基本處理方法【學(xué)習(xí)重點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的幾種類型【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、接上節(jié)課（立體幾何中的常見(jiàn)模型）：四首尾連接的異面直線模型例11.若異面直線所成的角為,AB是公垂線,E,F分別是異面直線上到A,B距離為2和1的兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),線段AB的長(zhǎng)為 .例12. 已知在一個(gè)60°的二面角的棱上，如圖有兩個(gè)點(diǎn)A，B，AC，BD分別是在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB4 cm，AC6 cm，BD8 cm，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)五害羞的異面直線模型例13. 在棱長(zhǎng)都相等的四面體中，、分別是棱、

2、的中點(diǎn)，連結(jié)、，如圖所示，求異面直線、所成角的余弦值七四個(gè)面都是直角三角形的模型例14.如圖，是的直徑，垂直于所在的平面，是圓周上不同于的一動(dòng)點(diǎn)。（1） 求證：平面平面；（2） 若，過(guò)作于，于，求截面三角形面積的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)的位置（用的長(zhǎng)表示）。（3） 在第（2）問(wèn)的條件下，求二面角的大小。（4）在第（2）問(wèn)的條件下求其外接球的體積。八三個(gè)面兩兩垂直的模型例15.已知PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PAB、PAC、PBC的面積分別為1.5cm2，2cm2，6cm2，則過(guò)P，A，B，C四點(diǎn)的外接球的表面積為 cm2（注 ，其中r為球半徑）九三垂線模型例16.看下面正方體中的兩個(gè)問(wèn)題。十從一

3、點(diǎn)引射線，三線模型，看下面幾個(gè)問(wèn)題先復(fù)習(xí)三余弦公式_.例17.看下面一個(gè)問(wèn)題：自己畫(huà)圖。二、立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一、 求動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題這類問(wèn)題往往是先利用題中條件把立幾問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，再判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡。04年高考北京、天津、重慶都各有一個(gè)選擇題考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡問(wèn)題。 例1（天津8）如圖，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)，C是內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且。那么，動(dòng)點(diǎn)C在平面內(nèi)的軌跡是（ ）A. 一條線段，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B. 一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)例1題圖ABCPC. 一個(gè)橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D. 半圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)解析：由三垂線定理的逆定理得ACPC且PC在內(nèi)的射影為BC，ACBC.ACB=900.

4、 C點(diǎn)的軌跡為以AB為直徑圓，但除去A、B兩點(diǎn).二、 動(dòng)點(diǎn)與某點(diǎn)（面）的距離問(wèn)題例2正方體中，棱長(zhǎng)為a，E是的中點(diǎn)，OE例2題圖ABCDA1C1D1B1M在對(duì)角面上找一動(dòng)點(diǎn)M，使AM+ME最小.解析： 設(shè)ACBD=O，則AO=CO 平面是線段AC的垂直平分面，C是A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)。連CE交面于M ， 則M 就是要求的點(diǎn)，這時(shí)AM+ME 最小。又AM=CM,AM+ME的最小值就是CE 的長(zhǎng)，而=, 此時(shí)AM+ME的最小值為簡(jiǎn)評(píng)：本題先證明平面是線段AC的垂直平分面，然后利用C是A關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，所以AM=CM, AM+ME的最小值，即為CM+ME的最小值，即CE的長(zhǎng)，所以M點(diǎn)為CE和平面的交

5、點(diǎn)。三、 直線與平面（或直線）垂直問(wèn)題例3（湖北理20）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA底面ABCD，AB=， BC=1，PA=2，E為PD的中點(diǎn). （）求直線AC與PB所成角的余弦值；（）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點(diǎn)N，使NE面PAC，并求出N點(diǎn)到AB和AP的距離.解析：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)為A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，1），從而設(shè)的夾角為，則NzxyODE例3題圖（2）ABCPDE例3題圖（1）ABCPAC與PB所成角的余弦值為. （）由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)

6、N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），則，由NE面PAC可得， 即N點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而N點(diǎn)到AB、AP的距離分別為1，.簡(jiǎn)評(píng)：本題主要考查線面關(guān)系和四棱錐等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力. 由于N點(diǎn)在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x，O，z），然后利用NE面PAC，有求得動(dòng)點(diǎn)N的坐標(biāo)為.四、 直線與平面（或直線）平行問(wèn)題例4.如圖，已知在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，ABC=600， PA=AC=a， PB=PD=a點(diǎn)E在PD上，且PE：ED=2：1.在棱PC上有一動(dòng)點(diǎn)F，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)F移動(dòng)到何處時(shí)，使BF平面AEC？證明你的結(jié)論。xABCPDEFzy例4題圖解析：由題意知PA平面ABCD，以

7、A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AD、AP分別為y軸、z軸，過(guò)點(diǎn)A垂直平面PAD的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系。則A（0，0，0）、B（a，-a，0）、C（a，a，0）、D（0，a，0）、P（0，0，a）、E（0，a，a），所以=（0，a，a），=（a，a，-a），=（-a，a，a），=（a，a，0），=（0，0，a），設(shè)點(diǎn)F是棱PC上的點(diǎn)，=（a，a，-a），其中0<<1,則=（-a，a，a）+（a，a，-a）=（a（-1），a（1+），a（1-）.令=1+2,則 此時(shí),F為棱PC的中點(diǎn).又BF平面AEC，所以當(dāng)F是棱的中點(diǎn)時(shí)， BF平面AEC .簡(jiǎn)評(píng)：本題主要考查共面向量定理，令=1+2,由題意得到又BF平面AEC，說(shuō)明BF平面AEC.此時(shí)F為棱PC的中點(diǎn).五、 平面與平面垂直問(wèn)題EFGHDABC例5題圖P例5.如圖，在正三棱錐ABCD中，DAC=30°，AB=a,平行于AD、BC的截面EFGH分別交AB、BD、DC、CA于點(diǎn)E、F、G、H. 設(shè)P是棱AD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)，平面PBC平面EFGH，請(qǐng)給出證明.解：作CPAD于P點(diǎn)，連結(jié)BP，ADBC，AD面BCPHGAD，HG面BCP，HG面E