東北大學(xué)巖石力學(xué)講義第五章 線彈性力學(xué)問題的微分提法

1、第五章 線彈性力學(xué)問題的微分提法第一節(jié) 線彈性力學(xué)的基本方程在連續(xù)性、小變形、線彈性假設(shè)的基礎(chǔ)上，從第二章到第四章，我們已從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一般規(guī)律出發(fā)，建立了線彈性力學(xué)的基本方程，它們是1、平衡(運(yùn)動(dòng))方程2、幾何方程還有應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 3、本構(gòu)方程1)、 2)、 3)、 如果采用張量記法，上述方程可寫為1、平衡方程2、幾何方程應(yīng)變協(xié)調(diào)方程(Saint-Venant)3、本構(gòu)方程(1)、(2)、(3)、上面這組方程包括15個(gè)未知量，它們是6個(gè)應(yīng)力，6個(gè)應(yīng)變和3個(gè)位移，方程數(shù)也是15個(gè)。因此，方程是封閉的。在給了邊界條件和初始條件(對(duì)彈性動(dòng)力學(xué))后，可以求出這15個(gè)未知量。第二節(jié) 線彈性力學(xué)問題的

2、邊界條件 為了求出上述偏微分方程的唯一解，還必須給出定解條件。在彈性靜力問題中就是邊界條件。通常有以下三類邊界條件：1、位移邊界條件。在全部邊界上位移已知，即在上， (5.1)式中是彈性體的外表面，是上的已知位移。此時(shí)彈性力學(xué)的邊值問題歸結(jié)為在上面三個(gè)邊界條件下解15個(gè)方程。2、應(yīng)力邊界條件在全部的邊界上，面力，即應(yīng)力已知，此時(shí)按斜面應(yīng)力公式，可得到在上， 此時(shí)，彈性力學(xué)的邊值問題歸結(jié)為，在以上應(yīng)力邊界條件下求解15個(gè)方程。3、混合邊界條件 若邊界可以分為兩部分，即，在上應(yīng)力已知，而在上位移已知，則這樣的邊界條件，稱為混合邊界條件。 上面所說(shuō)的三類邊值問題分別被稱為位移邊值問題、應(yīng)力邊值問題和

3、混合邊值問題。 邊界條件的提法不是任意的，它必須使在特定的邊值條件下的基本方程，不僅是可解的(即解是存在的)，而且還是唯一的和穩(wěn)定的。這三個(gè)條件共同構(gòu)成了微分方程邊值問題的適定性。 如果在同一邊界上，既給定了位移，又給定了應(yīng)力，則問題是無(wú)解的，因而是不適定的。 但是除了上述最常用的三種邊界條件外，也仍有其它邊界條件，使得線彈性問題的微分提法是適定的，如下圖所示的，在同一邊界上，已知部分位移和部分應(yīng)力的邊界條件。在這種情況下，y方向的位移是已知的，而x方向的剪應(yīng)力為零。圖 5.1在面AB上： (5.2) 相應(yīng)于三類邊界條件，彈性力學(xué)問題的解法也分三類：1、位移解法；2、應(yīng)力解法；3、混合解法。第

4、三節(jié) 線彈性力學(xué)邊值問題的位移解法 位移解法是以位移(或者u、v、w)為基本未知量的解法，將彈性力學(xué)的基本方程化為只用三個(gè)位移分量表示的平衡方程，連同邊界條件一起構(gòu)成定解問題，從中求出位移(或者u、v、w)，將其代入幾何方程求應(yīng)變，最后將應(yīng)變代入本構(gòu)方程求應(yīng)力的方法。 下面推導(dǎo)位移解法的基本方程，已知應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為因此將它們代入x方向的平衡方程，得出以應(yīng)變表示的平衡方程 (a)利用幾何方程可得將上面3個(gè)方程代入(a)式，可得整理上式即式中是Laplace算子。按同樣的方法可以得到其它兩個(gè)方程，這樣以位移表示的平衡方程為 (5-3)用位移求解彈性力學(xué)問題，適用的邊界條件可以是位移邊界條件，也可以

5、是應(yīng)力邊界條件。當(dāng)采用應(yīng)力邊界條件時(shí)，邊界條件需要用位移表示，如將彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系代入上式，有類似地可以得到其它2個(gè)應(yīng)力邊界條件，因此用位移表示的邊界條件為 (5-4) 當(dāng)然也可以保持應(yīng)力邊界條件形式不變，但這時(shí)需要將所得到的包括積分常數(shù)的位移的解，通過幾何方程和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，變換為應(yīng)力，然后利用應(yīng)力邊界條件確定常數(shù)。 方程(5-3)常被稱為L(zhǎng)ame(拉梅)方程或Navier(納維葉)方程，只要位移分量滿足所要求的光滑度，則從(5-3)式求出的位移滿足變形協(xié)調(diào)方程，因此可以保證變形以后的物體仍是連續(xù)的。若再通過邊界條件求出應(yīng)力，這些應(yīng)力也滿足平衡方程。 下面對(duì)Lame方程做進(jìn)一步的討論。用指標(biāo)

6、符號(hào)Lame方程可寫為 (5-5)此處，k是啞標(biāo)，i是自由指標(biāo)。利用彈性系數(shù)之間的關(guān)系代入(5-5)式得到將上式對(duì)xi求導(dǎo)得到利用位移的連續(xù)性，并將啞標(biāo)成對(duì)交換后，上式可以寫為即 (5-6)這表明此處，k、i遍歷x、y、z。注意到是體積應(yīng)變，也是第一應(yīng)變不變量，那么式(5-6)表明，在無(wú)體力情況下，是雙調(diào)和函數(shù)。利用本構(gòu)方程，可以表明在這種情況下，平均應(yīng)力和應(yīng)力第一不變量也是雙調(diào)和函數(shù)。 不采用指標(biāo)符號(hào)，可以更直觀地得到上面的結(jié)論。將(5-3)的第一式對(duì)x求偏導(dǎo)，第二式對(duì)y求偏導(dǎo)，第三式對(duì)z求偏導(dǎo)，然后相加，可得迭加以上三式，得到即因此第四節(jié) 線彈性力學(xué)邊值問題的應(yīng)力解法 如果我們以應(yīng)力為基本

7、未知量，消去應(yīng)變和位移，來(lái)導(dǎo)出得到彈性力學(xué)問題的基本方程時(shí)，平衡方程必須保留，但是三個(gè)平衡方程，無(wú)法求出六個(gè)應(yīng)力分量?？紤]到應(yīng)力已知，可以利用本構(gòu)方程(4-45)求應(yīng)變。(4-45)是代數(shù)方程組，因此可以求出一組唯一的應(yīng)變。但通過幾何方程從應(yīng)變求位移時(shí)，需要做積分，因此會(huì)出現(xiàn)待定的積分常數(shù)與函數(shù)，為了確保位移的連續(xù)性，還應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件，這樣將應(yīng)力作為基本未知量時(shí)，為了保證位移的連續(xù)性，需導(dǎo)出以應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)條件。為此，首先將廣義虎克定律改寫為式中，同一平面上的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為將廣義虎克定律代入，可得 (5-8a)可以類似地得到其它方程 (5-8b) (5-8c)另一方面，不同平面上的應(yīng)變協(xié)調(diào)

8、方程為將本構(gòu)方程代入上式，得到因此，不同平面上的應(yīng)力協(xié)調(diào)方程為 (5-8d) (5-8e) (5-8f)利用平衡方程，可以簡(jiǎn)化上面的六個(gè)方程，使每個(gè)方程中包含一個(gè)體積應(yīng)力，一個(gè)應(yīng)力分量和體積力f，推導(dǎo)如下y和z方向的平衡方程為因此這樣將上式代入應(yīng)力協(xié)調(diào)方程(5-8b)式，得到 (a)由于即將上面兩個(gè)方程代入(a)式，得到整理上式 (b)利用平衡方程，可以得到因此(b)式可變?yōu)?(c)類似地，可以得到其它兩個(gè)方程 (d) (e)迭加(c)、(d)、(e)三式，得到即 (f)簡(jiǎn)化(c)式，并將(f )式代入有最后，可以得到 (5-9a)類似地，可以得到其它兩個(gè)式子 (5-9b) (5-9c)按照類

9、似地方法，還可以得到其它三個(gè)應(yīng)力協(xié)調(diào)方程 (5-9d) (5-9e) (5-9f)第五節(jié) 彈性力學(xué)邊值問題的迭加原理 彈性力學(xué)邊值問題的解，必須滿足基本方程和邊界條件。若彈性體的體積為V，所受體力為，在表面上的面力為，在表面上的位移為，則彈性力學(xué)的迭加原理是：若彈性體在體力，表面上的面力，表面上的位移作用下處于平衡時(shí)的應(yīng)力為，應(yīng)變?yōu)?，位移為。在體力，表面上的面力，表面上的位移作用下處于平衡時(shí)的應(yīng)力為，應(yīng)變?yōu)椋灰茷?。則在這兩組載荷同時(shí)作用下，處于平衡時(shí)，彈性體的應(yīng)力、應(yīng)變、位移為這兩組力分別作用時(shí)應(yīng)力、應(yīng)變、位移的迭加，即有證明：在二組力分別作用下的應(yīng)力，必定滿足平衡方程、應(yīng)力邊界條件和位移邊

10、界條件，這樣在第一組力作用下的應(yīng)力、應(yīng)變、位移滿足下列方程 在V內(nèi) (5-10a) 在上 (5-11a) 在上 (5-12a)在第二組力作用下的應(yīng)力、應(yīng)變、位移，也滿足平衡方程、應(yīng)力邊界條件和位移邊界條件，即 在V內(nèi) (5-10b) 在上 (5-11b) 在上 (5-12b) 在這兩組力分別作用下，產(chǎn)生的應(yīng)力和應(yīng)變，還滿足幾何方程和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，即 (5-13a) (5-13b) (5-14a) (5-14b)現(xiàn)在設(shè)體力為：面力為：邊界位移：一方面，在這組力作用下，彈性體處于平衡時(shí)的應(yīng)力為滿足 在V內(nèi) (5-15a) 在上 (5-15b) 在上 (5-15c)另一方面，迭加(5-10a、b)可

11、得 (5-16a) (5-16b) (5-16c)對(duì)比(5-15)和(5-16)容易看出 (5-17)迭加(5-14a、b)并注意到(5-17)，可得 (g)另一方面 (5-15d)對(duì)比(g)和(5-15d)可得 (5-18)迭加(5-13 a、b)，并注意到(5-18)，可得 (h)另一方面 (5-15e)對(duì)比(h)和(5-15e)，并注意到(5-16c)可得 (5-19)(5-17)、(5-18)、(5-20)即由這兩組載荷分別產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變、位移的迭加，它們也滿足幾何方程和本構(gòu)方程。證畢。第六節(jié) 彈性力學(xué)邊值問題解的唯一性定理 設(shè)彈性體的體積為V，表面為，在體積V上受體積力的作用，在表

12、面上受邊界力的作用，表面上給定位移，則彈性體處于平衡時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移都是唯一的。為證明該定理，首先證明一個(gè)引理：彈性體在體積力，在上表面力，在表面上位移的條件下，處于平衡時(shí)，體內(nèi)各點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變、位移均為零。證明：無(wú)體積力作用時(shí)的平衡方程為 (i)上無(wú)邊界面力的條件為 在上 (j)在上表面位移為零的條件是 在上 (k)將分別與(i)的第一、第二、第三式相乘后，在V上積分得到利用Gauss公式，右端的第一個(gè)積分可改寫為面積分，即有右端的第二個(gè)積分號(hào)下的被積函數(shù)是應(yīng)變能，這樣上式可以改寫為 (5-20)重新整理上式由(j)式，在上邊界面力為零，這樣積分由(k)式，在上邊界位移為零，這

13、樣積分這樣，從(5-20)得到上式在任意 大小的體積內(nèi)都成立，這意味著被積函數(shù)由第四章，我們知道因此，應(yīng)變。由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系(4-45)，可以推出，在這種情況下，。從第三章關(guān)于位移單值連續(xù)性的討論，又可以知道，在這種情況下，位移。(注：注意到在上，因此從上任一點(diǎn)出發(fā)做線積分可以得到，在的情況下位移)現(xiàn)在我們來(lái)證明彈性力學(xué)邊值問題解的唯一性定理。證：設(shè)在體積力，上的表面力和上作用下，體積為V的彈性體，有兩組解和。這兩組解都應(yīng)該滿足平衡方程和邊界條件，即有 在V內(nèi) 在上 (5-21) 在上 和 在V內(nèi) 在上 (5-22) 在上 令(5-21)和(5-22)的對(duì)應(yīng)方程相減，得到 在V內(nèi) 在上 (5-23) 在上亦即 (5-24)(5-24)式表明因此，在給定邊界條件下，彈性力學(xué)邊值問題的解是唯一的。第七節(jié) 圣維南原理(力作用的局部性原理) 彈性力學(xué)微分問題的正確提法，要求在邊界上逐點(diǎn)應(yīng)力已知的條件下，或邊界上逐點(diǎn)位移已知的條件下，求解基本方程。但在實(shí)際問題中，往往只知道小部分區(qū)域上