插值方法數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)論文

1、數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告學(xué)號(hào) 1309101104 姓名 黃圳娟 學(xué)號(hào) 1309101107 姓名 鄭美美 學(xué)號(hào) 1309101125 姓名 黃福川 學(xué)號(hào) 1309101220 姓名 黃昌貴 學(xué)號(hào) 1309101221 姓名 莊慧斌 2011年12月 23日福建工程學(xué)院數(shù)理系專業(yè)課程設(shè)計(jì)成績(jī)?cè)u(píng)定書設(shè)計(jì)題目： 插值方法 信息與計(jì)算科學(xué) 專業(yè) 指導(dǎo)教師 龍建輝 指導(dǎo)教師評(píng)語成 績(jī)： 指導(dǎo)教師 時(shí) 間： 答辯小組意見設(shè)計(jì)成績(jī)： 答辯組長(zhǎng)： 黃福川 審定系主任： 插值方法1、摘要：插值多項(xiàng)式的唯一性表明，對(duì)同一組節(jié)點(diǎn)，它們的插值多項(xiàng)式是唯一的，可能由不同的方法，會(huì)得到不同形式的插值多項(xiàng)式，但它們之間可以相

2、互轉(zhuǎn)化，本質(zhì)相同，當(dāng)然誤差也一樣。插值方法能夠有效解決線性方程組來確定插值多項(xiàng)式的計(jì)算量偏大，計(jì)算步驟較多，容易使舍入誤差增大的嚴(yán)重病態(tài)。1、牛頓插值將待求的n次插值多項(xiàng)式改寫為具有承襲性的形式，然后利用插值條件設(shè)，若存在一簡(jiǎn)單函數(shù),使得。確定的待定系數(shù)，以求出所要的插值函數(shù)。2、哈密爾特插值是利用Lagrange插值函數(shù)將待求的n次多項(xiàng)式插值函數(shù)pn(x改寫成另一種表示方式，再利用插值條件確定其中的待定函數(shù)，從而求出插值多項(xiàng)式。在利用插值的另一條件 求出插值函數(shù)。3、分段插值被插值函數(shù)的插值節(jié)點(diǎn) 由小到大 排序,然后每對(duì)相鄰的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)為端點(diǎn)的區(qū)間上用次多項(xiàng)式去近似。4、樣條插值函數(shù)在區(qū)間上給

3、定節(jié)點(diǎn)及其函數(shù)值，函數(shù)滿足關(guān)鍵字：牛頓插值 哈密爾特插值 分段插值 樣條插值2、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)目的2.1、插值多項(xiàng)式的唯一性表明，對(duì)同一組節(jié)點(diǎn)，它們的 插值多項(xiàng)式是唯一的，可能由不同的方法，會(huì)得到不同形式的插值多項(xiàng)式，但它們之間可以相互轉(zhuǎn)化，本質(zhì)相同，當(dāng)然誤差也一樣。2.2、 n +1組節(jié)點(diǎn)只能確定一個(gè)不超過n次的多項(xiàng)式，若n次，如設(shè)為n+1(x，則有n+2有待定參數(shù)a0,a1,an, an+1需確定，而n +1個(gè)組節(jié)點(diǎn)，只構(gòu)成n +1個(gè)插值條 件，即構(gòu)成n+1個(gè)方程，只能確定n+1個(gè)變量的方程組。2.3、上述證明是構(gòu)造性的（給出解決問題的方法）即 以通過解線性方程組來確定插值多項(xiàng)式，但這種方法的計(jì)

4、算量偏大，計(jì)算步驟較多，容易使舍入誤差增大。因此實(shí)際計(jì)算中需要用其它方式進(jìn)行故不能用解方程組的方法獲得插值多項(xiàng)式。我們利用牛頓插值、哈密爾特插值、分段插值、樣條插值的方法可以有效解決n較大，方程組較多的繁瑣的嚴(yán)重病態(tài)。3、插值方法的理論基礎(chǔ)3.1、牛頓插值法由線性代數(shù)的只是可知，任何一個(gè)n次多項(xiàng)式都可以表示成：的線性組合。既可以把滿足插值條件的n次插值多項(xiàng)式寫成如下形式：其中，為待定系數(shù)。這種形式的插值多項(xiàng)式稱為牛頓插值多項(xiàng)式，記為，即 因此，牛頓插值多項(xiàng)式是插值多項(xiàng)式的另一種表示形式。設(shè)函數(shù)在等距節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值為已知，其中是正常數(shù)，稱步長(zhǎng)。我們稱兩個(gè)相鄰點(diǎn)和處函數(shù)之差為函數(shù)在點(diǎn)處以為步長(zhǎng)的一

5、階向前差分，記作，即，于是，函數(shù)在各節(jié)點(diǎn)處的一階差分依次為又稱一階差分的差分為二階差分。一般的，定義函數(shù)在點(diǎn)處的階差分為。在等距節(jié)點(diǎn)情況下，可以利用差分表示牛頓插值多項(xiàng)式的系數(shù)。事實(shí)上，由插值條件可得；再由插值條件可得；一般的，由插值條件可得。于是，滿足插值條件的插值多項(xiàng)式為3.2、哈密爾特插值若給出的插值條件有(m+1個(gè)則可造出m次插值多項(xiàng)式.建立Hermite插值多項(xiàng)式的方法仍可采用插值基函數(shù)和均差插值的方法，較常見的一類帶導(dǎo)數(shù)插值的問題，是在給出節(jié)點(diǎn)上已知要求，使及是關(guān)于點(diǎn)的(2n+1次Hermite插值基函數(shù)，它們?yōu)?2n+1次多項(xiàng)式且滿足條件上存在(2n+2階導(dǎo)數(shù)，則其插值余項(xiàng)為與x

6、有關(guān)，。3.3、分段插值所謂分段線性插值是通過點(diǎn)用折線斷連接起來逼近。設(shè)已知結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值，求一折線函數(shù)滿足：1、2、 3、在每個(gè)小區(qū)間上是線性函數(shù)，則稱為分段線性插值函數(shù)。模型1：由定義可知在每個(gè)小區(qū)間上可表示為 模型2：首先確定間隔序列，使得：第二個(gè)量是局部變量,其定義為：最后一個(gè)量是一階均差則插值函數(shù)可表示為3.4、樣條插值樣條函數(shù)的概念所謂樣條，本來是工程設(shè)計(jì)中使用的一種繪圖工具，它是富有彈性細(xì)木條或細(xì)金屬條。繪圖員利用它把一些已知點(diǎn)連接成一條光滑曲線（稱為樣條曲線），并使連接點(diǎn)處有連續(xù)的曲率。數(shù)學(xué)上將具有一定光滑性的分段多項(xiàng)式稱為樣條函數(shù)。具體的說，給定區(qū)間的一個(gè)劃分：如果函數(shù)滿足：

7、（i） 在每個(gè)小區(qū)間上是次多項(xiàng)式；（ii） 在上具有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。則稱為關(guān)于劃分的次樣條函數(shù)，其圖形稱為次樣條曲線。稱為樣條節(jié)點(diǎn)，稱為內(nèi)節(jié)點(diǎn)，稱為邊界點(diǎn)，這類樣條函數(shù)的全體記作，稱為次樣條函數(shù)空間。顯然，折線是一次樣條曲線。若，則是關(guān)于分劃的次多項(xiàng)式樣條函數(shù)。次多項(xiàng)式樣條函數(shù)的一般形式為：,其中 和均為任意常數(shù)，而在實(shí)際中最常用的是和3的情況，即為二次樣條函數(shù)和三次樣條函數(shù)。二次樣條函數(shù)：對(duì)于上的分劃，則其中 三次樣條函數(shù)：對(duì)于上的分劃 ，則其中。利用樣條函數(shù)進(jìn)行插值，即取插值函數(shù)為樣條函數(shù)，稱為樣條插值。例如分段線性插值是一次樣條插值。、二次樣條函數(shù)插值首先，我們注意到 中含有 個(gè)特定常數(shù)，故

8、應(yīng)需要 個(gè)插值條件，因此，二次樣條插值問題可分為兩類：?jiǎn)栴}（1）：已知插值節(jié)點(diǎn) 和相應(yīng)的函數(shù)值 (i = 0,1, n 以及端點(diǎn) （或 ）處的導(dǎo)數(shù)值 （或 ），求 使得 問題（2）：已知插值節(jié)點(diǎn) 和相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值 以及端點(diǎn) （或 ）處的函數(shù)值 （或 ），求 使得 事實(shí)上，可以證明這兩類插值問題都是唯一可解的。對(duì)于問題（1），由條件（7）引入記號(hào)為位置向量，為已知向量。于是，問題轉(zhuǎn)化為求方程組的解的問題，即可得到二次樣條函數(shù)的表達(dá)式。、三次樣條函數(shù)插值由于中含有 個(gè)待定系數(shù)，故應(yīng)需要 個(gè)插值條件，已知插值節(jié)點(diǎn)和相應(yīng)的函數(shù)值 ,這里提供了個(gè)條件，還需要2個(gè)邊界條件。常用的三次樣條函數(shù)的邊界條件有 3

9、 種類型：。由這種邊界條件建立的樣條插值函數(shù)稱為的完備三次樣條插值函數(shù)。特別地，時(shí)，樣條曲線在端點(diǎn)處呈水平狀態(tài)。如果 不知道，我們可以要求與 在端點(diǎn)處近似相等。這時(shí)以為節(jié)點(diǎn)作一個(gè)三次 Newton 插值多項(xiàng)式 ，以 作一個(gè)三次 Newton 插值多項(xiàng)式，要求由這種邊界條件建立的三次樣條稱為 的 Lagrange 三次樣條插值函數(shù)。特別地時(shí)，稱為自然邊界條件。,(這里要求次條件成為周期條件。4、程序代碼及運(yùn)行結(jié)果代碼：format long;way_in = input(請(qǐng)選擇輸入的內(nèi)容(1或2:n1、輸入為f(x表達(dá)式，區(qū)間a,b及其等分?jǐn)?shù)n的值n2、輸入為f(x表達(dá)式和插值點(diǎn)橫坐標(biāo)xi的值n

10、;switch way_incase 1f = input(請(qǐng)輸入函數(shù)表達(dá)式:f(x = , s;a = input(請(qǐng)輸入?yún)^(qū)間左端值a：;b = input(請(qǐng)輸入?yún)^(qū)間右端值b：;n = input(請(qǐng)輸入?yún)^(qū)間等分值n：;np = input(請(qǐng)輸入插值函數(shù)在區(qū)間內(nèi)繪圖點(diǎn)數(shù)(默認(rèn)輸入100：;for i=1:n+1 x(i = a + (b-a/n*(i-1;y(i,1 = eval(subs(f,x(i,x;end for j=1:nfor k=j:ntemp=y(k+1,j-y(k,j;y(k+1,j+1=temp/(x(k+1-x(k+1-j ;endc(j=y(j,j;endc(j+

11、1=y(j+1,j+1;for k=1:np-1xx(k= a + (b-a/np*k;yy(k = eval(subs(f,xx(k,x;endfor k=1:np-1xs=xx(k;for i=1:n+1 if i=1s(i=c(i;elses(i=c(i;for j=1:i-1s(i=s(i*(xs-x(j;end endendNn(k=sum(s;endway_out = input(請(qǐng)選擇要繪出的曲線(1、2或3：n1、同時(shí)輸出原始曲線f(x和插值曲線n2、只輸出插值曲線n3、只輸出原始曲線n;switch way_outcase 1figure;plot(xx,yy,r;grid

12、on;hold on;plot(xx,Nn,b;legend(原始曲線f(x,插值曲線N(x;title(牛頓插值;case 2figure;plot(xx,Nn,m;legend(插值曲線N(x;title(牛頓插值;case 3figure;plot(xx,yy,g;legend(原始曲線f(x;title(牛頓插值;otherwiseerrordlg(請(qǐng)正確選擇，輸入只能為1、2或者3！,提示,on;endcase 2f = input(請(qǐng)輸入函數(shù)表達(dá)式:f(x = , s;xb = input(請(qǐng)輸入插值節(jié)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x:,s;x = sscanf(xb,%f;disp(x0,x1,.,

13、xi分別為：;disp(x;n = size(x,1 - 1;if n= x0(i & (x x=2.5 3.2 4.1 4.8 5.7x =2.5000 3.2000 4.1000 4.8000 5.7000 y=5.0 5.8 6.3 5.6 7.2y =5.0000 5.8000 6.3000 5.6000 7.2000 p1=spline(x,y; x1=2.5:0.1:5.7; y1=ppval(p1,x1; plot(x,y,ro,x1,y1,b: p2=csape(x,y,complete,1 1.2; y2=ppval(p2,x1; plot(x1,y2,g: p3=csape

14、(x,y,variational; y3=ppval(p3,x1; plot(x1,y3,k+ plot(x,y,ro,x1,y1,b:,x1,y2,g.,x1,y3,k+代碼的運(yùn)行結(jié)果：利用不同條件的三次樣條插值結(jié)果如最后一幅圖所示：5、結(jié)果分析牛頓插值法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算較簡(jiǎn)單，尤其是增加節(jié)點(diǎn)時(shí)，計(jì)算只要增加一項(xiàng)，這點(diǎn)是Lagrange插值無法比的。但是牛頓插值仍然沒有改變Lagrange插值的插值曲線在節(jié)點(diǎn)處有尖點(diǎn)，不光滑，插值多項(xiàng)式在節(jié)點(diǎn)處不可導(dǎo)等缺點(diǎn)。哈密爾特插值函數(shù)在每個(gè)小區(qū)間上都收斂于函數(shù)。插值效果比較好，誤差值小。分段插值分段越多，插值誤差越小。實(shí)際上用函數(shù)表作插值計(jì)算時(shí)，分段線性插值就足夠了，如數(shù)學(xué)、物理中用的特殊函數(shù)表，數(shù)理統(tǒng)計(jì)中用的概率分布表等。但是需要多次分段比較繁瑣。樣條插值具有連續(xù)的曲率，而許多工程技術(shù)中提出的計(jì)算問題對(duì)插值函數(shù)的光滑性