雙曲線的概念及性質

1、雙曲線的概念及性質一，定義：平面內(nèi)與兩定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a （小于|F仆2| ）的軌跡問題：（1）平面內(nèi)與兩定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（等于|F仆2|）的軌跡是什么？（2）平面內(nèi)與兩定點的距離的差的絕對值等于常數(shù)（大于|F仆2|）的軌跡是什么？（3 ）若a=0,動點M的是軌跡什么？ 當|MF1|-|MF2|= 2a<|F1F2|時，M點軌跡是雙曲線（其中當 |MF1|-|MF2|= 2a時，M點 軌跡是雙曲線中靠近 F2的一支； 當|MF2|-|MF1|= 2a時，M點軌跡是雙曲線中靠近 F1的一 支）； 當|MF1|-|MF2|= 2a=|F1F2|時，M點軌跡是在直

2、線 F仆2上且以F1和F2為端點向外的 兩條射線。 當|MF1|-|MF2|= 2a >|F仆2|時，M點的軌跡不存在。 當|MF1|-|MF2|= 2a=0時，M點的軌跡是線段 F1F2的垂直平分線。二，雙曲線的標準方程首先建立起適當?shù)闹苯亲鴺讼?，以所在的直線為x軸，F(xiàn)F的垂直平分線為y軸,根據(jù)定義可以得到J(x +c)2 +y2 - J(x_c)2 + y2 = 2a 閆 RF2 化簡此方程得2 22222 22( 2222.2 X yc -a X -a y =a (c -a )，令 c -a =b 得：二 2 =1，其中 R -c,0 a b為左焦點，F(xiàn)2 c,0為右焦點思考：若焦

3、點落在 Y軸上的時候，其標準方程又是怎樣的？三，雙曲線的性質2 2以雙曲線標準方程 務-與=1， c2=a2，b2（c a 0）為例進行說明.a b1 范圍：觀察雙曲線的草圖，可以直觀看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線x = a的外側.由標準方程可得x2 Ka2，當x啟a時，y才有實數(shù)值；對于 y的任何值，x都有實數(shù) 值這說明從橫的方向來看，直線x=-a,x=a之間沒有圖象，從縱的方向來看，隨著x的增大， y的絕對值也無限增大，所以曲線在縱方向上可無限伸展，不像橢圓那樣是封閉曲線2. 對稱性：雙曲線不封閉，但仍具三個對稱性，稱其對稱中心為雙曲線的中心3頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲

4、線的頂點，令y = 0得x二_a，因此雙曲線和 x2 2軸有兩個交點 A （-a,0）A2（a,0），它們是雙曲線 聳-占=1的頂點，對稱軸上位于兩頂點a b2 2間的線段A1A2叫做雙曲線 篤-爲-1的實軸長，它的長是 2a, a叫半實軸長a b但y軸上的兩個特殊點耳(0,6, B2 0,-b，在雙曲線中也有非常重要的作用把線段BB?叫做雙曲線的虛軸，它的長是2b，b叫做虛半軸長實軸：長為2a, a叫做半實軸長.虛軸：B|B2長為2b， b叫做虛半軸長4.漸近線：經(jīng)過 Ap人、Br、B2作x軸、y軸的平行線x二a,y -二b，圍成一個矩形,5 / 4其對角線所在的直線方程為y = 一 b x

5、 .a(1)(2)定義：如果有一條直線使得當曲線上的一點 M沿曲線無 限遠離原點時，點 M到該直線的距離無限接近于零，則這 條直線叫這一曲線的漸近線；b22直線y = x與雙曲線 篤-每 =1在無窮遠處是aa b否相交？，得漸近線方程(3) 求法：在方程 江一以中，令右邊為零，則a b2x_ 2 a2 2若方程為斧訂1，則漸近線方程為y=_bxc5.離心率：e c a 0，所以e 1 a2 .冋題拓展(一) 等軸雙曲線1、定義：若a=b即實軸和虛軸等長，這樣的雙曲線叫做等軸雙曲線2、 方程： x2 _ y2 = a2 或 y2 _ x2 = a2.3、 等軸雙曲線的性質：(1 )漸近線方程為：

6、y； (2)漸近線互相垂直.3)等軸雙曲 線方程可以設為：x2 -y2 =( =C),當一0時交點在x軸，當'<0時焦點在y軸上.(二) 共軛雙曲線1定義：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線叫做原雙曲線的共軛雙曲線2 22、方程：(1 )篤一爲=1的共軛雙曲線為a b2 2 2 2爲§ =1 ；爲篤=1的共軛雙曲線為baa b(2)互為共軛的一對雙曲線方程合起來寫成為2 2二_1或爲-篤二-1;b23、性質：有一對共同的漸近線；有相同的焦距，四焦點共圓;4、注意：(1)共漸近線的兩雙曲線不一定是共軛雙曲線，如2x182y_22=1 禾口_ y2 = 192 2

7、 2 2(2)篤-爲=1與 與-務=1 (a工b)不共漸近線，有相同的焦距，四焦點共圓;a ba b(三) 共漸近線的雙曲線系方程2 2 2 2 2 2 2 2問題(1) -=1 與=1;(2) -=1 與-=1 的區(qū)別？1699161693218K問題：共用同一對漸近線y二一x的雙曲線的方程具有什么樣的特征?a2雙曲線篤ayb22x( 0 )與雙曲線ab2-1有共同的漸近線當j > 0時交點在x軸，當1 ：； 0時焦點在y軸上.2 2例：求與雙曲線 - y 1共漸近線且過 A(3.3,-3)的雙曲線的方程169三、課堂練習：2 2x y1 .雙曲線1的離心率e (1,2)，則k的取值范

8、圍是4 kA .(0, 6)B. (3, 12)C. (1, 3)D. (0, 12)2.下列各對曲線中，即有相同的離心率又有相同漸近線的是22222x(A)-y2=1和y-X =1(B)x-y2=1和2y -x =139333222222(C)y -x=1和2 x -L=1(D)x-y2=1和x-y =1333932 23 .方程x +y =1表示雙曲線，則k的取值范圍是()1 k 1 -kA .-1 :：: k ：:1B. k 0C. k _0D. k 1 或 k ： 14 .以y為漸近線，一個焦點是F (0, 2)的雙曲線方程為()2 2(A)x2 _y 1( b)x2 一工 1332x

9、(C)223 1(D)2 212 .36 / 45 .雙曲線kx2+4y2=4k的離心率小于2，貝U k的取值范圍是()(A) (- R ,0 ) ( B) (-3,0)( C) (-12,0)( D) (-12,1)6 .已知平面內(nèi)有一固定線段AB,其長度為4,動點P滿足|PA|-|PB|=3,則|PA|的最小值為(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.522“ x y7.設 C1 :22=1,C2：a2b22 2yx2 2 =1,C3：ba2 2xy2 . 22 2 =1,a 工b，貝y ba(A)C 1和C2有公共焦點(C)C3和C2有公共漸近線(B) C1和C3有公共焦點(D) C1和C3有公共漸近線8.雙曲線2y -1的右焦點到右準線的距離為9722xy2 x9.與橢圓161有相同的焦點，且兩準線間的距離為10的雙曲線方程為2532210. 直線y = x 1與雙曲線-1相交于代B兩點，則AB =2311. 求滿足下列條件的雙曲線的標準方程3(1 )、焦點分別為(0, -5 )