圓錐曲線定點(diǎn)、定直線、定值問題之歐陽(yáng)物創(chuàng)編

1、定點(diǎn)、定直線、定值專題時(shí)間：2021.02.07命題人：歐陽(yáng)物1、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦 點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1 （I ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（H ）若直線l:y = kx + m與橢圓C相交于A兩點(diǎn)（A, B不是左右頂點(diǎn)）, 且以初為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該 定點(diǎn)的坐標(biāo)【標(biāo)準(zhǔn)答案】（I）由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為4+4=1（>>0） cr lra + c = 3,ac = 1 1 “ = 2,c = l,b = 3 二hJ = 1.43(II)設(shè) A(xvylB(x2,y2) 9 由 <y = kx +

2、 m侍(3 + 4k2 )x2 + Smkx + 4(加2-3) = 014 3A = 64nrk2 -16(3+42)(m2 - 3) > 0 3+4k2 -nr > 0.以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn)02,0），5血=-1，.亠.旦=-1，比 _ 2 x2 -2（最好是用向量點(diǎn)乘來）”兒+*2 -2（召+ x,） + 4 = 0 *3（一 4£'）4（一 3）16mk A 八 + + +4 = 0 »3 + 4 疋3 + 4疋 3 + 4/7m2 +16mk+4k2 =0 解得片= 且兩足3 + 4k2 nr >0 .當(dāng)加=-2比時(shí)，2）

3、9;直線過定點(diǎn)0）,與已知矛盾；當(dāng) m = 時(shí)，I: y = k(x-) ' 直線過定點(diǎn)(-,0).777綜上可知，直線/過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(|,0).2、已知橢圓C的離心率c =哼，長(zhǎng)軸的左右端點(diǎn)分別為州(-2,0)，A2(2.0)。 (I )求橢圓C的方程；(H )設(shè)直線x = my + l與橢圓C交于P、Q兩 點(diǎn)，直線Af與aq交于點(diǎn)S。試問：當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S是否恒在一條 定直線上？若是，請(qǐng)寫出這條直線方程，并證明你的結(jié)論；若不是， 請(qǐng)說明理由。解法一：(I )設(shè)橢圓C的方程為- + - = l(a>b>0) °1分a = 2 * e = - = * c =

4、 73 1 b2 =a2 -c2 =1 °4 分a 2橢圓c的方程為4+y2=i ° 5分4(n )取吩。得.直線Af的方程是y卑x +半，直線A?Q的方程是y = #x-d.交點(diǎn)為&(4“)7分，若p(l錯(cuò),Q(譚)由對(duì)稱性可知交點(diǎn)為S4,冋.若點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為£："4。8分以下證明對(duì)于任意的直線Af與直線A2的交點(diǎn)S均在直線:x = 4±。事X*頭上 * 由 4十"得(my+ 1)2 +4y2 =4, BP(m2+4)+2my-3 = O fx = my +1記P(xyJ,Q(X2，yJ，貝0片+兒=總,片

5、人=話£。9分設(shè)"與©交于點(diǎn)s0(4,九),由浮仝得y« =設(shè)A, Q與£交于點(diǎn)S：(4. y ；),由半4 =丄鼻,得y(；=旦104-2 x2 -2x2 -2-12m _ 一 12m=盯+41】5 = 0，12分(X1 +2)(X2 -2)y廠X，即s°與s：重合，這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線£：“4上。33分解法二：(口 )取吩0得P(月Q卜闿直線入P的方程是y半+卓直 線 A;Q白勺方程是y = 0x 前,交點(diǎn)為吐4“)72分取m = l,得p|,_|,Q(0,-l) 直線Af的方程是y = -x + -,直線

6、A?Q的方程是 5 5J63y = lx-l,交點(diǎn)為S2(4,l).-.若交點(diǎn)S在同一條直線上，則直線只能為f:x=4 ° 28分以下證明對(duì)于任意的口直線Af與直線A2的交點(diǎn)S均在直線f:x = 4±。事X*實(shí)上，由 T + y=1 得(my + l)?+4y2=4, BD (m2+4)y2+2my-3=O » 記 P(xpy,),Q(x2,y2)，x = my +1y.+y廠-2mm2 + 4一3m2 +49分A.P的方程是y = -(x + 2), A2Q的方程是y = (x-2),消去y,得X + 2x2 2丄_(x + 2) =(x-2)以下用分析法證明x

7、=4時(shí)，式恒成立。要證明X. + 2X, 2式恒成立1只需證明6'| =已.即證3(1】嘰-1) = 丫2伽1+3),即證 X + 2 x2 22my,y2=3(y,+y2)° ，2my,y, - 3(y, + y,)=二 - = 0, 式怛成立 °nr+4 nr+4這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線:x=4±。_rx2解法二：(口)由才+，- 1 lW(my + l)? +4y? =4,即(m，+4)y，+2my-3 = 0 °x = my +1記P(xy)Q(x2，y2)f 則y.+y2-2m一3nr +46分Af自勺方程是y = (x +

8、2), A2Q0勺方程是y = 3_(x 2),7 分X + 2x2 2y = ffi.y =±(x + 2), 分-2).得洽切W(2)9分即 X = 2J2(xl+2) + y1(x2-2) = 2 出(1】鳥+3) + 兒(1】嘰一1) = ? 2myy+3%-兒 '、2(X| + 2)-人仁2-2) 一，y2(myl+3)-yI(my2-l) " °3y2 + yt12分這說明，當(dāng)m變化時(shí)，點(diǎn)S恒在定直線f:x=4±。13分3、已知橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距 離的最小值為V2-1 離心率為“匹.2(I )求橢圓

9、E的方程；(n )過點(diǎn)(1,0)作直線£交£于P、Q兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在一 個(gè)定點(diǎn)M »MP-MQ為定值？若存在，求出這個(gè)定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在， 請(qǐng)說明理由.歐陽(yáng)物創(chuàng)編解：(I )設(shè)橢圓E的方程為乍+活J由已知得:2021.02.07 a - c =1C 忑。2 分a =Ta = /.b2=a2-c2 = l 橢圓 E 的方程為 S + y-=i 0 0 0 0 3 分c = l2 (II )法一:假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m.O) 又設(shè)P(xpy,),Q(x2,y2) 則:= x,x2-m(x1+x2) + nr + y1y2 000005 分當(dāng)直線的斜

10、率存在時(shí)，設(shè)直線I的方程為：y = k(x-l)由,T + y：=I Wx2+2k2(x-I)2-2 = 0.y = k(x-l)(2k2 + l)x2 -4k2x + (2k2 -2) = 0 x, + x. =蘭二 7 分-2k-+ 1-2k + l所以 MP-MQ = -m-L + nr-=(2nr-n-DkCnf-2) 2k2+12k2+ 12k2+ 12k2+ 1對(duì)于任意的k值 MP MQ為定值所以2nf-4m + l = 2(nr-2)mo),mp.mq=-2 ；11 分當(dāng)直線1的斜率不存在時(shí)，直線1：21兒+心=2"2=1，沁=冷 由 m = -WMP MQ = -41

11、6綜上述知，符合條件的點(diǎn)M存在，起坐標(biāo)為(二0) . 13分4法一:假設(shè)存在點(diǎn) M(m0)，又設(shè) P(x()心22),貝I:MP = (Xj -m.yJ.MQ = (x2 -m,y2)MP MQ =(X, -m) (x2-m) += xx2-m(x+x2) + nv + yy2. 5 分當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線I的方程為x = ty+l 由,T+y T 得(t2+2)y2+2ty-l = 0.y1 + y2=-Z|L,yI.y2=-7 分2 'x = ty +1亍螢 -2t'+2 4m ,1(nr-2)t2 + 2nr-4m +1/. MP MQ =一 -+ nr 一 -=

12、e+2t2+2 t2 + 2設(shè)MP MQ = X則=入t2 + 2nr-2-?t = 02nr 一 4m+ 1 2入=0_5/. (nf - 2)t2 + 2nr - 4m +1 = X(t2 + 2).(nf-2-?0t2 + 2nr-4m + l-2X = 0m = 11 分Z = -l 4 16當(dāng)直線I的斜率為0時(shí)，直線l:y = 0 由M(=0)得：4歐陽(yáng)物創(chuàng)編綜上述知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為(二0) 0 0 0 0 13分44、已知橢圓的焦點(diǎn)在X軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線疋=4的焦 點(diǎn)，離心率一纟，過橢圓的右焦點(diǎn)F作與坐標(biāo)軸不垂直的直線/，交橢 圓于A、B兩點(diǎn)。(l) 求橢

13、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II )設(shè)點(diǎn)M(”0)是線段OF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(MA + MB)±AB，求加的 取值范圍；(m)設(shè)點(diǎn)c是點(diǎn)a尖于a軸的對(duì)稱點(diǎn)，在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)N，使得C、B 、N三點(diǎn)共線？若存在，求出定點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由。 解法一：(I )設(shè)橢圓方程為亠+=1>>0) *由題意知b = lX b".£尹=$»2=5故橢圓方程為£ + )41(n )由(I )得F0) 1所以0SS2 設(shè)/的方程為y = k(x-2) ( “0 )2代入工+，2 = i，得(5Z：2 +l)x2 -20k2x+2Qk2 - 5

14、= 0 設(shè) A(xryB(x29y2)tmil20k2205ff火Ixt+x2=,xrv2 =/ /. + y2 =k(x+ x2 一4),x y2 = «(州一七)5S + 15L + 1. 一-2m- = 0, (8-5/n)2 - m = 0 由 => 0,0 < m < - f5疋+15/ + 18-5/;/5.當(dāng)0<加<|日寸有(莎+麗)丄麗成立°(HI )在X軸上存在定點(diǎn)7V(-,0)，使得C、B、N三點(diǎn)共線。依題意2知 C(X,-) 直線 BC 的方程為 y + y = >2- -U-X,)，令 y = 0 ，則兀一召丫_)

15、(吃一川)* 丫= 些+力西兒 + X *>2 + >1.7的方程為y = k(x-2A、3在直線/上，=5+1 /+ 在x軸上存在定點(diǎn)N(?,0)使得CBN三點(diǎn)共線。.20k2 Al22k-4k5k2+歐陽(yáng)物創(chuàng)編解法二：(II )由(I )得尸(2,0)，所以0m2。設(shè)啲方程為y = k(x-2) ("0),2代入二+于=1 得(5/+1)/20疋+20疋_5 = 0設(shè)人3),3(花,力)，則20k220k 2-5召產(chǎn)齊r4k.+ 廠心+ 4)=-齊滬心小) 二當(dāng)0加£日寸有(莎+屁)丄屁成立°(m )在A軸上存在定點(diǎn)N(?,0) 使得C、B、N三點(diǎn)

16、共線°2設(shè)存在0),使得C、B、"三點(diǎn)共線，則CBHCN， CB =(對(duì)一 x2, y2 + n ), C” = (/ 一 丙，yJ '二(召一州)比一(一州)(X + 比)=。即(x2 -xl)k(xl -2)-(txl)k(x +x2 -4) = 0 /. 2xxx2 一(/ + 2)(x, + x,) + 4/ = 0.2空二_« + 2)鄴t + 4 = 0，.= ?.存在N(?,0)'使得CBN三點(diǎn)共線° 5k +5k +226、(福建卷)已知橢圓4 + r = 1的左焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。(I )求過點(diǎn)O、F，并且與橢圓的左準(zhǔn)線丨相切的圓的方程；(n)設(shè)過點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直交橢圓于A、B兩點(diǎn)*線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)G，求點(diǎn)G橫坐標(biāo)的取值范圍.本小題主要老查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識(shí)，老查平面解析幾何的基本方法，老查運(yùn)算能力和綜合解題能力。解：(I ) Vi/2 =2,/r =l.'.c = l,F(-l,0),/:x = -2.v 圓過點(diǎn) O、F，M 在直線兀=-£_t °i3設(shè)M(-r),則圓半徑廠=(-)-(-2)=-. 由OM = r,得+尸弓解得/ =