代數(shù)中的對稱美

1、代數(shù)中的對稱美高中數(shù)學(xué)的代數(shù)部分主要包括函數(shù)，不等式，數(shù)列，三角函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，排列，二項式定理，概率等。其中大部分內(nèi)容均以函數(shù)為主線，體現(xiàn)了函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心部分，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。函數(shù)的性質(zhì)是考察的重點與熱點，函數(shù)的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì)，對稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美。以下對與函數(shù)有關(guān)的對稱的性質(zhì)進(jìn)行探討。一、函數(shù)自身的對稱性定理 1. 函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于點 a(a,b) 對稱的充要條件是f(x)+f(2ax)=2b證明：（必要性）設(shè)點 p(x,y) 是 y=f(x) 圖像上任一點，點 p(x,

2、y) 關(guān)于點 a(a,b) 的對稱點 p（2ax，2by）也在 y=f(x) 圖像上， 2by=f(2a x) 即y+f(2a x)=2b 故 f(x)+f(2ax)=2b ，必要性得證。（充分性）設(shè)點 p(x0,y0) 是 y=f(x) 圖像上任一點， 則 y0=f(x0)f(x)+f(2ax)=2bf(x0)+f(2ax0)=2b ，即 2by0=f(2a x0) 。故點 p（2ax0，2by0）也在 y=f(x) 圖像上，而點 p 與點 p 關(guān)于點 a(a,b) 對稱，充分性得征。例如：已知函數(shù)，求證：此函數(shù)的圖像關(guān)于點成中心對稱。（此證明留給讀者）注：利用定理，需證必要性與充分性兩方面

3、，當(dāng)然也可由圖像觀察對稱性。推論：函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于原點o 對稱的充要條件是f(x)+f(x)=0 （這也是奇函數(shù)圖像的特性）如：設(shè) f(x) 是定義在 r 上的奇函數(shù)，且 f(x+2)= f(x),當(dāng) 0x1 時，f(x)=x ，則 f(7.5)=（）(a)0.5(b)0.5(c)1.5(d)1.5解： y=f(x) 是定義在 r 上的奇函數(shù)，點（ 0，0）是其對稱中心；又 f(x+2)=f(x)=f(x)，即f(1+ x)=f(1x)，直線x=1是y=f(x)對稱軸，故y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù)。f (7.5)=f(80.5)=f(0.5)=f(0.5)=0.5故選 (

4、b)定理 2. 函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于直線x=a 對稱的充要條件是f(a+x)=f(ax) 即f(x)=f(2ax)證明：（必要性）設(shè)點 p(x,y) 是 y=f(x)圖像上任一點，點p(x,y)關(guān)于 x=a 的對稱點 p（2ax，y）也在 y=f(x) 圖像上， y=f(2a x) 即 f(x)=f(2a x) ，必要性得證。（充分性）設(shè)點 p(x0,y0) 是 y=f(x) 圖像上任一點， 則 y0=f(x0) f(x)=f(2a x) f(x0)=f(2a x0) ，即 y0=f(2a x0) 。故點p（2ax0，y0）也在 y=f(x) 圖像上，而點 p 與點 p關(guān)于對稱，充分

5、性得證。推論：函數(shù) y=f(x) 的圖像關(guān)于 y 軸對稱的充要條件是f(x)=f(x)（這也是偶函數(shù)圖像的特性）二、不同函數(shù)對稱性定理 3. 函數(shù) y=f(x) 與 y=2bf(2a x) 的圖像關(guān)于點 a(a,b) 成中心對稱。定理 4. 函數(shù) y=f(x) 與 y=f(2a x) 的圖像關(guān)于直線 x=a 成軸對稱。函數(shù) y=f(x) 與 ax=f(a y) 的圖像關(guān)于直線x+y=a 成軸對稱。函數(shù) y=f(x) 與 xa=f(y+a) 的圖像關(guān)于直線xy=a 成軸對稱。定理 4 與定理 5 中的證明留給讀者，現(xiàn)證定理設(shè)點 p(x0,y0) 是 y=f(x) 圖像上任一點，則 y0=f(x0

6、)5 中的。記點 p(x,y)關(guān)于直線 xy=a 的軸對稱點為 p（x1，y1），則 x1=a+y0,y1= x0 a，x0=a+y1,y0=x1 a 代入 y0=f(x0) 之中得 x1a=f(a+y1) 點 p（x1，y1）在函數(shù) xa=f(y+a) 的圖像上。同理可證：函數(shù) xa=f(y+a) 的圖像上任一點關(guān)于直線 xy=a的軸對稱點也在函數(shù) y=f(x) 的圖像上。故定理 5 中的成立。例：求證函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱。（讀者證明）推論：函數(shù) y=f(x) 的圖像與 x=f(y) 的圖像關(guān)于直線y=x 成軸對稱。（互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像的特性）三、三角函數(shù)圖像的對稱性注：上表中 kz例：函數(shù) y=sin(2x+) 的圖像的一條對稱軸的方程是（）(a)x= (b)x = (c)x=(d)x=解：函數(shù) y=sin(2x+) 的圖像的所有對稱軸的方程是 2x+=k+ x=, 顯然取 k=1 時的對稱軸方程是 x=故選 (a)有對稱性也知道軸處取得最值，做小題時也可以直接驗證。在三角函數(shù)圖像中，對稱性是非常重要的一條性質(zhì)，正余弦函數(shù)既是中心對稱又是軸對稱的特點使得函數(shù)的圖像有了規(guī)