第二部分期權定價模型與數(shù)值方法

1、參考文獻1、 期權、期貨和其它衍生產品，John Hull，華夏出版社。2、 期權定價的數(shù)學模型和方法，姜禮尚著，高等教育出版社。3、 金融衍生產品定價的數(shù)學模型與案例分析，姜禮尚等著，高等教育出版社。4、 金融衍生產品定價數(shù)理金融引論，孫建著，中國經濟出版社。5、 金融衍生工具中的數(shù)學，朱波譯，西南財經大學出版社。6、 Numerical methods in finance and economicsa MATLAB-based introduction，Paolo Brandimarte，A JOHN WILEY & SONS,INC.,PUBLICATION7.金融計算教程MA

2、TLAB金融工具箱的應用，張樹德編著，清華大學出版社。8、 數(shù)值分析及其MATLAB實現(xiàn),任玉杰著，高等教育出版社。9、 數(shù)學物理方程講義，姜禮尚著，高等教育出版社。10、 英漢雙向金融詞典，田文舉主編，上海交通大學出版社。11、偏微分方程數(shù)值解法，孫志忠 編著，科學出版社。第三部分 期權定價模型與數(shù)值方法 期權是人們?yōu)榱艘?guī)避市場風險而創(chuàng)造出來的一種金融衍生工具。理論和實踐均表明，只要投資者合理的選擇其手中證券和相應衍生物的比例，就可以獲得無風險收益。這種組合的確定有賴于對衍生證券的定價。上個世紀七十年代初期，Black 和 Scholes 通過研究股票價格的變化規(guī)律，運用套期保值的思想，成功

3、的推出了在無分紅情況下股票期權價格所滿足的隨機偏微分方程。從而為期權的精確合理的定價提供了有利的保障。這一杰出的成果極大的推進了金融衍生市場的穩(wěn)定、完善與繁榮。一、期權定價基礎1.1 期權及其有關概念1期權的定義 期權分為買入期權（Call Option）和賣出期權（Put Option）買入期權:又稱看漲期權（或敲入期權），它賦予期權持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規(guī)定價格買入一定數(shù)量某種資產的權利的一種法律合同。賣出期權:又稱看跌期權（或敲出期權），它賦予期權持有者在給定時間（或在此時間之前任一時刻）按規(guī)定價格賣出一定數(shù)量某種資產的權利的一種法律合同。針對有效期規(guī)定不同期權又分

4、為歐式期權（European Option）與美式期權（American Option）歐式期權只有在到期日當天或在到期日之前的某一規(guī)定的時間可以行使的權利美式期權在到期日之前的任意時刻都可以行使的權利。2期權的要素 期權的四個要素：施權價（exercise price或striking price）；施權日（maturing data）；標的資產（underlying asset）；期權費（option premium）對于期權的購買者（持有者）而言，付出期權費后，只有權利而沒有義務；對期權的出售者而言，接受期權費后，只有義務而沒有權利。3期權的內在價值 買入期權在執(zhí)行日的價值為 其中， E

5、為施權價， 為標的資產的市場價。 賣出期權在執(zhí)行日的價值為 根據(jù)期權的施權價與標的資產市場價之間的關系，期權可分為幣內期權（in the money）（、幣上期權（at the money）（和幣外期權（out of the money）（。.2 買入期權與賣出期權的平價買入期權、賣出期權和標的資產三者之間存在一種價格依賴關系，這種依賴關系就稱為買入期權、賣出期權平價（call and put parity）。以歐式股票期權為例，考察一下這種平價關系。設為股票市價，為買入期權價格，為賣出期權價格，為施權價，為施權日股票價格，為距期權日時間， 為利率（常數(shù)）。假設投資者現(xiàn)在以價格出售一單位買入期

6、權，以價格購入一單位賣出期權，以價格購入一單位期權的標的股票，以利率借入一筆借期為的現(xiàn)金，金額為 ，以上的權利義務在施權日全部結清，不考慮交易成本和稅收，投資者的現(xiàn)金和在施權日現(xiàn)金流量如下表：投資者的現(xiàn)金和在施權日現(xiàn)金流量現(xiàn) 在 實權日 出售買入期權，C 0 購入賣出期權，-P 0購入股票， -S 借入現(xiàn)金， 總計 0 0不管在施權日價格如何變化，該組合的價值為0。由于上述組合為無風險投資組合，期末價值為零。如果假設市場無套利機會，它的期初價值也必然為零，即 即 這就是買入期權和賣出期權平價。同樣施權價、同樣到期日的買入期權和賣出期權的價格必須符合上式，否則就會出現(xiàn)套利機會。1.3 期權的應用

7、1應用期權進行保值保值是指投資者將自身不愿意承擔的風險轉讓給愿意承擔這種風險的投資者的行為。期權工具可以用來防范不利的價格波動產生的風險。（1） 持股購入看跌期權例如：一個持有福特汽車公司股票的投資者可能擔心股票在未來幾個月會下跌，于是就購買其“看跌期權”這樣他將來就有權以事先協(xié)定的價格出售股票。如果這種股票的價格真的下跌，那么投資者就可以事先協(xié)定的較高價位售出該股票而獲得利潤。若股票價格上升 ,期權就變得分文不值，但投資者只是損失了購買期權的少量期權費，卻在股票上獲利。（2） 買空，購入看漲期權2應用期權增值3. 期權的“或有性”可防范其它金融衍生工具的風險所謂“或有”即是在所期望的情況發(fā)生

8、時，行使其對標的物的買權或賣權才有意義。期權的作用一是保險：買者可以一個可能性很大的小損失換取一個可能性很小的大收入，賣者可以一個可能性很大的小收益換取一個可能性很大的小損失；二是轉移風險：期權購買者有利則履約，無利則不履約。期權賣者以權利金彌補接受履約的損失，若不需接受履約，則凈賺期權費。期權是對標的物的買權或賣權，期權交易是對標的物的買權或賣權進行競價。期權既然是一種權利，那么就有一種時間價值和內涵價值?！坝袡嗖挥茫^期作廢”，是指權利的時間價值。有效期時間越長，權利的時間價值越大?！罢l的官大，就聽誰的”是指權利的內涵價值?！肮傥弧?標的物價格 )越高，權利的內涵價值越大。從“官位”看，期

9、權的內涵價值與其標的物價格和價值是相關的，但為非線性相關；而時間價值既與有效期時間的長短有關，也與在有效期內競爭狀況和獲利時機的把握有關。所以期權的定價要用到隨機過程和隨機微分方程等相當艱深的數(shù)學工具，因此非常困難。布萊克斯科爾斯(Black-Scholes) 1971年提出這一期權定價模型 , 1973年在政治經濟學報上得以發(fā)表他們的研究成果。一個月后, 在美國芝加哥出現(xiàn)第一個期權交易市場。期權交易誕生后 , 許多大證券機構和投資銀行都運用 Black-Scholes期權定價模型進行交易操作，該模型在相當大的程度上影響了期權市場的發(fā)展。其成功之處在于：第一，提出了風險中性 (即無風險偏好 )

10、概念 , 且在該模型中剔除了風險偏好的相關參數(shù)，大大簡化了對金融衍生工具價格的分析；第二 ，創(chuàng)新地提出了可以在限定風險情況下追求更高收益的可能 ,創(chuàng)立了新的金融衍生工具標準期權。70年代以后， 隨著世界經濟的不斷發(fā)展和一體化進程的加快，匯率和利率的波動更加頻繁，變動幅度也不斷加大，風險增加?？刂坪蜏p小風險成為所有投資者孜孜以求的目標。 Black-Scholes定價模型提出了能夠控制風險的期權，同時，也為將數(shù)學應用于經濟領域，創(chuàng)立更多的控制風險和減小風險的工具開辟了道路。 Black-Scholes定價模型指出，在一定條件下，人的集合行為滿足一定數(shù)學規(guī)律。這一論斷打破了傳統(tǒng)的“人的行為無法定量

11、描述”的舊觀念。通過數(shù)學的定量分析，不僅投資者可更好地控制自身交易的風險，更為管理層進行風險管理、減小整個市場的風險提供了可能。由于布萊克的專業(yè)是應用數(shù)學和物理，最早從事火箭方面的研究，因此布萊克也被稱為是“火箭科學向金融轉移的先鋒”。斯科爾斯和默頓把經濟學原理應用于直接經營操作，堪為“理論聯(lián)系實際”的典范。他們設計的定價公式為衍生金融商品交易市場的迅猛發(fā)展鋪平了道路，也在一定程度上使衍生金融工具成為投資者良好的融資和風險防范手段。這對整個經濟發(fā)展顯然是有益的。為此，1997年諾貝爾經濟學獎授予了哈弗大學的R.Merton教授和斯坦福大學的M.Scholes教授（F.Black已于1995年逝

12、世，未分享到這一殊榮）。二、期權定價方法的理論基礎_布朗運動、伊藤引理和Black-Scholes微分方程 期權定價的主要研究工具是隨機過程的一個分支隨機微分方程。隨機微積分起源于馬爾可夫過程結構的研究。伊藤在探討馬爾可夫過程的內部結構時，認為布朗運動(又稱維納過程 )是最基本的擴散過程，能夠用它來構造出一般的擴散運動。布萊克斯科爾斯考察一類特殊的擴散過程：這里表示股票價格，股票預期收益率 及波動率均為常數(shù) ，代表時間 ,為標準布朗運動：，（標準正態(tài)分布）在無交易成本、不分股利的假設下 ,得出歐式看漲期權價格應滿足如下微分方程 (為無風險利率 ) ： 利用偏微分方程的理論求出的方程解析解，即著

13、名的布萊克斯科爾斯公式。21 布朗運動股票價格的變化行為常用著名的布朗運動來刻畫。布朗運動是馬爾柯夫過程的一種特殊形式。布朗運動最早起源于物理學，物理學中把某個粒子的運動是受到大量小分子碰撞的結果成為布朗運動。股票價格的變化也是受著很多種因素的影響，所以形象的說，股票價格運動的軌跡類似于布朗運動。定義1 隨機過程 如果滿足：（1） 隨機過程具有正態(tài)增量；（2） 隨機過程具有獨立增量；（3） 是一個連續(xù)函數(shù)；則稱為布朗運動，也稱維納過程。 布朗運動的性質：（1）假設一個小的時間間隔為 為在時間內維納過程的變化，則， =， ；（2） 劃分： ，相互獨立則有， 下面幾幅圖片可以幫助我們理解布朗運動的

14、幾何意義。 由于 所以 ； 當 時 ； 通過迭代方法，我們可以產生布朗運動的近似圖像 當時，我們通過迭代方法近似的得到了布朗運動的軌跡。可以看出，布朗運動的軌跡確實沒有什么規(guī)律可言。 .定義 2 設為布朗運動，則稱 為一般化的維納過程。稱 為漂移系數(shù)（或漂移率）， 為過程的平均波動率。 并且我們有 （1） ， ， ， （2）； 。在現(xiàn)實生活中, 我們用一般化的布朗運動來描述股票價格的變化。影響股票價格變化的因素主要有以下兩點：股票價格隨時間上漲的趨勢和股票價格的平均波動率。前者對股票價格增長的貢獻取決于時間的長短；后者至取決于布朗運動造成的隨機波動。所以，股票價格的變化可以看成是兩個力共同決定

15、的。如果我們不考慮, 則 ，即。這說明股票價格具有線性增長的性質。如果我們考慮項在內，則有 這說明股票價格 在線性增長的同時，還有隨機波動的傾向，下圖有助于我們形象的理解這一點。 其中，最上邊那條隨機波動的曲線代表股票價格，斜向上的直線代表不計隨機波動影響的股票價格,下面那條隨機波動的曲線代表沒有線性增長趨勢的股票價格的變動（布朗運動）。由此可見，真實的股票價格是由線性增長和隨機波動兩種因素共同影響而成。2.2 伊藤引理 定義3 如果過程 可以表示為 其中為布朗運動，稱為伊藤（ITO）過程（日本數(shù)學家Ito1951年發(fā)現(xiàn)）。定理1(伊藤引理)設是由 給出的伊藤過程， 上的二次連續(xù)可微函數(shù)，則

16、仍為伊藤過程，并且 。證明：由于是二次可微連續(xù)函數(shù)，所以由泰勒展開式得： （2.1） 又 ， ；則 （2.2） ；又 ，當時于是，可以看成一個非隨機量，并且等于它的數(shù)學期望。所以 （2.3） 代入（2.1）式得到： 令，得 將 代入上式，得： ， 證畢。定義4 如果隨機過程為布朗運動，稱為幾何布朗運動。定理2 股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布證明：設為股票的平均收益率，為股票的平均波動率，則由金融學的知識得到： ；其中為布朗運動，（離散形式：）即： 由Ito公式，則滿足： 如果, 則： ，代入Ito公式： 于是： ，即： 證畢?？梢杂嬎悖杭?， 此式可用于模擬股票在未來某個時間的價格以及未來價格的可能分

17、布。例: 某股票現(xiàn)行的市場價格為40元，已知該股票年收益對數(shù)的均值和標準差分別為15% 和30%，要求模擬該股票兩個工作日后的可能價格. 按1年為250日算產生產生實際的模擬過程: 把整個時段分成若干個小的時間區(qū)間，對每個時間區(qū)間遞推使用上述模擬式, 得出資產在整個時段內價格的一個走勢，由此得出資產在期末的一個價格。多次模擬得出期末價格的一個分布. 也可用Matlab模擬股票所服從的幾何布朗的運動路徑function SPaths=AssetPaths(S0,mu,sigma,T,NSteps,NRepl)>> randn('state',0);>> p

18、aths=AssetPaths(40,0.15,0.3,1,250 ,3);>> plot(1:length(paths),paths(1,:)>> hold on>> plot(1:length(paths),paths(2,:)>> hold on>> plot(1:length(paths),paths(3,:) 2.3 Black-Scholes 微分方程上個世紀七十年代初期，F(xiàn)ish Black 和 Myron Scholes 取得了一項重大的突破。推導出了基于無紅利支付股票的任何衍生證券的價格必然滿足的微分方程，他們運用方

19、程推導出了歐式看漲期權和歐式看跌期權的價值的解析解。該理論的創(chuàng)立極大的推動了期權交易的發(fā)展，為此，Scholes 和后來為該方程推廣做出重大貢獻的 R.C Merton 共同獲得了1997年度的諾貝爾經濟學獎。1、推導BlackScholes 微分方程用到的基本假設：（1）股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布（服從幾何布朗運動）：平均收益和平均波動率為常數(shù)；（2）允許使用全部所得賣空衍生證券；（3）沒有交易費或稅收，所有證券都是高度可分的；（4）在衍生證券的有效期內沒有紅利支付；（5）不存在無風險的套利機會；（6）證券交易是連續(xù)的；（7）無風險利率為常數(shù)，且對所有到期日都相同。我們現(xiàn)在來推導BlackSc

20、holes 微分方程，假設股票價格遵循幾何布朗運動： （2.4）并且假設是某個看漲期權或者其它衍生證券的價格，變量一定是和的某種函數(shù)。因此，由伊藤引理知： 寫成離散的形式為： （2.5）（2.4）寫成離散的形式為： （2.6）易知，方程（2.5），（2.6）遵循相同的伊藤過程, 所以可以選擇某種股票和其相應的衍生證券的組合,這樣就可以避免因為股價波動帶來的風險, 從而獲得無風險收益。恰當?shù)淖C券組合應當是： 也即證券組合持有者每賣空一份衍生證券，再買入數(shù)量為份的股票。定義證券組合的價值為，則有 時間后證券組合的價值變化為： 將（2.5）和（2.6）代入，得：只要選擇 ，則有= 因為這個方程不再含

21、有隨機項，經過時間后證券組合必定是無風險的。然而，該證券組合的瞬時收益率一定同其它短期無風險證券的收益率相同。如果該證券組合的收益率大些，套利者就會賣出無風險證券然后購入證券組合獲取無風險收益；如果該證券組合的收益率小些，套利者就會通過賣出該證券組合購買無風險證券來獲得無風險收益。所以，得到的結果是： =， 其中為無風險利率 因此有： 化簡為： 該方程就是著名的BlackScholes 微分方程。對于歐式看漲期權，其邊界條件為（行權日）： 對于歐式看跌其權，其邊界條件為（行權日）： 對于歐式期權而言，可以求得BlackScholes 微分方程的解析解。而對于美式期權而言，僅能對到Black-S

22、choles 微分方程的數(shù)值解。 記 為在時刻 ，股票價格為時的歐式看漲期權價格：可以計算出 其中 或者寫成： 由期權的平價公式： 和正態(tài)分布函數(shù)的性質：，歐式看跌期權的價值為： 如果當前時刻，計為 ，則有：其中Black_Scholes 公式的性質:(1) 當 時 (2) 當 時； 。 應當強調的一點是：證券組合并不是永遠無風險的，只是對于無限短的時間間隔內，它才是無風險的。當和 變化時， 也將發(fā)生變化。因此，為了保持證券組合無風險，有必要連續(xù)調整證券組合中衍生證券和股票的比例。2.4 BlackScholes求解方法（僅限歐式期權，以歐式看漲期權為例）1、用風險中性定價方法風險中性定價原理

23、在風險中性世界中，以下兩個結論稱為風險中性定價原則。(1) 任何可交易的基礎金融資產的瞬時期望收益率均為無風險利率，即恒有(2) 任何一種衍生工具當前時刻的價值均等于未來時刻其價值的期望值按無風險利率貼現(xiàn)的現(xiàn)值。風險中性定理表達了資本市場中的如下結論：即在市場不存在任何套利可能性的條件下，如果衍生證券的價格依然依賴于可交易的基礎證券，那么這個衍生證券的價格是與投資者的風險偏好無關的。將上述對的積分轉換成對Q的積分，有如此就得到black-scholes方程如下：2、偏微分方程定價方法（以歐式買入期權為例）BlackScholes方程 初始條件（這里實際上是終值條件）為： 邊界條件為： 盡管布萊

24、克-休爾斯方程看上去很像擴散方程，但是它的項數(shù)更多，而且不是常系數(shù)。為了可以套用傅里葉變換，必須對原方程進行恒等變換。先去掉乘在偏微分項前的和項。令： 根據(jù)導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則，布萊克-休爾斯方程變形為：，代入方程整理后得： (2.7)其中 同時初始條件相應地變成： （2.8）再令 （2.9）其中，為待定常數(shù)。利用e函數(shù)的n階導數(shù)形式不變的性質，求導得 (2.10)我們想同時消去上式中的和項，就必須使得下面的聯(lián)立方程組： (2.11)成立。注意到是常數(shù)，解這個二元方程得： (2.12)這樣（2.9）式就變?yōu)椋?(2.13)而方程（2.10）變成了一維齊次熱傳導方程： (2.14)而初

25、始條件由（2.8）式變?yōu)椋?經過這種略顯復雜的代換，我們就得到了在數(shù)學物理方法中的熱傳導方程。這樣就使問題的解決有了一個數(shù)百年積累獲得的深厚知識基礎。根據(jù)熱傳導方程(2.14)的通解式，就有： (2.15)令，得： 由 ，知當 ，有 當 ，有 于是 (2.16)我們先求A：對e的指數(shù)進行配方： 所以 (2.17)令 并注意到 ，代入上式就有： (2.18)其中 這是我們所熟知的標準正態(tài)分布函數(shù)，它給出了正態(tài)分布下，變量大于或者小于的概率（注意到對稱性），因此： (2.19)其中N（.）是標準正態(tài)分布函數(shù)： (2.20)且 (2.21)B的解法是類似的，只要把換成即可。因此相應的有： (2.22

26、) (2.23)把上述結論代入（2.16）式，就有： (2.24)然后沿著來得時的路再走一遍，注意到： 這樣我們就有： (2.25)其中 Matlab計算歐式期權的價格函數(shù)為blsprice調用方式Call,Put=blsprice(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)輸入?yún)?shù)Price %標定資產價格Strike %執(zhí)行價Rate %無風險利率Time %距離到期日的時間，即期權的存續(xù)期（單位：年）Volatility %標定資產的標準差Yield %標定資產的紅利率輸出參數(shù)Call %歐式看漲期權價格Put %歐式看跌期權價格例：在Matlab中

27、執(zhí)行如下命令：>> Call,Put=blsprice(42,40 ,0.1 ,6/12 ,0.2 ,0)Call = 4.7594Put = 0.80862.5 影響期權價格的因素分析期權價格受到下列5個因素影響：當前價格、執(zhí)行價格、期權的期限、股票價格方差率、無風險利率。我們以歐式看漲期權為例來分析這5個因素對期權價格的影響。1、德爾塔（Delta）期權德爾塔是考察期權價格隨標的資產價格變化的關系，從數(shù)學角度看，Delta是期權價格相對于標的資產價格的偏導數(shù)例如某個看漲期權值為0.5，表示當股價變化時，期權價格變化為。例如期權價格為10，股票價格為100，某個投資者購買了1份（

28、100股股票期權）該股票看漲期權，投資者購買股股票來對沖風險，這樣的投資組合為Delta中性策略。假如股票價格下跌1元，投資于股票的損失為50元，而期權的收益為元。當投資者持有0.5單位的股票，同時賣出1份看漲期權，使組合成為成為為無風險組合。因此稱為對沖比率。對于看跌期權， 2、西塔（Theta） , （為期權的續(xù)存期）表示期權價格對于到期日的敏感度，稱為期權的時間損耗。表示隨著時間的推移，帶來盈利。3、維伽（Vega） 表示方差率對期權價格的影響。因為期權有跌幅保障，值恒為正，表示隨著方差率的增加，期權的價格增加。4、珞（Rho） 為期權的價值隨利率波動的敏感度，利率增加，使期權價值變大。

29、5、伽瑪（Gamma） 表示與標的資產價格變動的關系。6、MATLAB中調用函數(shù)方式(1) 德爾塔（Delta）CallDelta, putDelta=blsdelta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)例如：股票價格為50，執(zhí)行價為50，無風險利率為10%，期權存續(xù)期為0.25，波動率的標準差偽，存續(xù)期內股票無紅利，計算該期權的值。在MATLAB中執(zhí)行命令如下：>>CallDelta, putDelta=blsdelta(50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallDelta = 0.5955putDelta = -0.4045

30、（2）西塔（Theta）CallTheta,putTheta=blstheta (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)>> CallTheta, putTheta=blstheta (50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallTheta = -8.4283putTheta = -3.5517(3) 維伽（Vega）Vega=blsvega (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)>> Vega=blsvega (50,50,0.1,0.25,0.3,0)Vega = 9.686

31、5(4) 珞（Rho）CallRho, putRho=blsrho (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)>> CallRho, putRho=blsrho(50,50,0.1,0.25,0.3,0)CallRho = 6.5409putRho = -5.6505(5) 伽瑪（Gamma）Gamma=blsgamma (Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)>> Gamma=blsgamma (50,50,0.1,0.25,0.3,0)Gamma = 0.05172.6 資產對數(shù)收益的

32、波動性估計對于歐式期權還需考慮如下幾個問題：（1）支付紅利（連續(xù)支付或離散支付）（2），等（3）隨機利率、隨機波動率、利率的期限結構問題（4）有交易費用問題（5）標的資產服從跳擴散問題關于美式期權定價公式（自由邊界問題）1、美式看跌期權定價的PDE（自由邊界問題）， ， 其中：為美式看跌期權的最佳實施邊界。2、美式看漲期權定價的PDE（自由邊界問題）， ， 3、關于期權的最佳實施邊界及性質定理1 設 是支付紅利的美式期權的最佳實施邊界，則（1）是連續(xù)的；（2）（參見期權定價的數(shù)學模型和方法（第二版）姜禮尚著）定理2設 是支付紅利的美式期權的最佳實施邊界，則（1）單調非減，當是一條凸曲線（2）單

33、調非增且有估計式，其中與分別是相應的永久美式看跌與看漲期權的最佳實施邊界（有顯式表達式）（參見期權定價的數(shù)學模型和方法（第二版）姜禮尚著）(畫圖)4、美式看漲、看跌期權定價關系定理3 設，以及，分別是具有相同期限和相同執(zhí)行價格支付紅利的美式看跌和看漲期權的價格和最佳實施邊界，則和其中，是期權的執(zhí)行價，為無風險利率，為紅利率。（參見期權定價的數(shù)學模型和方法（第二版）姜禮尚著）三、求解Black-Scholes 微分方程數(shù)值方法Black-Scholes期權定價模型是現(xiàn)代期權定價理論的基礎，對于歐式期權有解析解。但對于美式期權（特別是美式看跌期權），提前執(zhí)行，可能會獲得更大的收益，于是邊界條件是一

34、類自由邊界條件（或移動邊界條件），一般無法得到解析解，只能用近似解或者數(shù)值解。一般采用數(shù)值方法（Numerical Procedures）為期權定價，常用的方法有：二叉樹方法（Binomial Trees），蒙特卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）和有限差分方法（Finite Difference Methods）。 下面將著重介紹這三種方法及其發(fā)展。3.1 二叉樹期權定價模型 二叉樹期權定價模型是由J.C.Cox , S.A.Ross , 和M.Rubinstein于1979年首次提出的，已經成為金融界最基本的期權定價方法之一。1二叉樹模型的假設條件有：（1）證券價格遵循

35、幾何布朗運動。在二叉樹中，假設股價的波動具有獨立同分布，且這種分布是二項分布，亦即把期權的有效期分為多個相等的區(qū)間，在每一個區(qū)間結束時，股價將上浮或下跌一定的量；（2）資本市場是完全有效的，且資產可以無限的細分；（3）市場處于風險中性。2. 二叉樹的定價過程 二叉樹的定價過程分為兩個部分：模擬股票價格的波動和（倒推）計算期權的價格。二叉樹模型首先把期權的有效期分為很多很小的時間間隔，并假設在每一個時間間隔內證券價格只有兩種變化：從開始的上升到原來的倍，即到達；下降到原來的倍，即。其中，價格上升的概率假設為，下降的概率假設為 。相應的，期權價值也會有所不同，分別為和。以下以股票期權的定價為例，首

36、先運用單步二叉樹為期權定價，一般采用風險中性定價方法。 在風險中性世界里：（1）所有可交易證券的期望收益率都是無風險利率；（2）未來現(xiàn)金流可以用其期望值按無風險利率貼現(xiàn)。在風險中性的條件下，標的證券的預期收益率應等于無風險利率，則有 （3.1）假定期初的股價為，則在很短的時間間隔末的股票價格為，于是故的數(shù)學期望和方差分別為：，因此，參數(shù), ,的值必須滿足這個條件： 即 （3.2）而 化簡后得： （3.3）公式（3.2）、（3.3）給出了，和的兩個條件。Cox，Ross和Rubinstein所用的的三個常用條件是（不是必須得）取 （3.4） 由公式（3.2）求出概率（風險中性概率）： 代入（3.

37、4）式，得：于是使用Cox，Ross和Rubinstein所用的條件是（不是必須得）取 有取二次方程的根取的Taloy展式的一階近似（忽略的高階無窮?。┯谑堑玫剑海瑥亩跈嗟膬r值為： 這就是著名的CRR公式。上面參數(shù)的取法不是唯一的。例如：取，由公式（3.2）、（3.3）得到：解之得： （3.5） （3.6）當，式（3.5）、式（3.6）的一階近似為： 實際上，式（3.5）、式（3.6）還可以取更高階近似 ， （3.7）稱為EQP方法。 以下介紹二叉樹方法的一般定價過程。以無收益證券的美式看跌期權為例。將該期權有效期（存續(xù)期）劃分為N個長度為的小區(qū)間，令表示在時間時第j個節(jié)點處的美式看跌期權的

38、價值，我們將稱為結點（i，j）的期權價值，同時用表示結點（i，j）處的證券價格（在i個時期，證券價格上升了j次）。美式看跌期權在到期日的價值是，因此有：，當時間從變?yōu)闀r，從結點（i，j）移動到結點（i+1，j+1）的概率為，移動到（i+1，j）的概率為。假定期權不被提前執(zhí)行，則在風險中性條件下：如果考慮提前執(zhí)行的可能性的話，式中的必須與期權的內在價值比較，由此可得： 按這種倒推法計算，就可以算出初始的期權價值。當時間間隔的劃分趨于無窮小時，就可以求得美式看跌期權的準確價值。即對于歐式看跌期權可以推出現(xiàn)在的期權價格 ，其中： 為二項式分布。二叉樹圖方法的MATLAB算法例：股票價格為50，無風險

39、收益率為10%，期權距離到期日為5個月，股票波動率的標準差為0.4，歐式看跌期權執(zhí)行價為50，假設將時間離散為5個時間段，利用二叉樹模型估計看跌期權的價格。直接用B-S公式計算>> Call,Put=blsprice(52,52 ,0.1 ,5/12 ,0.4 ,0)Call = 6.3612Put = 4.2390二叉樹調用方式AssetPrice,OptionValue=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)輸入?yún)?shù)Price %股票價格Stri

40、ke %執(zhí)行價Rate %無風險利率Time %距離到期日的時間，即期權的存續(xù)期（單位：年）Increment %時間的增量Volatility %標定資產的標準差Flag %期權種類，看跌期權Flag=1，看漲期權Flag=0DividendRate %（Optional）紅利發(fā)放率，默認值為0，如果給出了紅利率，Dividend與ExDiv值為0Dividend %（Optional）標的資產價格外的紅利金額，除固定紅利之外的紅利ExDiv %（Optional）標的資產的除息日輸出參數(shù)Price %二叉樹每個節(jié)點標的資產價格Option %二叉樹每個節(jié)點標的期權價格在MATLAB中執(zhí)行如

41、下命令：AssetPrice,OptionValue=binprice(Price,Strike,Rate,Time,Increment,Volatility,Flag,DividendRate,Dividend,ExDiv)（1）假設沒有紅利，>> Price,Value=binprice(52,52,0.1,5/12,1/12,0.4,0,0,0,0)Price = 52.0000 58.3648 65.5088 73.5271 82.5269 92.6282 0 46.3293 52.0000 58.3648 65.5088 73.5271 0 0 41.2769 46.32

42、93 52.0000 58.3648 0 0 0 36.7756 41.2769 46.3293 0 0 0 0 32.7651 36.7756 0 0 0 0 0 29.1920Value = 4.6680 2.2490 0.6614 0 0 0 0 7.2381 3.9220 1.3537 0 0 0 0 10.7757 6.6332 2.7707 0 0 0 0 15.2244 10.7231 5.6707 0 0 0 0 19.2349 15.2244 0 0 0 0 0 22.8080（2）在3個半月發(fā)放紅利2.06元，看跌期權執(zhí)行價為50元Price,Value=binprice(

43、52,50,0.1,5/12,1/12,0.4,0,0,2.06,3.5)Price = 52.0000 58.1367 65.0226 72.7494 79.3515 89.0642 0 46.5642 52.0336 58.1706 62.9882 70.6980 0 0 41.7231 46.5981 49.9992 56.1192 0 0 0 37.4120 39.6887 44.5467 0 0 0 0 31.5044 35.3606 0 0 0 0 0 28.0688Value = 4.4404 2.1627 0.6361 0 0 0 0 6.8611 3.7715 1.3018

44、0 0 0 0 10.1591 6.3785 2.6645 0 0 0 0 14.2245 10.3113 5.4533 0 0 0 0 18.4956 14.6394 0 0 0 0 0 21.9312（3）美式看跌期權的二叉樹計算函數(shù)程序：function price = AmPutLattice(S0,K,r,T,sigma,N)>> price = AmPutLattice (50,50 ,0.05,5/12,0.4 ,1000)price = 4.67393. 三叉樹圖定價法另一種樹圖定價法是三叉樹圖。在每一個時間間隔內證券價格有三種變化：從起初的上升到原來的倍，保持不變

45、仍為；下降到原來的倍，即。分別為每個結點價格上升、持平、下降的概率。令，則在經過時間后，以概率增加到，或者以概率保持不變，或以概率下降到。由于標的資產服從幾何布朗運動，由前面的推導，在風險中性的世界里，有， 其中：于是，我有： 將看成自由變量，解之得：如果忽略的高階無窮小量后，則有： （3.8）為了計算的穩(wěn)定性，（即：），則有式 （3.9）單步三叉樹圖法得到的期權價格為： 三叉樹圖的計算過程與二叉樹圖的計算過程相似?？梢宰C明三叉樹圖方法為外推的顯式有限差分法是一致的。4. 控制方差技術其基本原理是：期權A和期權B的性質相似（比如其它條件都相同的歐式期權和美式期權），我們可以得到期權B的解析定價

46、公式，而只能得到期權A的數(shù)值方法解。用代表期權B的真實價值（解析解），代表關于期權A的較優(yōu)估計值，和代表用同一個二叉樹得到的估計值，這時，我們假設用數(shù)值方法計算出的期權B的誤差應等于數(shù)值方法計算出的期權A的誤差：，從而得到期權A的較優(yōu)估計值為：這里即為控制變量，它是第二種期權B的模擬誤差，且有如果有，一定有亦即這種方法減少了對期權A的價值估計的方差，我們利用和的信息改進了對期權A的價值估計。因此，當兩種衍生證劵的協(xié)方差很大時，或者當兩種衍生證劵的價格高度相關時，上述關系式是成立的，兩種衍生證劵的正相關性越強，估計效率越理想。然而從實際應用的角度看，這種控制變量技術的應用十分有限，因此，下面提出更一般的控制變量技術，其控制變量的形式為：方差為這是關于控制變量系數(shù)的二次三項式，只要取 就可以保證達到最小。這種控制變量技術的缺點是需要提前指導協(xié)方差的信息，而這一般要靠經驗實現(xiàn)。5. 小結 由上述可見，二叉樹圖模型的基本思想在于：假設資產價格的運動是由大量的小幅度二值運動構成的，用離散的二項式分布模型模擬資產價格的連續(xù)運動可能遵循的路徑。同時二叉