競賽輔導(dǎo)_剛體的平面運(yùn)動(dòng)2014

1、剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)* *( (補(bǔ)充補(bǔ)充) )定義：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些定義：剛體上各點(diǎn)均在平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且這些平面均與一平面均與一固定平面固定平面平行，稱作平行，稱作剛體的平面剛體的平面（平行）運(yùn)動(dòng)。（平行）運(yùn)動(dòng)。車輪滾動(dòng)車輪滾動(dòng)木梯下滑木梯下滑處理方法：處理方法：可看作可看作隨基點(diǎn)的平動(dòng)隨基點(diǎn)的平動(dòng)和和繞過基點(diǎn)繞過基點(diǎn)軸軸（固定平面）固定平面）的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成。的合成。AB1A B1 A2剛體由剛體由12可分為可分為（轉(zhuǎn)動(dòng)）（轉(zhuǎn)動(dòng)）（平動(dòng)）（平動(dòng)）2111 剛體剛體固定平面的截面固定平面的截面B基點(diǎn)（任?。┗c(diǎn)（任取）對剛體上對剛體上A點(diǎn)：點(diǎn)：rrrB dtrd

2、dtrddtrdB vvvB xyoBrrr x y AB rv 的的位位矢矢點(diǎn)點(diǎn)相相對對基基點(diǎn)點(diǎn)BAr 速速度度矢矢量量剛剛體體繞繞過過基基點(diǎn)點(diǎn)軸軸的的角角 rvvB 平面運(yùn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度平面運(yùn)動(dòng)剛體上任一點(diǎn)的速度車輪（圓柱體）的無滑滾動(dòng)車輪（圓柱體）的無滑滾動(dòng)若滾動(dòng)車輪邊緣上各點(diǎn)與支若滾動(dòng)車輪邊緣上各點(diǎn)與支撐面接觸的瞬時(shí)，與支撐面撐面接觸的瞬時(shí)，與支撐面無相對滑動(dòng)，則稱車輪作無相對滑動(dòng)，則稱車輪作無無滑滾動(dòng)（純滾動(dòng)）滑滾動(dòng)（純滾動(dòng)）。車輪（中心）前進(jìn)的距離與車輪（中心）前進(jìn)的距離與轉(zhuǎn)過的角度的關(guān)系：轉(zhuǎn)過的角度的關(guān)系： rx 則則 rvC 無滑滾動(dòng)的條件無滑滾動(dòng)的條件 raC 或或dt

3、drdtdx dtdrdtdvC CvxCr2022-1-255 純滾動(dòng)純滾動(dòng)純滾動(dòng)的條件：純滾動(dòng)的條件：s=R，質(zhì)心移動(dòng)的距離也是質(zhì)心移動(dòng)的距離也是s，vc=R，ac=R。 非純滾動(dòng)非純滾動(dòng) 非純滾動(dòng)非純滾動(dòng)對無滑滾動(dòng)，車輪邊緣在與支撐面接觸對無滑滾動(dòng)，車輪邊緣在與支撐面接觸時(shí)，相對于支撐面的瞬時(shí)速度為時(shí)，相對于支撐面的瞬時(shí)速度為0.車輪上任一點(diǎn)的速度：車輪上任一點(diǎn)的速度：rvvC G點(diǎn)：點(diǎn)：0 GCCGrvv B點(diǎn)：點(diǎn)：CBvv2 A點(diǎn)：點(diǎn)：CCAvrvv2)(22 BCCBrvv ACCArvv CvBCrABGxCACrGCrr r r 的的位位矢矢）該該點(diǎn)點(diǎn)相相對對質(zhì)質(zhì)心心（Cr例例

4、1、求圖示純滾動(dòng)中、求圖示純滾動(dòng)中G、B、A相對支撐面的速度。相對支撐面的速度。例例1、半徑為、半徑為R的圓環(huán)靜止在水平地面上，的圓環(huán)靜止在水平地面上，t=0時(shí)刻時(shí)刻開始以恒定的角加速度開始以恒定的角加速度 沿直線純滾動(dòng)。任意沿直線純滾動(dòng)。任意t0時(shí)刻，環(huán)上最低點(diǎn)的加速度大小為，最時(shí)刻，環(huán)上最低點(diǎn)的加速度大小為，最高點(diǎn)的加速度大小為。高點(diǎn)的加速度大小為。CaCR質(zhì)心參考系：圓環(huán)上任一點(diǎn)質(zhì)心參考系：圓環(huán)上任一點(diǎn) Rat 2222)(tRtRRan 地面參考系：地面參考系：（純純滾滾動(dòng)動(dòng)條條件件） RaC 最低點(diǎn)：最低點(diǎn)：22221)(tRaaaantc 最高點(diǎn)：最高點(diǎn)：4222222224)()

5、2()(tRtRRaaaantc 二二 剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)剛體的平面運(yùn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)可視作隨基點(diǎn)的可視作隨基點(diǎn)的平動(dòng)平動(dòng)和繞基和繞基點(diǎn)軸的點(diǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)。通常選質(zhì)心為基點(diǎn)。通常選質(zhì)心為基點(diǎn)。xyx y Co剛體剛體固定平面的截面固定平面的截面系系，質(zhì)質(zhì)心心運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)定定理理）（外外oamFC 系系，轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)定定律律）（外外CJM 1、剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程、剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本動(dòng)力學(xué)方程若剛體受力均在若剛體受力均在oxy面內(nèi)，則有面內(nèi)，則有yyxxCiCimaFmaF 慣性系慣性系質(zhì)心系，可以質(zhì)心系，可以是非慣性系是非慣性系2、作用于剛體上的力、作用于剛體上的力（1）

6、作用于剛體上的力是）作用于剛體上的力是滑移矢量滑移矢量沿作用線沿作用線滑移而不改變效果。滑移而不改變效果。FFC對剛體，力的三要素：對剛體，力的三要素：大小大小、方向方向、作用線作用線。作作用用，一一般般F使質(zhì)心有加速度使質(zhì)心有加速度使剛體有角加速度（若力過質(zhì)使剛體有角加速度（若力過質(zhì)心，則無此項(xiàng)）心，則無此項(xiàng)）（2）力偶和力偶矩）力偶和力偶矩力偶力偶大小相等方向相反的一對力。大小相等方向相反的一對力。力偶矩力偶矩力偶對某軸的力矩之和。力偶對某軸的力矩之和。力偶對質(zhì)心運(yùn)動(dòng)無影響。力偶對質(zhì)心運(yùn)動(dòng)無影響。FF 1dC2d ，方向：，方向：軸力矩大小：軸力矩大?。簩?1FdMCF ，方向：，方向：

7、軸力矩大小：軸力矩大?。簩?2FdMCF力偶矩：力偶矩：FdddFMMM )(2121d力偶臂力偶臂（3）剛體受力的等效處理）剛體受力的等效處理CFFzM F等效為等效為轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的力矩）軸的力矩）對對原原附加一力偶（力偶矩附加一力偶（力偶矩平動(dòng)平動(dòng)平移至過質(zhì)心平移至過質(zhì)心將將 CFF 三三 剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能222121 CCkJmvE 剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于隨質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能剛體平面運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能等于隨質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能與對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。與對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和?？颇嵯６ɡ砜颇嵯６ɡ恚ㄗC明略）（證明略）四四 剛體在平面力系作用下的平衡條件剛體在平面力系作用下的平衡條件設(shè)各力均

8、在設(shè)各力均在oxy面內(nèi)，則剛體面內(nèi)，則剛體靜止平衡靜止平衡（或（或作勻速作勻速直線平動(dòng)直線平動(dòng)）的充要條件為：）的充要條件為：0 iF軸軸）（對對任任意意zMzi0 其中，其中，0 iF通常寫成分量形式：通常寫成分量形式：0, 0 yxiiFF例例2、 一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量一均質(zhì)圓柱，質(zhì)量m、半徑、半徑R ，在水平外，在水平外力力F作用下，在粗糙水平面上作純滾動(dòng)，力的作作用下，在粗糙水平面上作純滾動(dòng)，力的作用線與中心軸線的垂直距離為用線與中心軸線的垂直距離為l，如圖。求質(zhì)心的，如圖。求質(zhì)心的加速度和圓柱所受的靜摩擦力。加速度和圓柱所受的靜摩擦力。解：不妨設(shè)靜摩擦力解：不妨設(shè)靜摩擦力f的方向向左，的

9、方向向左，CmafF 由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律： CJRflF 純滾動(dòng)條件：純滾動(dòng)條件： RaC 圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為圓柱對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 FaC221mRJC 則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：則由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：mR)lR(FaC32 FRlRf32 討論：討論：l0,方向向左；方向向左；lR/2, f0, 方向向右；方向向右；l=R/2, f=0.聯(lián)立以上四式，解得聯(lián)立以上四式，解得 FaCCmafmg sin轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的滾得快！轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小的滾得快！質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理過質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)定理純滾動(dòng)條件純滾動(dòng)條件（運(yùn)動(dòng)學(xué)條件運(yùn)動(dòng)學(xué)條件）2sinmRJmgRC 【例例3 3】兩個(gè)質(zhì)量和半兩個(gè)質(zhì)

10、量和半徑都相同，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量徑都相同，但轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同的柱體，在斜面上不同的柱體，在斜面上作無滑動(dòng)滾動(dòng)，哪個(gè)滾作無滑動(dòng)滾動(dòng)，哪個(gè)滾得快？得快？ mgfRC CJRf RaC xy2022-1-2515求圓柱體從求圓柱體從h高的斜面滾到底部時(shí)的速度和角速度。高的斜面滾到底部時(shí)的速度和角速度。Nmgf解：222222234)( ;34 2121 ,RghRghRJMEMghEcmcmcmcmcmfivvvv質(zhì)心系）繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理（二維）( cccJMamF2022-1-2517習(xí)題習(xí)題3.55：圓柱體圓柱體M=4.0kg , R= 0.10m, 斜面斜面=37,忽略滑輪的質(zhì)量忽略滑輪的質(zhì)量,

11、 重物重物m=1.0kg. 求求(1) 重物的加速度重物的加速度a, (2) 圓柱體的質(zhì)心加速度和角加圓柱體的質(zhì)心加速度和角加速度速度, (3)圓柱體和斜面間的摩擦圓柱體和斜面間的摩擦力。力。解：TfNMg221)(sinMRRfTMaMgfTmaTmgcmcmcmaaRa2N4 .11,rad/s0 . 4,m/s0 . 8,m/s0 . 4222faacm2022-1-2518習(xí)題習(xí)題3.57：如圖，以加速度如圖，以加速度a0上升的升降機(jī)中，滑輪和上升的升降機(jī)中，滑輪和圓柱體的半徑圓柱體的半徑R。求相對升降機(jī)的物體加速。求相對升降機(jī)的物體加速度和圓柱的質(zhì)心加速度；繩中的張力。度和圓柱的質(zhì)心

12、加速度；繩中的張力。解：22220111201RaaJRTMaTMaMgRaJRTRTmamamgTccT1T1T2T2mgMgMgTma0Ma0例例4、有一長為、有一長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，置于的勻質(zhì)細(xì)桿，置于光光滑水平面上滑水平面上，可繞過中點(diǎn)，可繞過中點(diǎn)O的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)的光滑固定豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，初始時(shí)桿靜止，有一質(zhì)量與桿相同的小球沿動(dòng)，初始時(shí)桿靜止，有一質(zhì)量與桿相同的小球沿與桿垂直的速度與桿垂直的速度 飛來，與桿端點(diǎn)碰撞，并粘附飛來，與桿端點(diǎn)碰撞，并粘附于桿端點(diǎn)上，如圖所示。于桿端點(diǎn)上，如圖所示。（1）定量分析系統(tǒng)碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；）定量分析系統(tǒng)碰撞后的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)；（2）若去掉

13、固定軸，桿中點(diǎn)不固定，）若去掉固定軸，桿中點(diǎn)不固定，再求碰后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。再求碰后系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。vmvmlO4202lmmlmyC mvmlO解：解：（1）對（桿對（桿+小球）系統(tǒng)，對小球）系統(tǒng)，對O軸合外力軸合外力矩為矩為0，故，故角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒： 121)2(222mllmlmv lv23 碰后系統(tǒng)將以碰后系統(tǒng)將以lv23 轉(zhuǎn)動(dòng)。轉(zhuǎn)動(dòng)。（2）碰后，系統(tǒng)質(zhì)心位置為碰后，系統(tǒng)質(zhì)心位置為mmlCyO Cv 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可看作隨質(zhì)心的平動(dòng)和系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可看作隨質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。mmlCyO Cv 對（桿對（桿+小球）系統(tǒng)，合外力為小球）系統(tǒng)，合外力為0，故，故動(dòng)量守

14、恒動(dòng)量守恒：Cmvmv2 2vvC 同時(shí)，對同時(shí)，對C軸合外力矩為軸合外力矩為0，故，故角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒： )(4球球桿桿CCJJlmv（平平行行軸軸定定理理）桿桿222487)4(121mllmmlJC 2)4(lmJC 球球lv56 碰后系統(tǒng)質(zhì)心將以碰后系統(tǒng)質(zhì)心將以向右運(yùn)動(dòng)，向右運(yùn)動(dòng)，2vvC 且系統(tǒng)以且系統(tǒng)以lv56 繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)。例例5、“打擊中心打擊中心”問題：勻質(zhì)細(xì)桿長問題：勻質(zhì)細(xì)桿長l，質(zhì)量，質(zhì)量m，可繞固定光滑水平軸可繞固定光滑水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，開始豎直靜止。某轉(zhuǎn)動(dòng)，開始豎直靜止。某時(shí)刻有水平時(shí)刻有水平F作用在作用在A處（距處（距O為為l0），求此時(shí)軸），求此時(shí)軸

15、對桿的作用力。對桿的作用力。FO0lACxyxNyN由轉(zhuǎn)動(dòng)定律：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律： 2031mlFl 203mlFl 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心加速度：質(zhì)心加速度：（切切向向） 2laxC （法法向向）0220 layCyxCyCxmamgNmaNF FO0lACxyxNyNmgNFllNyx )123(0力力很很大大。軸軸的的反反作作用用將將很很大大，此此時(shí)時(shí)桿桿對對支支承承通通常常很很大大，只只要要由由于于沖沖擊擊力力xNllF,320 點(diǎn)點(diǎn)叫叫打打擊擊中中心心。此此時(shí)時(shí)的的當(dāng)當(dāng)ANllx, 0,320 （1）在使用工具敲打東西時(shí)，在使用工具敲打東西時(shí)，要注意用打擊中心擊打，以免有要注

16、意用打擊中心擊打，以免有較大的反作用力。較大的反作用力。 打擊中心與剛打擊中心與剛體的形狀及質(zhì)量分布有關(guān)。體的形狀及質(zhì)量分布有關(guān)。（2）若圖中沖擊力來自小球?qū)U）若圖中沖擊力來自小球?qū)U的碰撞，的碰撞，僅當(dāng)碰撞在打擊中心時(shí)，僅當(dāng)碰撞在打擊中心時(shí)，Nx=0，（小球，（小球+桿）系統(tǒng)水平方桿）系統(tǒng)水平方向動(dòng)量才守恒。向動(dòng)量才守恒。2022-1-2525例：例：例：例：RamRfRFRmafFcc221mamgTrmrTrTrmrTamTgmc22232222112111111121211122raarac剛體的進(jìn)動(dòng)剛體的進(jìn)動(dòng)*2022-1-2527 不受外力矩的陀螺儀，角動(dòng)量守恒，轉(zhuǎn)動(dòng)不受外力矩的陀螺儀，角動(dòng)量守恒，轉(zhuǎn)動(dòng)軸線的方向不變。軸線的方向不變。 受到外力矩作用的陀螺會(huì)產(chǎn)生回轉(zhuǎn)效應(yīng)，叫進(jìn)受到外