多元函數(shù)常微分9-6gaoppt課件

1、設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程)1()()()( tztytx ozyx(1)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo)式中的三個函數(shù)均可導(dǎo).9.6.1 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面M.),(0000tttzzyyxxM 對對應(yīng)應(yīng)于于;),(0000ttzyxM 對對應(yīng)應(yīng)于于設(shè)設(shè)M 9.6 9.6 微分法在幾何上的應(yīng)用微分法在幾何上的應(yīng)用考察割線趨近于極限位置考察割線趨近于極限位置切線的過程切線的過程zzzyyyxxx 000t t t 上式分母同除以上式分母同除以, t ozyxMM 割線割線 的方程為的方程為MM ,000zzzyyyxxx ,0,時時即即當(dāng)當(dāng) tMM曲線在曲線在M處的切線方程

2、處的切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量切向量：切線的方向向量稱為曲線的切向量. )(),(),(000tttT 法平面：過法平面：過M點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt )1()()()( tztytx 例例1 1 求曲線求曲線: tuuduex0cos，tysin2 tcos ,tez31 在在0 t處的切線和法平面方程處的切線和法平面方程.解解當(dāng)當(dāng)0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3

3、)0( z切線方程切線方程,322110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空間曲線方程為空間曲線方程為,)()( xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切切線線方方程程為為特殊地：特殊地：2.空間曲線方程為空間曲線方程為,0),(0),( zyxGzyxF切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zzGGFFyyGGFF

4、xxGGFFyxyxxzxzzyzy例例 2 2 求求曲曲線線6222 zyx，0 zyx在在點點)1, 2, 1( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程.解解 zFyFxFzyx222 yxxzzyT22 ,22 ,22 , 111 zyxGGG yxxzzyT ,可可取取 3 , 0 , 3 T,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx設(shè)曲面方程為設(shè)曲面方程為0),( zyxF),(),(),(000tttT 曲線在曲線在M處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點M的曲

5、線的曲線,)()()(: tztytx 9.6.2 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線nTM0)(),(),( tttF 則有則有數(shù)數(shù)鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)在在假假設(shè)設(shè) M ),(zyxF0)()()(000 tFtFtFzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令那那么么,Tn 由由 于于 曲曲 線線 是是 曲曲 面面 上上 通通 過過M的的 任任 意意 一一條條曲曲線線，它它們們在在M的的切切線線都都與與同同一一向向量量n垂垂直直，故故 曲曲 面面 上上 通通 過過M的的 一一 切切 曲曲 線線 在在 點點M的的 切切 線線 都都

6、在在同同一一平平面面上上，這這個個平平面面稱稱為為曲曲面面在在點點M的的切切平平面面. 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通通過過點點),(000zyxM而而垂垂直直于于切切平平面面的的直直線線稱稱為為曲曲面面在在該該點點的的法法線線.法線方程為法線方程為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M處的法向量即處的法向量即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量

7、稱為曲面的法向量.特殊地：空間曲面方程形為特殊地：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的法向量為處的法向量為曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx,),(),(zyxfzyxF 令令1),(),(0000 yxfyxfnyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 的的全全微微分分在在點點函函數(shù)數(shù)),(),(00yxyxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為這說明函數(shù)這說明函數(shù) 在點在點 的全微分，在幾的全微分，在幾( , )zf x y00(,)xy何上表示曲面何上表示曲面 在點在點

8、處的切平面處的切平面( , )zf x y000(,)xy z上點的豎坐標(biāo)的改變量。上點的豎坐標(biāo)的改變量。 若若 、 、 表表示示曲曲面面的的法法向向量量的的方方向向角角，并并假假定定法法向向量量的的方方向向是是向向上上的的，即即使使得得它它與與z軸軸的的正正向向所所成成的的角角 是是銳銳角角，則則法法向向量量的的方方向向余余弦弦為為,1cos22yxxfff ,1cos22yxyfff .11cos22yxff ),(00yxffxx ),(00yxffyy 其中其中),(yxfz 1),(),(0000 yxfyxfnyx例例 3 3 求求旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面122 yxz在在點點)4 ,

9、 1 , 2(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx例例 4 4 求求曲曲面面32 xyezz在在點點)0 , 2 , 1(處處的的切切平平面面及及法法線線方方程程.解解, 32),( xyezzyxFz, 42)0,2, 1()0,2, 1( yFx, 22)0,2, 1()0,2, 1( xFy, 01)0,2, 1()0,2, 1( zzeF令令切平面方程切平面

10、方程法線方程法線方程, 0)0(0)2(2)1(4 zyx, 042 yx.001221 zyx例例 5 5 求求曲曲面面2132222 zyx平平行行于于平平面面064 zyx的的各各切切平平面面方方程程.解解設(shè)設(shè) 為曲面上的切點為曲面上的切點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)(6)(4)(2000000 zzzyyyxxx依題意，切平面方程平行于已知平面，得依題意，切平面方程平行于已知平面，得,664412000zyx .2000zyx 因為因為 是曲面上的切點，是曲面上的切點，),(000zyx, 10 x所求切點為所求切點為滿足方程滿足方程),2 , 2 , 1(),2, 2, 1( 0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx0)2(12)2(8)1(2 zyx2164 zyx切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)證證設(shè)設(shè) 為曲面上的任一點為曲面上的任一點,),(000zyx切平面方程為切平面方程為0)()()()()(020022001002001 zzczbyFczaxFczyyFczxxF將定點代入平