多元函數(shù)積分學(xué)ppt課件

1、1 1向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念一、向量的基本概念1.向量向量:既有大小既有大小,又有方向的量又有方向的量,稱為向量稱為向量.(或矢量或矢量) 2.向量的幾何表示法向量的幾何表示法: 用一條有方向的線段來表示向量用一條有方向的線段來表示向量.以線段的長度表示向量的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.ABa以A為起點(diǎn), B為終點(diǎn)的向量, 記為AB, , a .a向量AB的大小叫做向量的模. 記為 |AB| 或 . | a(一一)向量的概念向量的概念3.自由向量自由向量ab自由向量：只有大小、方向自由向量：只有大小、方向,而無特定起點(diǎn)的向量而無特定起點(diǎn)的向量.

2、 具有在空間中可以任意平移的性質(zhì)具有在空間中可以任意平移的性質(zhì).,ba與當(dāng)向量大小相等且方向相同,記作相等與稱 .baba特別特別: 模為模為1的向量稱為單位向量的向量稱為單位向量.模為0的向量稱為零向量.它的方向可以看作是任意的.1、向量加法、向量加法(1) 平行四邊形法則設(shè)有(若起點(diǎn)不重合, 可平移至重合). 作以為鄰邊的平行四邊形, 對角線向量, 稱為的和, 記作ba、ba與.baba、baab(2) 三角形法則baab將之一平行移動,使的起點(diǎn)與的終點(diǎn)重合, 則由 的起點(diǎn)到的終點(diǎn)所引的向量為ba、aba.bab(二二)向量的加減法向量的加減法2.向量加法的運(yùn)算規(guī)律向量加法的運(yùn)算規(guī)律.(1

3、)交換律: abbabaabccbcba(2)結(jié)合律:)()(cbacba例如例如:4321aaaass1a2a3a4aabababba3.向量減法向量減法.(1)負(fù)向量:與模相同而方向相反的向量, 稱為的負(fù)向量.記作aa. aaa(2)向量減法.規(guī)定:)( baba平行四邊形法則平行四邊形法則. .將之一平移, 使起點(diǎn)重合, 作以為鄰邊的平行四邊形, 對角線向量, 為 ba、ba和.ba三角形法則三角形法則. .將之一平移, 使起點(diǎn)重合, 由的終點(diǎn)向的終點(diǎn)作一向量, 即為ba、.baabbaabbaabbba1. 定義定義 實(shí)數(shù)與向量的為一個(gè)向量.aa乘積其中: |aa當(dāng) 0時(shí), ;同向與

4、aa當(dāng) 0時(shí), ;反向與 aa當(dāng) = 0時(shí), .,它的方向可以是任意的oa2. 數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算規(guī)律數(shù)與向量的乘積的運(yùn)算規(guī)律:(1) 結(jié)合律:auauau)()()(2) 分配律:auaau)(baba )(a( 0)(三三) 數(shù)與向量的乘法數(shù)與向量的乘法結(jié)論結(jié)論: 設(shè)表示與非零向量同向的單位向量設(shè)表示與非零向量同向的單位向量.aa那么aaa|或|1aaaaa定理定理1:兩個(gè)非零向量平行兩個(gè)非零向量平行ba與. ba存在唯一實(shí)數(shù)，使得(方向相同或相反)例例1:在平行四邊形在平行四邊形ABCD中中, 設(shè)設(shè)AB=,AD =ab試用表示向量MA,MB,MC和MD.ba和其中, M是平行四邊形對角

5、線的交點(diǎn).解:ba由= AC = 2MC有MC = )(21ba又 = BD = 2MDab)(21ab有MD = MB = MD )(21)(21baab)(21baMA = MC abDABCM1. 點(diǎn)在軸上投影點(diǎn)在軸上投影設(shè)有空間一點(diǎn)A及軸u, 過A作u軸的垂直平面,平面與u軸的交點(diǎn)A叫做點(diǎn)A在軸u上的投影.AAu(四四)向量在軸上的投影向量在軸上的投影2. 向量在軸上的投影向量在軸上的投影.設(shè)有向線段AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在軸u上的投影分別為點(diǎn)A 和B . 定義定義BBAAu向量AB在軸u上的投影向量或射影向量.稱有向線段A B 為如果向量e為與軸u的正方向的單位向量，xeBA則稱 x

6、為向量 AB 在軸u上的投影，記作ABjuPr即xABjuPr則向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue顯然；ABjuPrBA|ABjuPr當(dāng) 與u軸同向時(shí)，BA當(dāng) 與u軸反向時(shí)，BA BA|3. 兩向量的夾角兩向量的夾角設(shè)有非零向量ba,(起點(diǎn)同).b) ,(baa規(guī)定：正向間位于0到之間的那個(gè)夾角為的夾角,記為或) ,(ba) ,(abba,ba,(1) 假設(shè)同向，那么ba ,0) ,(ba(2) 假設(shè)反向，那么ba ,) ,(ba(3) 假設(shè)不平行，那么ba ,), 0() ,(ba4. 向量的投影性質(zhì)向量的投影性質(zhì).定理定理 2. (投影定理投影定理) 設(shè)向量設(shè)向量AB與軸與軸u

7、的夾角為的夾角為那么 PrjuAB = | AB |cos BBAAuB1定理定理3: 兩個(gè)向量的和在軸兩個(gè)向量的和在軸u上的投影等于兩個(gè)向量在上的投影等于兩個(gè)向量在該軸上的投影的和。該軸上的投影的和。推論推論:nuuunuajajajaaajPrPrPr)(Pr2121BBAAuCC1a2a21aa2121PrPr)(Prajajaajuuu即ajajuuPr)(Pr即定理定理4: 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)與向量的乘積在軸與向量的乘積在軸u上的投影，上的投影，等于等于乘以向量在該軸上的投影。乘以向量在該軸上的投影。aa二二. 空間直角坐標(biāo)系與空間向量的坐標(biāo)表示空間直角坐標(biāo)系與空間向量的坐標(biāo)表示1. 空間直角

8、坐標(biāo)系的建立空間直角坐標(biāo)系的建立ozxyzxy x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)組成了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系,又稱笛卡爾(Descarstes)坐標(biāo)系，點(diǎn)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn).o(一一) 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系2. 坐標(biāo)面坐標(biāo)面. 由三條坐標(biāo)軸的任意兩條確定的平面, 稱為坐標(biāo)面, 分別叫x y面. y z面、z x面, 它們將空間分成八個(gè)卦限.zIVVIVVII0 xyVIIIIIIIII1. 點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示.RQP (x, y, z)記: 點(diǎn)M為M (x, y, z)OxyzMxyz(二二) 空間向量的表示空間向量的表示(1) 若點(diǎn)M在yz面

9、上, 那么 x = 0; 在zx面上, 那么 y = 0; 在xy面上, 那么 z = 0.(2) 若點(diǎn)M在 x 軸上, 那么 y = z = 0在 y 軸上, 那么 x = z = 0在 z 軸上, 那么 x = y = 0特別特別:2.空間向量的坐標(biāo)表示空間向量的坐標(biāo)表示(1)起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量OM設(shè)點(diǎn) M (x, y,z)以 i, j, k分別表示沿x, y, z軸正向的單位向量, 稱為基本單位向量. OM = OA + AN +NM= OA + OB + OC = xi + yj + zkx, y, z,分別是OM 在三坐標(biāo)軸上的投影, 稱為OM 的坐標(biāo).zijkMoxyCABzyxN簡

10、記為 OM =(x, y, z)稱為向量OM的坐標(biāo)表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：22|NMONOM222zyx從而：222|OCOBOA222zyxOM(1)(2). 起點(diǎn)不在原點(diǎn)O的任一向量 a = M1M2設(shè)點(diǎn) M1 (x1, y1 , z1), M2 (x2, y2 , z2)a = M1M2 = OM2 OM1= (x2 i+ y2 j + z2 k) (x1 i + y1 j + z1 k) = (x2 x1) i + (y2 y1) j + (z2 z1) k即 a = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1) 為向量a的坐標(biāo)表示式記 ax = x2 x1 ,

11、ay = y2 y1 , az = z2 z1分別為向量 a 在三個(gè)坐標(biāo)軸上的投影, 稱為a的坐標(biāo).zxyM1M2aoa = M1M2 = (x2 x1 , y2 y1 , z2 z1)22221zyxaaaMM兩點(diǎn)間距離公式：由此得212212212)()()(zzyyxx(2)21221221221)()()(zzyyxxMM(3)(3). 運(yùn)算性質(zhì)設(shè) a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 且為常數(shù)a b = (ax bx , ay by , az bz ) a = (ax , ay , az)證明: a + b = (ax i + ay j+ az

12、k) +(bxi + by j+ bz k)= (ax i + bxi ) +(ay j+ by j) + (az k + bz k)= (ax + bx) i + (ay+ by) j + (az+ bz ) k a + b = (ax + bx , ay + by , az + bz )(4) 兩向量平行的充要條件.設(shè)非零向量 a =(ax , ay , az), b =(bx , by , bz), 即ax =bx, ay =by, az =bz,于是注: 在(*) 式中, 規(guī)定若某個(gè)分母為零相應(yīng)的分子也為零. a / bzzyyxxbababa(*) a / b a = b那么(為常數(shù)

13、)例如：(4, 0, 6) / (2, 0, 3)1. 方向角方向角: 非零向量非零向量a 與與x, y, z 軸正軸正向夾角向夾角, , 稱為稱為a 的方向的方向角角.2. 方向余弦方向余弦: 方向角的余弦方向角的余弦 cos, cos, cos 稱為方向余稱為方向余弦弦.3. 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式故有 ax =| a | cos ay =| a | cos az =| a | cosayzx0設(shè)a =(ax, ay, az,)(三三) 向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式向量的模與方向余弦的坐標(biāo)表示式又：222|zyxaaaa222222222cos,co

14、s,coszyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa(4)(5)由(5)式可得cos2 +cos2 +cos2 = 1(6)設(shè)ao是與a同向的單位向量ao|a|a222222222,zyxzzyxyzyxxaaaaaaaaaaaa= (cos , cos , cos )(7)例例2. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)M1(2, 2, )和和M2(1, 3, 0). 計(jì)算向量計(jì)算向量M1 M2的模的模, 方向余弦和方向角方向余弦和方向角.2 解: M1 M2 = (1, 1, )2|M1 M2 | =; 24)2(1) 1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32例例3: 在在z軸

15、上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn) A(4, 1, 7) 和和B(3, 5, 2)等距離的點(diǎn)等距離的點(diǎn).解: 設(shè)該點(diǎn)為M(0, 0, z)由題設(shè) |MA| = |MB|.即:222222)2()05()03()7()01 ()04( zz解得:914z所求點(diǎn)為 M (0, 0, )914例例4 證明以證明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形.解:14) 12()31 ()47(|22221MM6)23() 12()75(|22232MM6) 13() 32()45(|22213MM由 |M2 M3

16、| = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.2 2向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積. .向量積及混合積向量積及混合積一、一、 向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積例如例如: 設(shè)力設(shè)力F 作用于某物體上作用于某物體上, 物體有一段位移物體有一段位移S , 求功的表示式求功的表示式.解解: 由物理知由物理知, 與位移平行的分力作功與位移平行的分力作功, 與位移垂直的分力不作功與位移垂直的分力不作功. 于是于是W=|F |cos |S | = |F | |S | cossF且20當(dāng)時(shí)，做正功；2當(dāng)時(shí)，做負(fù)功；2當(dāng)時(shí)，不做功。設(shè)有兩個(gè)向量 a、b, 它們的夾角為,即: a b = |a| |b| c

17、os1. 定義定義1:將數(shù)值|a |b|cos 稱為a與b的 數(shù)量積( 或 點(diǎn)積 ),記作 a b .內(nèi)積注注1: 當(dāng)當(dāng) a 0時(shí)時(shí), | b | cos = Prjab當(dāng) b 0時(shí), | a |cos = Prjba于是于是a b = |a| Prjab = |b| Prjba注注2:a a = | a |2例如例如:i i = j j = k k = 1a b = |a| |b| cos(1) 交換律 a b = b a (2) 分配律 (a + b) c = a c + b c(3) 數(shù)量積滿足如下結(jié)合律: ( a) b = a ( b) = (a b), 為實(shí)數(shù)2. 數(shù)量積的性質(zhì)數(shù)量積

18、的性質(zhì)(4) a a 0 ，a = 0且a a = 0 a b = |a| |b| cosa b = |a| Prjab = |b| Prjba證證: :必要性必要性: :設(shè)設(shè)a a b, b, .2則02cos|baba充分性: 設(shè)a b = | a | |b |cos =0; 由a 0, b 0,得: cos =0 ,2即a b例如例如: i、j、k 互相垂直互相垂直, 所以所以i j = j k = i k = 0(5) 兩個(gè)非零向量a , b 垂直a b = 0如圖, 利用數(shù)量積證明三角形的余弦定理| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos證證:

19、| c |2 = | a b |2 = (a b) (a b)= a a + b b 2 a b= | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos| c |2 = | a |2 + | b |2 2 | a | | b |cos故故:abc例例1. 由于c = a b , 于是= a (a b) b (a b)3. 數(shù)量積的坐標(biāo)表示式數(shù)量積的坐標(biāo)表示式設(shè) a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), 那么a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + b

20、z k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + az k (bx i + by j + bz k )= ax bx i i + ax by i j + ax bz i k + ay bx j i +ay by j j + ay bz j k + az bx k i + az by k j + azbz k k = ax bx + ay by + az bz得公式:a b = ax bx + ay by + az bz(1)推論推論: 兩個(gè)非零向量兩個(gè)非零向量a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz)垂直ax bx + ay by + az

21、 bz = 04. 數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用數(shù)量積在幾何中的應(yīng)用設(shè) a =(ax, ay , az), b = (bx , by , bz), (1) 求 a 在 b 上的投影.Prjba = | a | )cos(a,b由 |a | |b | = a b , 得)cos(a,b222jPrzyxzzyyxxbbbbababa|b|baab(2)知知:(2) 求兩向量 a, b 的夾角由 | a | | b |cos = a b, 知 |a|b|bacos(3)222222zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa已知三點(diǎn) M (1, 1, 1), A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2)

22、, 求AMB.AMB即為向量MA與MB的夾角. 由MA= (1, 1, 0), MB = (1, 0, 1)得得: cosAMB=|MBMAMBMA21101011100111222222所以所以3AMB例例2解解:由力學(xué)規(guī)定: 力F 對支點(diǎn)O的力矩是一個(gè)向量M .其中其中: FOQPL(1) |M| = |OQ| |F | = |OP| sin |F | = |OP| |F | sin(2) M的方向: 垂直于OP與F 所在的平面, 指向滿足右手規(guī)則. 即:右手四指從OP以不超過的角轉(zhuǎn)向F 握拳, 大拇指的指向就是M 的方向.設(shè)O為一根杠桿L的支點(diǎn), 有一個(gè)力F 作用于這杠桿上P點(diǎn)處, F

23、與OP的夾角為 , 考慮 F 對支點(diǎn) O 的力矩.例如例如:二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積 abc = a b(1) | c | = | a | | b | sin(2) c 與a、b所在的平面垂直, (即 c a且c b). c 的指向按右手規(guī)則從 a 轉(zhuǎn)向 b 來確定.則將向量c 稱為 a 與 b 的向量積, 記作: a b.即: c = a b注注: 向量積的模的幾何意義向量積的模的幾何意義.以a、b為鄰邊的平行四邊形, 其面積等于| a | | b |sin, 所以a b的模, 等于以a、b為鄰邊的平行四邊形的面積.1. 定義定義1:設(shè)有兩個(gè)向量 a、b, 夾角為, 作一個(gè)向量c

24、, 使得向量積的性質(zhì)(1) a a = 0 (2) 反交換律 a b = b a (3) 分配律 a (b + c) = a b + a c (4) 向量積與數(shù)乘滿足結(jié)合律: (b + c) a = b a + c a ( a) b = a ( b) = (a b ), 為實(shí)數(shù)| c | = | a | | b | sin必要性: 設(shè)a 、b 平行, 那么 = 0或 = . 于是| a b | = | a | | b |sin = 0所以所以 a b = 0 充分性: 設(shè) a b = 0 那么那么 | a b | = | a | | b |sin = 0由 | a | 0, | b | 0,

25、得 = 0或 = . 所以 a 與 b 平行證證:(5) 兩個(gè)非零向量 a 、b 平行 a b = 0 例如例如: i i = j j = k k = 0 i j = k j i = k k j = i i k = jkjixyzk i = jj k = i2、向量積的坐標(biāo)表示式、向量積的坐標(biāo)表示式設(shè) a =(ax, ay , az) b = (bx , by , bz) 那么a b = (ax i + ay j + az k ) (bx i + by j + bz k )= ax i (bx i + by j + bz k ) + ay j (bx i + by j + bz k ) + a

26、z k (bx i + by j + bz k )= ax bx (i i) + ax by ( i j ) + ax bz( i k ) + ay bx (j i) + ay by ( j j ) + ay bz (j k ) + az bx (k i) + az by ( k j ) + azbz( k k )= ax by k + ax bz( j ) + ay bx(k) + ay bz i + az bx j + az by( i )= ( ay bz az by) i+( az bx ax bz) j+ ( ax by ay bx) k得公式:a b = ( aybz azby) i+( azbx axbz) j+ ( axby ay bx) kzyxzyxbbbaaakji求垂直于向量 a = (2, 2, 1)和b = (4, 5, 3)的向量c.a b 同時(shí)垂直于a、b354122kjiba= 6i + 4j + 10k 8k 6j 5i= i 2j + 2k取 c = a b = (1, 2 , 2).顯然, 對于任意 0R, c = (,2, 2) 也與a、b垂直.例例3:解解:而知ABC的頂點(diǎn)分別是A(1, 2, 3), B(3, 4, 5), C(2, 4, 7), 求ABC的面積.xyzABCo由向量積的定義.|21A