版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請(qǐng)進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡(jiǎn)介
1、圓錐曲線的綜合問題(一)2. 了解圓錐曲線的簡(jiǎn)單最新考綱 1掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系的思想方法;應(yīng)用;3.理解數(shù)形結(jié)合的思想.1. 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時(shí),通常將直線 l的方程Ax + By+ C = 0(A, B不同時(shí) 為0)代入圓錐曲線 C的方程F(x, y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量 x(或變量 y)的一元方程,Ax + By+ C = 0 ,即消去 y,得 ax2 + bx + c= 0.F (x, y )= 0(1)當(dāng)a丸 時(shí),設(shè)一元二次方程 ax2 + bx + c = 0的判別式為A,則A> 0?直線與圓
2、錐曲線 C 相交;A= 0?直線與圓錐曲線C相切Av 0?直線與圓錐曲線C相離.當(dāng)a = 0 , b丸 時(shí),即得到一個(gè)一次方程, 則直線l與圓錐曲線C相交,且只有一個(gè)交點(diǎn), 此時(shí),若C為雙曲線,則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行C為拋物線,則直線l與拋物線的對(duì)稱軸的位置關(guān)系是平行或重合 .2. 圓錐曲線的弦長(zhǎng)設(shè)斜率為k(k工0)的直線I與圓錐曲線 C相交于A, B兩點(diǎn),A(xi, yi), B(X2, y2),則|AB| 1 + k2|X1 X2|-例題精講(考點(diǎn)分析)考點(diǎn)一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2 2x2 y2【例1】 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中,已知橢圓Ci:二+ ;= 1(a&g
3、t; b > 0)的左焦點(diǎn)為Fi(a2 b21 , 0),且點(diǎn) P(0, 1)在 C1 上.(1)求橢圓C1的方程;設(shè)直線I同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2: y2 = 4x相切,求直線I的方程解 橢圓C1的左焦點(diǎn)為F1( 1, 0) ,.c= 1 ,又點(diǎn)P(0 , 1)在曲線C1上,0 1-;+ ;= 1,得 b = 1,貝U a2= b2+ c2 = 2,a2 b2x2所以橢圓C1的方程為2 + y2= 1.(2)由題意可知,直線I的斜率顯然存在且不等于0,設(shè)直線I的方程為y= kx + m ,x27 + y2=1,由 2消去 y,得(1 + 2k2)x2+ 4kmx + 2m2 2 =
4、0.y = kx + m因?yàn)橹本€l與橢圓Ci相切,所以 Ai = 16k2m2 4(1 + 2k2)(2m2 2) = 0.整理得2k2 m2+ 1 = 0y2=4x,由消去 y,得 k2x2 + (2km 4)x + m2= 0.y = kx + m因?yàn)橹本€l與拋物線C2相切,所以 A = (2km 4)2 4k2m2 = 0,整理得 km = 1.綜合,k =k = 一2, 解得2 或2所以直線m =m = 21的方程為y= 2+" 2或y =Tx 2.規(guī)律方法研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí),般轉(zhuǎn)化為研究其直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組解的個(gè)數(shù),消元后,應(yīng)注意討論含x2項(xiàng)的系
5、數(shù)是否為零的情況,以及判別式的應(yīng)用.但對(duì)于選擇、填空題要充分利用幾何條件,用數(shù)形結(jié)合的方法求解【訓(xùn)練1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M至U點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C.(1) 求軌跡C的方程;(2) 設(shè)斜率為k的直線I過定點(diǎn)P( 2 , 1),若直線I與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù) k 的取值范圍.解(1)設(shè)點(diǎn) M(x, y),依題意 |MF| = |x|+ 1 ,(x 1) 2+ y2 =|x|+ 1,化簡(jiǎn)得 y2 = 2(|x| + x),4x (x>0),故軌跡C的方程為y2 =0 (x v 0).在點(diǎn) M 的軌跡 C 中,記 Ci: y2 = 4x
6、(x >0); C2: y = 0(x v 0).依題意,可設(shè)直線l的方程為y 1 = k(x+ 2).y 1 = k (x+ 2), 由方程組y2 = 4x,可得 ky2 4y + 4(2 k + 1) = 0.1當(dāng)k = 0時(shí),此時(shí)y = 1.把y = 1代入軌跡C的方程,得x=-.41故此時(shí)直線I: y = 1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn),14當(dāng) k丸 時(shí),方程的 A= 16(2 k2 + k 1) = 16(2 k 1)(k + 1),設(shè)直線I與x軸的交點(diǎn)為(xo, 0),則2 k+ 1由 y 1 = k(x + 2),令 y = 0 ,得 xo =.kAv 0,1(i )若由解得k
7、v 1,或k>-.X0 v 0 ,21所以當(dāng)kv-1或k>2時(shí),直線1與曲線C1沒有公共點(diǎn),與曲線C2有一個(gè)公共點(diǎn),故此時(shí) 直線I與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)2 k2 + k 1 = 0 ,A= 0,(ii )若即2k+ 1解集為?.X0 » ,v 0 ,k1綜上可知,當(dāng)kv1或k>或k=0時(shí),直線I與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)考點(diǎn)二弦長(zhǎng)問題x2 y2【例2】(2016 四川卷已知橢圓EQ +正=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線I: y= x+ 3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);I交于設(shè)0是坐
8、標(biāo)原點(diǎn),直線I'平行于0T,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn) A, B,且與直線點(diǎn)P證明:存在常數(shù) 人使得|PT|2= Z|PA| |PB|,并求泊勺值.(1)解由已知,a= 2b,則橢圓E的方程為箱+音=1.x2y2+ = 1 ,由方程組2b2 b2'得 3x2- 12x+ (18 2b2)= 0y=- x+ 3,方程的判別式為 A= 24( b2-3),由0,得b2= 3 ,此時(shí)方程的解為x = 2 ,x2y2所以橢圓E的方程為+ = 1.點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2 , 1).6 3(2)證明 由已知可設(shè)直線I'1的方程為y = fx + m(m工0),1y=-由方程組2+ m,可得y
9、=- x+ 3,2m1 +32m所以p點(diǎn)坐標(biāo)為238.|PT|2=廠設(shè)點(diǎn)A, B的坐標(biāo)分別為A(xi, yi), B(X2, y2).x2 y26 盲=1,由方程組1y = 2x+ m,可得 3x2 + 4mx + (4m2-12) = 0.方程的判別式為 A= 16(9 2 m2),由A>0,解得一23 .,23 , 2< m<24m由得xh X2 -4m2 12X1X2 =32m2 xi23,同理|PB|#2m2 X232m2m2 xi 2 X23 32m 22 3(Xi + X2)+ X1X252m 22 m2 2 4334m4m2 123310=m2.94故存在常數(shù)X
10、=-,使得|PT|2= X|PA| |PB|.5規(guī)律方法 有關(guān)圓錐曲線弦長(zhǎng)問題的求解方法:涉及弦長(zhǎng)的問題中,應(yīng)熟練的利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長(zhǎng); 往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡(jiǎn)化運(yùn)算;涉及過焦點(diǎn)的弦的問題, 的定義求解.X2 y2廠1【訓(xùn)練2】 已知橢圓 二+二=1(a> b > 0)經(jīng)過點(diǎn)(0, "3),離心率為一, a2 b22涉及垂直關(guān)系時(shí)也可考慮用圓錐曲線左、右焦點(diǎn)分別為F1( c, 0), F2(c, 0).(1)求橢圓的方程;1若直線I: y = x+ m與橢圓交于 A, B兩點(diǎn),與以F1F2為直徑的2圓交于C, D兩點(diǎn),且滿足擔(dān)|CD|,求直線
11、l的方程4c 1解(1)由題設(shè)知a 2'解得 a = 2, b = 3, c= 1 ,b2= a2 c2,22橢圓的方程為x2 y2十一=1.4 3(2)由(1)知,以F1F2為直徑的圓的方程為x2+ y2= 1 ,圓心到直線I的距離 d = 2|m|,由 dv 1,得 |m|<¥(*)|CD| = 2得 x2 mx + m2 3 = 0,設(shè) A(xi, yi), B(X2, y2).由 22x2 y2 + = 1 ,43由根與系數(shù)關(guān)系可得X1 + X2= m , X1X2 = m2 3.1 2m2 4 (m2 3)2|AB|CD|滿足(*).直線l的方程為y =1-
12、31- 3-2x+丁 或y2x - 丁考點(diǎn)三中點(diǎn)弦問題x2 y2【例3】(1)已知橢圓E:+ ;= 1(a > b > 0)的右焦點(diǎn)為F(3 , 0),過點(diǎn)F的直線交E于A,a2 b2B兩點(diǎn)若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1 , - 1),貝U E的方程為()A.45 + 36=1x2 y2 臨+27 =12 2x2y2c.+= 12 2x2 y2D.+= 1189y2已知雙曲線x2 - 3 = 1上存在兩點(diǎn)M , N關(guān)于直線y = x + m對(duì)稱,且 MN的中點(diǎn)在拋物線y2 = 18x上,則實(shí)數(shù) m的值為.解析(1)因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)F(3 , 0)和點(diǎn)(1 , - 1),1 x2 y2a23
13、所以直線AB的方程為y = :(x 3),代入橢圓方程 -+ 2 = 1消去y,得;+ b2 x2- a2x2 a2 b2429+尹-丹2 = 0,所以AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3-a22a22+ b24即 a2= 2b2,又 a2 = b2+ c2,所以 b = c = 3, a= 3" 2,選 D.設(shè) M (X1, y1),N(X2, y2), MN 的中點(diǎn) P(xo, yo),x2 -y2=13y!則 x2 3 = 1 ,X1 + X2= 2xo, y1 + y2 = 2y0 ,由一得(X2 X1)(X2+ X1)= _(y2-y1)(y2+ y1),3y2 y1 y2+ y1yo顯
14、然 X1 MX2.°.= 3,即 kMN = 3 ,X2 X1 X2 + X1X0M , N 關(guān)于直線 y= x + m 對(duì)稱,二 kMN = 1 ,2718m3m/.yo=- 3xo.又yo= xo + m ,:P -_,449m代入拋物線方程得m2=18, 解得m = 0或8,經(jīng)檢驗(yàn)都符合.答案(1)D(2)0 或8規(guī)律方法處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法(1)點(diǎn)差法:即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后,代入圓錐曲線方程,并將兩式相減,式中含有xi +yi y2X2, yi + y2 ,三個(gè)未知量,這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率,借用中點(diǎn)公式即可X1 X2求得斜率.(2)根與系數(shù)的關(guān)系:即聯(lián)立
15、直線與圓錐曲線的方程得到方程組,化為一元二次方程后,由根與系數(shù)的關(guān)系求解.【訓(xùn)練3】 設(shè)拋物線過定點(diǎn) A( 1 , 0),且以直線x = 1為準(zhǔn)線.(1) 求拋物線頂點(diǎn)的軌跡 C的方程;1(2) 若直線I與軌跡C交于不同的兩點(diǎn) M , N ,且線段MN恰被直線x = 平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y = kx + m,試求m的取值范圍解(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為 P(x, y),則焦點(diǎn)F(2x 1 , y).再根據(jù)拋物線的定義得|AF|= 2,即(2x)2 + y2 = 4,所以軌跡C的方程為x2+匚1.4設(shè)弦MN的中點(diǎn)為1P , yo , m(xm, yM), n(xn, yN),則由點(diǎn) M
16、, N 為橢圓 C上的4xM + yM = 4 , 可知4xN + yN= 4.兩式相減,得4(xm xn)(xm + xn)+ (yM yN)(yM + yN)= 0,將 xm + xn = 2 xyM + yN = 2yo,yM yNxm Xn1yok代入上式得k 一孑i又點(diǎn)P 2,yo在弦MN的垂直平分線上,所以1yo =+ m.所以m =0.1 1由點(diǎn)P 2,yo在線段BB'上B',B為直線x= 2與橢圓的交點(diǎn),如圖所示),所以yBVyov yB,也即 .;3 v yov :3.3寸33yj3所以-<mv,且m F基礎(chǔ)過關(guān)1. 過拋物線y2= 2x的焦點(diǎn)作一條直線
17、與拋物線交于A, B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于2 ,B.有且只有兩條則這樣的直線()A. 有且只有一條C.有且只有三條D.有且只有四條解析通徑2p = 2,又|AB| = X1 + X2 + p= 3 >2p,故這樣的直線有且只有兩條答案 Bbx2 y22. 直線y= ax+3與雙曲線a2 -1(a >o,b >o)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.1 或 2D.0bb解析 因?yàn)橹本€y= x + 3與雙曲線的漸近線 y = x平行,所以它與雙曲線只有 1個(gè)交點(diǎn).aa答案 Ax23. 經(jīng)過橢圓+ y2= 1的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45。的直線I,交橢圓于A, B兩點(diǎn),設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn),
18、貝y OA OB等于()A. 31B. -31D. ±31C. 一或一33解析 依題意,當(dāng)直線I經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)(1,0)時(shí),其方程為y 0 = tan 45 °x 1),即 yx2=x -1,代入橢圓方程I+y2=1并整理得3x2 4x= 0,解得4x=0或x = ,所以兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0, 1),-,.0A 0B =-,同理,直線33I經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn)時(shí),也可得 OA 0B=-3答案 B4拋物線y = x2到直線x y 2 = 0的最短距離為()A/ 27 2B.85.2D. 6解析設(shè)拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x, y),則 d =|xy 丄2 Zx 一24答案 B5.
19、(2017 石家莊調(diào)研)橢圓ax2+ by2 = 1與直線y = 1 x交于B兩點(diǎn),過原點(diǎn)與線段 AB中點(diǎn)的直線的斜率為工,則b的值為(2 bB.327解析 設(shè)A(xi, yi),B(X2, y2),線段AB中點(diǎn)M(xo, yo).由題設(shè)koM =:xoax2 + by1 = 1 ,由 22ax2 + by2 = 1 ,(y2 + y1) ( y2 y1) 得(X2 + X1 )( X2 X1 )y2 yi 又=1 ,X2 X1y2 + y12yo 3X2 + X1 2xo2答案 A6.已知橢圓x2 y2C:二 + ; = 1(a> b >o),a2 b2F2 , o)為其右焦點(diǎn),
20、過F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2.則橢圓C的方程為 c= , 2,b2a = 2,一=1,解得ab = 2,解析由題意得x2 y2橢圓C的方程為;+7 =1.a2 = b2+ c2,2 2答案x2y2+ 一= 1427.已知拋物線y = ax2(a > 0)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2,則直線y= x+ 1截拋物線所得的弦長(zhǎng)等于1 1解析由題設(shè)知p=2a=2,亠4.i拋物線方程為y =x2,焦點(diǎn)為F(0, 1),準(zhǔn)線為y= 1.412y = x2,聯(lián)立 4 消去x,y= x+1,整理得y2 6y +1 = 0,."1 + y2= 6直線過焦點(diǎn)F,所得弦 |AB| =|A
21、F|+ |BF|= y1+ 1 + y2 + 1 = 8.答案 8x2y28.過橢圓材+廠1內(nèi)一點(diǎn)P(3,1),且被這點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是 解析 設(shè)直線與橢圓交于 A(X1, y1), B(X2, y2)兩點(diǎn),由于A, B兩點(diǎn)均在橢圓上,x2 y2x2 y故和*廠1,荷廠1, 兩式相減得=0.(X1 + X2) ( X1 X2)(y1 + y2) (y1 y2)+164又tP 是 A, B 的中點(diǎn), X1 + X2= 6, y1 + y2= 2,y1 y23kAB=_ _.X1 X243直線AB的方程為y1=- 4(x - 3).即 3x + 4y 13 = 0.答案 3x + 4y 1
22、3 = 0三、解答題x2 y29設(shè)F1, F2分別是橢圓E:二+石=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過 F1且斜率為1的直線Ia2 b2與E相交于A, B兩點(diǎn),且|AF2|, |AB|, |BF2|成等差數(shù)列(1)求E的離心率;設(shè)點(diǎn)P(0, 1)滿足|PA| = |PB|,求E的方程.解 由橢圓定義知|AF2| + |BF2|+ |AB|= 4a,4又 2|AB| = |AF2|+ |BF2|,得 |AB| = -a,3l的方程為y= x+ c,其中c=- .”a2 b2.y = x+ c,設(shè)A(xi, yi), B(x2, y2),貝U A, B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組2 2x2 y2
23、+ = 12 2a2 b2消去y,化簡(jiǎn)得(a22a2ca2 (c2 b2)+ b2)x2+ 2a2cx + a2(c2 b2)= 0,貝U xi + X2=2, X1X2 =2a2+ b2a2 + b2因?yàn)橹本€ AB的斜率為1,所以 |AB| = ' :'2|X2 X1|= = 2 ( X1 + X2) 2 4X1X2,4ab2a2 + b2,故 a2 = 2b2,2所以E的離心率c ' ,a2 b2 e= _=a a(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(xo, yo),由(1)知X1 + X2X0 =2a2ca2 + b22cc,yo= xo+ c =-33yo+ 1由 | PA|
24、 = | PB|,得 kpN = 1,即 =1 , X0得 c= 3,從而 a= 3 ,'2 , b = 3.x2 y2故橢圓E的方程為+一= 1.189x2y210.已知橢圓C: 02+產(chǎn)1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率M , N.直線y = k(x 1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)MMN的面積為-,103時(shí),求k的值.解(1)由題意得a= 2,C 二a_ 2 ,a2= b2+ c2.解得b = 2,所以橢圓x2 y2c的方程為;+7 =* 1.由x2 y27 + 7= 1,y = k (x 1),得(1 + 2 k2) x2 4k
25、2x + 2 k2 4 = 0.設(shè)點(diǎn)M , N的坐標(biāo)分別為(X1, y)(X2, y2).則 y1 = k(X1 1), y2= k(X2 1),4k2x1 + x2 = 1 + 2k2,2k2 4x1x2= 1 + 2k2,所以 |MN | = ”,(X2 X1) 2 +( y2 y1)2=(1 + k2 ) ( X1 + X2 ) 2 4X1X2|k|'1 + k22(1 + k2)( 4 + 6k2)夕能力提高x2 y211.已知橢圓一 + 2 = 1(0 v b v 2)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,過4 b2Fi的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn),若|BF2| + |AF2|的最
26、大值為5,則b的值是()A.13C2D. ,;3解析 由橢圓的方程,可知長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a = 2,由橢圓的定義,可知|AF2|+ |BF2|+ |AB|= 4a所以 |AB| = 8 - (|AF2| + |BF2|)馮.由橢圓的性質(zhì),可知過橢圓焦點(diǎn)的弦中,2b2廠通徑最短,即=3,可求得b2= 3,即b = .'3av答案 D12.(2016 四川卷設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),P是以F為焦點(diǎn)的拋物線 y2= 2px(p>0)上任意一點(diǎn),M是線段PF上的點(diǎn),且|PM|= 2|MF|,則直線OM的斜率的最大值是()2B-3D.1解析如圖所示,設(shè)P(xo, yo)(yo>0),貝U y2 =
27、2pxo,即x0 =尬2p設(shè) M (x ',y),由 PM = 2MF ,0= 2P2x,0 = 2解之得p + xoyox,丁,且y,=3fy直線OM的斜率k =-=xyo2pyo =空p + y02p y。'2p2又yo +當(dāng)且僅當(dāng)yo=“ 2p時(shí)取等號(hào)yo則k的最大值為答案 C13. 設(shè)拋物線y2 = 8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為I, P為拋物線上一點(diǎn),PA丄I, A為垂足如果直線AF的斜率為一 ©,那么|PF| =解析直線AF的方程為y=“ 3(x 2),聯(lián)立y 3x+23,得 y = 4 3,所以 P(6x =-2,4 -,3).由拋物線的性質(zhì)可知|PF| = 6 + 2 = 8.答案 814. 已知拋物線 C: y2= 2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,直線y = 4與y軸的交點(diǎn)為P,與C
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請(qǐng)下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請(qǐng)聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對(duì)任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請(qǐng)與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對(duì)自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 綠色環(huán)保網(wǎng)站課程設(shè)計(jì)
- 基金專戶理財(cái)合同范例
- 文體拓展服務(wù)合同范例
- 合同保證責(zé)任3篇
- 用工勞動(dòng)合同范例范例
- 超市貨品租賃合同范例
- 養(yǎng)殖合伙合同協(xié)議范本3篇
- 全新運(yùn)送土方居間合同范本3篇
- 電梯物業(yè)服務(wù)合同范例
- 安全承諾運(yùn)動(dòng)器械保修協(xié)議3篇
- 項(xiàng)目電氣工程師總結(jié)
- 陳赫賈玲小品《歡喜密探》臺(tái)詞劇本
- 2023招聘專員個(gè)人年終總結(jié)
- 國(guó)際郵輪產(chǎn)業(yè)及未來郵輪
- 水工建筑物考試試題及答案
- 多元回歸分析論文
- 小學(xué)第四季度意識(shí)形態(tài)分析研判報(bào)告
- 部編二年級(jí)語文上冊(cè) 培優(yōu)輔差測(cè)試記錄表
- 國(guó)企市場(chǎng)化選聘經(jīng)理層聘任協(xié)議模板
- 《水晶知識(shí)培訓(xùn)》課件
- 基坑開挖及支護(hù)監(jiān)理細(xì)則(上傳)
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論