圓錐曲線的題型歸類的總結(jié)

1、高考圓錐曲線的常見題型題型一：定義的應(yīng)用1、圓錐曲線的定義：（1）橢圓（2）橢圓（3）橢圓2、定義的應(yīng)用（1）尋找符合條件的等量關(guān)系（2）等價轉(zhuǎn)換，數(shù)形結(jié)合3、定義的適用條件：典型例題例1、動圓M 與圓Ci:（x+1）2+y2=36內(nèi)切，與圓C2：（x-1）2+y 2=4外切,求圓心M例2、方程的軌跡方程。表示的曲線是題型二：圓錐曲線焦點(diǎn)位置的判斷（首先化成標(biāo)準(zhǔn)方程，然后再判斷）：1、橢圓：由分母的大小決定，焦點(diǎn)在分母大的坐標(biāo)軸上。2、雙項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定，焦點(diǎn)在系數(shù)為正的 坐標(biāo)軸上；3、拋物線：焦點(diǎn)在一次項(xiàng)的坐標(biāo)軸上，一次項(xiàng)的符號決定開口方向。典型例題2 2例1、已知方程 一y一 1表示焦點(diǎn)在

2、y軸上的橢圓，貝U m的取值范圍是|m| 12 m例2、k為何值時，方程x21的曲線:是橢圓；是雙曲線題型三：圓錐曲線焦點(diǎn)三角形(橢圓或雙曲線上的一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形)問題1、 橢圓焦點(diǎn)三角形面積S b2tan;雙曲線焦點(diǎn)三角形面積S b2 cot 2 22、常利用第一定義和正弦、余弦定理求解3、 m n, m n,mn,m2 n2四者的關(guān)系在圓錐曲線中的應(yīng)用；典型例題2 2例1、橢圓冷 yr 1(a b 0)上一點(diǎn)P與兩個焦點(diǎn)R, F2的張角/FfF?a b求證：AF1PF2的面積為b2 tan。2例2、已知雙曲線的離心率為 2 , Fi、F2是左右焦點(diǎn)，P為雙曲線上一點(diǎn)，且求該雙曲線

3、的標(biāo)準(zhǔn)方程題型四：圓錐曲線中離心率，漸近線的求法1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的值；2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關(guān)系式，可求離心率，漸進(jìn)線的最值或范圍；3、注重數(shù)形結(jié)合思想不等式解法典型例題例1、已知Fi、F2是雙曲線2 x2 ab21（ a 0，b0 ）的兩焦點(diǎn)，以線段F1F2為邊作正三角形MF1F2，若邊MF1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲線的離心率是（）2例2、雙曲線冷ab21 (a 0,b 0)的兩個焦點(diǎn)為Fi、F2若P為其上一點(diǎn)，且|PFi |=2|PF 2|,則雙曲線離心率的取值范圍為A. (1,3) B. 1,3C.(3,+) D.

4、3,2 2例3、橢圓G :篤爲(wèi)a b求橢圓離心率e的取值范圍;1(a b 0)的兩焦點(diǎn)為Fi( c,0), F2(c,0)，橢圓上存在UJHV UJUJV 點(diǎn) M 使 FJM F2M 0.2 2例4、已知雙曲線 篤 篤1(a 0,b 0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60的直 a b線與雙曲線的右支有且只有一個交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是(A)(1,2( B) (1,2)( C)2,)( D)(2,)題型五：點(diǎn)、直線與圓錐的位置關(guān)系判斷點(diǎn)在橢圓內(nèi)22xy22ab1、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)在橢圓上2xa2:122點(diǎn)在橢圓外xayb212、直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個公共點(diǎn)的問題:0相交

5、=0相切0 ；“等角、角平分、角互補(bǔ)問題”斜率關(guān)系（KiK20或KiK2）；“共線問題”LULT UUU（如: AQ QB 數(shù)的角度：坐標(biāo)表示法；形的角度：距離轉(zhuǎn)化法）；（如: A、O、B三點(diǎn)共線 直線OA與OB斜率相等）；“點(diǎn)、線對稱問題”坐標(biāo)與斜率關(guān)系;“弦長、面積問題”轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)與弦長公式問題（提醒：注意兩個面積公式的合理選擇）；六、化簡與計(jì)算；七、細(xì)節(jié)問題不忽略；判別式是否已經(jīng)考慮；拋物線問題中二次項(xiàng)系數(shù)是否會出現(xiàn)0.基本解題思想：1、“常規(guī)求值”問題：需要找等式，“求范圍”問題需要找不等式;2、“是否存在”問題：當(dāng)作存在去求，若不存在則計(jì)算時自然會無解；3、證明定值問題的方法：常把變

6、動的元素用參數(shù)表示出來，然后證明計(jì)算結(jié) 果與參數(shù)無關(guān)；也可先在特殊條件下求出定值，再給出一般的證明。4、處理定點(diǎn)問題的方法：常把方程中參數(shù)的同次項(xiàng)集在一起，并令各項(xiàng)的系 數(shù)為零，求出定點(diǎn)；也可先取參數(shù)的特殊值探求定點(diǎn)，然后給出證明5、求最值問題時：將對象表示為變量的函數(shù)，幾何法、配方法(轉(zhuǎn)化為二次函 數(shù)的最值)、三角代換法(轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值)、利用切線的方法、利用均值 不等式的方法等再解決；6、轉(zhuǎn)化思想：有些題思路易成，但難以實(shí)施。這就要優(yōu)化方法，才能使計(jì)算具有可行性，關(guān)鍵是積累“轉(zhuǎn)化”的經(jīng)驗(yàn)；7、思路問題：大多數(shù)問題只要忠實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個條件和要求表達(dá)出來， 即可自然而然產(chǎn)生思路。典

7、型例題：例1、已知點(diǎn)F 0,1，直線I : y 1， P為平面上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線I的垂uuu ULUT uuu UULT線，垂足為Q，且QPgQF FPgFQ .(1) 求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2) 已知圓M過定點(diǎn)D 0,2，圓心M在軌跡C上運(yùn)動，且圓M與x軸交于a、b兩點(diǎn)，設(shè)|da I1， db| I2，求k旦的最大值.l2 l1例2、如圖半圓，AB為半圓直徑，0為半圓圓心，且0D丄AB, Q為線段0D的中點(diǎn)，已知|AB|=4，曲線C過Q點(diǎn)，動點(diǎn)P在曲線C上運(yùn)動且保持|PA|+|PB|的值不變.(1) 建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線 C的方程；(2) 過D點(diǎn)的直線I與曲線C相交于不同

8、的兩點(diǎn) M、N，且M在D、N之間, 設(shè)如=入，求泊勺取值范圍.DN2 2例3、設(shè)Fi、F2分別是橢圓C :令% 1 (a b 0)的左右焦點(diǎn)a b（1）設(shè)橢圓C上點(diǎn)（J3,?。┑絻牲c(diǎn)Fl、F2距離和等于4，寫出橢圓C的方程和 焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)K是（1）中所得橢圓上的動點(diǎn)，求線段 KFi的中點(diǎn)B的軌跡方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交于M , N兩點(diǎn)，當(dāng)直線PM ，PN的斜率都存在，并記為kpM，kpN，試探究kpM Kpn的 值是否與點(diǎn)P及直線L有關(guān)，并證明你的結(jié)論。例4、已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離 的最大值為3，最小值為1

9、 .（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（n）若直線l : y kx m與橢圓C相交于A， B兩點(diǎn)（A, B不是左右頂點(diǎn)）， 且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線I過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).例5、已知橢圓兩焦點(diǎn)Fi、F2在y軸上，短軸長為2,2 , 為丄，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，且2uur umnPF1 PF2 1，過P作關(guān)于直線FiP對稱的兩條直線分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)。離心率PA、PB(1) 求P點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 求證直線AB的斜率為定值;典型例題:例1、詵尸Sj)，則血-1)，二(O.y+1 貝-忑 2)= (x,y -1)L(兀-2).冃卩 2 (y+1) = a3 - 2y- 1

10、) 即卅=4了，所以動點(diǎn).戸的軸跡亡的方程H =4y.(2) =設(shè)圓M的圓O坐標(biāo)肉則屮二心圓肱的半徑為呵卜問+0-礦園M的方程九匕一 + (丁 一硏二衛(wèi)+ (A -窈.令y=0,則(工一衛(wèi)+加=/+ 2片整理箒J-2咖+恥-4=6由、解得，x a 2 .不妨設(shè) A a 2,0 , B a 2,0 ,2 224 , I2. a 24 .111212I12 I222a2 16l1l2. a464a2 8 22 a4642J1 輕,Va4 640時，由得t f 216 |AB|=4.曲線C為以原點(diǎn)為中心，A、B為焦點(diǎn)的橢圓.設(shè)其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2 .5, /a= . 5,

11、c=2, b=1.2曲線C的方程為-+y2=1.5設(shè)直線I的方程為y=kx+2,2代入+ y2=1,得(1+5 k2)x2+20 kx+15=0.53二(20k)2-4X15(1+5 k2)0,得 k2 3 .由圖可知5DM x1 _=入 DN x2X1X2由韋達(dá)定理得20k1 5k2151 5k2將xi = 2x2代入得“、2 2400k2(1)X2(1 5k2)2151 5k22X2兩式相除得亡400k215(1 5k2)53, 51_ k25803(5利 理即4380(1)2163DM 0,DNX1X2DM,MDN16133(口 5)3k又當(dāng)k不存在時顯然x=dn 1 （此時直線1與y軸

12、重合）綜合得：1/3 U2 （逅孑例3、解：（1）由于點(diǎn)（3-）在橢圓上，二221 得2a=4,22a b分2 2橢圓C的方程為 1，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1,0）,（1,0）443分2 2把K的坐標(biāo)代入橢圓x y 1中得2(2x 1)2(2y)17分4343線段KF1的中點(diǎn)B的軌跡方程為(x 12)2占18分234(2)設(shè)KF1的中點(diǎn)為B (x, y)則點(diǎn)K(2x 1,2y).分（3）過原點(diǎn)的直線L與橢圓相交的兩點(diǎn)N關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱M ,設(shè) M (xo, yo) N( xo, yo), p(x, y),M, N,P在橢圓上，應(yīng)滿足橢圓方程,2 Xo 2 ayo210分2 2 kK_yyoyyoyy

13、。kPMKPN=22xxoxxoxxo2 a故：kPM Kpn的值與點(diǎn)P的位置無關(guān),同時與直線L無關(guān),14分25 分)例4、解：（I）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 4(U)設(shè) A(X1, yj , B(X2, y2),y kx m,聯(lián)立 x2 v2得(3 4k2)x2 8mkx 4(m2 3) 0 ,1.43X1 X2XigX264m k 16(3 4k )(m3) 0,即3 4k8mk3 4k2，4(m2 3)3 4k2 .0,則又 ViV22(kx1 m)(kx2 m) k x1x2 mk(x1 x2)m23(m2 4k2)4k2，因?yàn)橐訟B為直徑的圓過橢圓的右焦點(diǎn)D(2,0),1，kAD kgD1，

14、即V1V2 X1X2 2(Xi X2) 40，3(m2 4k2)3 4k23)3 4k24(m216mk3；? 4 0，229m2 16mk 4k20 .解得:OL2k，叫T，且均滿足3 4k2m201、當(dāng)2k時，I的方程為vk(X 2),直線過定點(diǎn)(2,0)，與已知矛盾;2、當(dāng)m2琴時，I的方程為y2直線過定點(diǎn)- ,0 7所以,直線I過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為14 分)只(0八 2), F2(o, 2)，設(shè) P(Xo, yo)(xo 0, yo 0)(X0，2yo),ujur- uuun則 PF ( x,、2 Vo),PF2ujur UULUooPF1 PF2 x (2 y2) 1Q點(diǎn)P(xo,y)

15、在曲線上，則2Xo22Xo42從而寧(2 y2) 1，得yod ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1/. 2)(2)由(1)知PFi / x軸，直線PA、PB斜率互為相反數(shù),設(shè)PB斜率為k(k 0)，則PB的直線方程為：y . 2k(x 1)y .2 k(x 由 x2y21241)得(2 k2)x22k(、2k)2設(shè) B(xB, yB ),則 xB2k(k 、2)2 k22.2k 2k2同理可得Xak222k2 k2XaW2kXb rv所以：AB的斜率kABYaYbXa Xb例6、解：(1)由 2 3 丄| OF | | FP | sin2得tan4 3.t-分4 t 4 31 tan3k(xA 1) k(xB1)Ya Yb分,得 |OF | |FP|8k2 k2x 2為定值4 3 丄OF FP tsin，由 cossin|OF | |FP |4 30,夾角的取值范圍是()6(2)設(shè)P(Xo，Yo),則FP(Xo c,y),OF(GO).umrOFS OFPuurFP (Xo c, yo) (c,0) (Xo c)c1 uuur-|OF| |yo| 2,32t G，31)c2UUD p|OP|2y。(3c)2 (