坐標(biāo)變換的原理和實(shí)現(xiàn)方法

1、由第二講的內(nèi)容可知，在三相靜止坐標(biāo)系中，異步電動(dòng)機(jī)數(shù)學(xué)模型是一個(gè)多輸入、多輸出、 非線性、強(qiáng)耦合的控制對(duì)象， 為了實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)矩和磁鏈之間的解耦控制， 以提高調(diào)速系統(tǒng)的動(dòng)靜 態(tài)性能，必須對(duì)異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行坐標(biāo)變換。3.1 變換矩陣的確定原則坐標(biāo)變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以用矩陣方程表示為y=ax （3-1）式（3-1）表示利用矩陣a將一組變量x變換為另一組變量 y,其中系數(shù)矩陣a稱為變換矩 陣，例如，設(shè)x是交流電機(jī)三相軸系上的電流，經(jīng)過矩陣a的變換得到y(tǒng)，可以認(rèn)為y是另一軸系上的電流。這時(shí)，a稱為電流變換矩陣， 類似的還有電壓變換矩陣、阻抗變換矩陣等，進(jìn)行坐標(biāo)變換的原則如下：（1）確定電流變換矩時(shí)，

2、應(yīng)遵守變換前后所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)等效的原則；（2）為了矩陣運(yùn)算的簡(jiǎn)單、方便，要求電流變換矩陣應(yīng)為正交矩陣；（3）確定電壓變換矩陣和阻抗變換矩陣時(shí)，應(yīng)遵守變換前后電機(jī)功率不變的原則，即變換前后功率不變。假設(shè)電流坐標(biāo)變換方程為：i=ci ' （3-2）式中,i為新變量,i稱為原變量,c為電流變換矩陣。電壓坐標(biāo)變換方程為：u' =bu （3-3）式中,u為新變量,u為原變量,b為電壓變換矩陣。根據(jù)功率不變?cè)瓌t，可以證明：式中，Ct為矩陣c的轉(zhuǎn)置矩陣。以上表明，當(dāng)按照功率不變約束條件進(jìn)行變換時(shí)，若已知電流變換矩陣就可以確定電壓變換矩陣。3.2定子繞組軸系的變換(a-b-c < =

3、> a-3)簡(jiǎn)稱3/2變換或2/3變所謂相變換就是三相軸系到二相軸系或二相軸系到三相軸系的變換, 換。三相軸系和二相軸系之間的關(guān)系如圖3-1所示，為了方便起見，令三相的a軸與兩相的a軸重合。假設(shè)磁勢(shì)波形是按正弦分布，或只計(jì)其基波分量，當(dāng)二者的旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)完全等效時(shí)，a、3軸的投影合成磁勢(shì)沿相同軸向的分量必定相等，即三相繞組和二相組繞的瞬時(shí)磁勢(shì)沿 應(yīng)該相等，即:(3-5 )式中，n3、n2分別為三相電機(jī)和兩相電機(jī)每相定子繞組的有效匝數(shù)。經(jīng)計(jì)算并整理之后可得:(3-7 )圖3-1三相定子繞組和二相定子繞組中磁勢(shì)的空間矢量位置關(guān)系用矩陣表示為:2(3-8 )如果規(guī)定三相電流為原電流i,兩相電流為新

4、電流i ',根據(jù)電流變換的定義式3-2），式（3-8）具有i ' =C的形式，為了通過求逆得到c就要引進(jìn)另一個(gè)獨(dú)立于is a口 is的新變量，記這個(gè)新變量為io，稱之為零序電流，并定義為:叫（3-9 ） 式中，k為待定系數(shù)。補(bǔ)充io后，式（3-8 ）變?yōu)?10迢21212打iK KJC(3-10 )則:12苗2聲-12-tq1 orJ1-（3-11 ）將c-1求逆，得到：1 1102K11C= - 3眄亍旅1一璽1L 22其轉(zhuǎn)置矩陣為:2 _3=丄玄21 一歡根據(jù)確定變換矩陣的第三條原則即要求C-仁Ct，可得壘.2 M3聲，代入相應(yīng)的變換矩陣式中，得到各變換矩陣如下:二相一三相

5、的變換矩陣:1-2 1-2刃輕34S3 s S coioc C(3-14 )三相一二相的變換矩陣:12J3_T_LL2啟亍 1對(duì)于三相y形不帶零線的接線方式有，ia + i b + i c = 0則，i c = ia i b,由式（3-8 ）而二相一三相的變換可以簡(jiǎn)化為:1一 2751圖3-2表示按式（3-16 ）構(gòu)成的三相一二相（3/2 ）變換器模型結(jié)構(gòu)圖。圖 3-2 3/2 變換模型結(jié)構(gòu)圖3/2 變換、 2/3 變換在系統(tǒng)中的符號(hào)表示如圖 3-3 所示。圖 3-3 3/2 變換和 2/3 變換在系統(tǒng)中的符號(hào)表示如前所述， 根據(jù)變換前后功率不變的約束原則， 電流變換矩陣也就是電壓變換矩陣，

6、還可以 證明，它們也是磁鏈的變換矩陣。3.3 轉(zhuǎn)子繞組軸系變換()圖3-4(a)是一個(gè)對(duì)稱的異步電動(dòng)機(jī)三相轉(zhuǎn)子繞組。圖中3 si為轉(zhuǎn)差角頻率。在轉(zhuǎn)子對(duì)稱多相繞相中，通入對(duì)稱多相交流正弦電流時(shí)，生成合成的轉(zhuǎn)子磁勢(shì) fr ，由電機(jī)學(xué)可知，轉(zhuǎn)子磁 勢(shì)與定子磁勢(shì)具有相同的轉(zhuǎn)速、轉(zhuǎn)向。圖 3-4 轉(zhuǎn)子三相軸系到兩相軸系的變換根據(jù)旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)等效原則及功率不變約束條件， 同定子繞組一樣， 可把轉(zhuǎn)子三相軸系變換到兩 相軸系。具體做法是，把等效的兩相電機(jī)的兩相轉(zhuǎn)子繞組d、q 相序和三相電機(jī)的三相轉(zhuǎn)子繞組a、b、c相序取為一致，且使 d軸與a軸重合，如圖3-4(b)所示。然后，直接使用定 子三相軸系到兩相軸系的變換

7、矩陣 (參見式 3-15 )。3.4 旋轉(zhuǎn)變換在兩相靜止坐標(biāo)系上的兩相交流繞組a和B和在同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的兩個(gè)直流繞組m和t之間的變換屬于矢量旋轉(zhuǎn)變換。它是一種靜止的直角坐標(biāo)系與旋轉(zhuǎn)的直角坐標(biāo)系之間的變 換。這種變換同樣遵守確定變換矩陣的三條原則。轉(zhuǎn)子d、q兩相旋轉(zhuǎn)軸系，根據(jù)確定變換矩陣的三條原則，也可以把它變換到靜止的a- 3軸系上，這種變換也屬于矢量旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換。定子軸系的旋轉(zhuǎn)變換is代替它，這時(shí)定在圖3-5中，fs是異步電動(dòng)機(jī)定子磁勢(shì)，為空間矢量。通常以定子電流子電流被定義為空間矢量，記為is。圖中m、t是任意同步旋轉(zhuǎn)軸系，旋轉(zhuǎn)角速度為同步角速度3 s<m軸與is之間的夾角用 Bs

8、表示。由于兩相繞組 a和B在空間上的位置是固定的， 因而m軸和a軸的夾角甲是隨時(shí)間變化的，即似二切1 +幾，其中卩為任意的初始角。 在矢量控制系統(tǒng)中，通常稱為磁場(chǎng)定向角。以m軸為基準(zhǔn)，把is分解為與m軸重合和正交的兩個(gè)分量 ism和ist，分別稱為定子電流的勵(lì)磁分量和轉(zhuǎn)矩分量。由于磁場(chǎng)定向角 P是隨時(shí)間變化的，因而is在a軸和B軸上的分量is 和 is也是隨時(shí)間變化的。由圖3-5可以看出，is a、和iismB和ist之間存在著下列關(guān)系:5;日血化土皿呼.寫成矩陣形式為:式中,Eg甲 _引曾為同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系到靜止坐標(biāo)系的變換矩陣。一旨皿申,1 II盹即一(3-18 )變換矩陣c是正交矩陣即ct

9、=c-1,因此，由靜止坐標(biāo)系變換到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的矢量旋轉(zhuǎn)變換方程式為簡(jiǎn)寫:式中,為靜止坐標(biāo)系到同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣。電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換矩陣與電流的旋轉(zhuǎn)變換矩陣相同。圖3-6矢量旋轉(zhuǎn)變換器模型結(jié)構(gòu)圖由圖3-6可知，矢量旋轉(zhuǎn)變換器由四個(gè)乘法器和兩個(gè)加法器及一個(gè)反號(hào)器組成，在系統(tǒng)中 用符號(hào)vr，vr-1表示，如圖3-7所示。在德文中，矢量旋轉(zhuǎn)變換器叫做矢量回轉(zhuǎn)器用符號(hào)vd表示。圖3-7矢量旋轉(zhuǎn)變換器在系統(tǒng)中的符號(hào)表示轉(zhuǎn)子軸系的旋轉(zhuǎn)變換轉(zhuǎn)子d-q軸系以國(guó)廠5|角速度旋轉(zhuǎn)，根據(jù)確定變換矩陣的三條原則，可以把它變換到靜 止不動(dòng)的a- B軸系上，如圖3-8所示。圖3-8轉(zhuǎn)子兩相旋轉(zhuǎn)軸系到靜止軸系的變

10、換轉(zhuǎn)子三相旋轉(zhuǎn)繞組(a-b-c )經(jīng)三相到二相變換得到轉(zhuǎn)子兩相旋轉(zhuǎn)繞組(d-q)。假設(shè)兩相靜止繞組a r、B除不旋轉(zhuǎn)之外，與d、q繞組完全相同。根據(jù)磁場(chǎng)等效的原則，轉(zhuǎn)子磁勢(shì)fr沿a軸和B軸給出的分量等式，再除以每相有效匝數(shù)，可得：寫成矩陣形式3-20 )如果規(guī)定ird、irq為原電流， ir a、為新電流，則式中:(3-21 )c-1的逆矩陣為：若存在零序電流，由于零序電流不形成旋轉(zhuǎn)磁場(chǎng)，只需在主對(duì)角線上增加數(shù)1，使矩陣增加一列一行即可E畠一51X10TC-0.00i需要指出的是，由于轉(zhuǎn)子磁勢(shì)fr和定子磁勢(shì)fs同步，可使 a r、供ra s、B同軸。但是,實(shí)際上轉(zhuǎn)子繞組與 a、B軸系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)

11、，所以 ar繞組和Br繞組只能看作是偽靜止繞組。需要明確的是，在進(jìn)行這個(gè)變換的前后，轉(zhuǎn)子電流的頻率是不同的。變換之前，轉(zhuǎn)子電流rd、irq的頻率是轉(zhuǎn)差頻率，而變換之后，轉(zhuǎn)子電流ir a、啲頻率是定子頻率?？勺C明如下:(3-23 )利用三角公式，并考慮到0 r= 3則有:j' -, - siii i =f smP= I sirxu tY十-ifr r*rrT»* l X -Jr Jrflr(3-24 )從轉(zhuǎn)子三相旋轉(zhuǎn)軸系到兩相靜止軸系也可以直接進(jìn)行變換。轉(zhuǎn)子三相旋轉(zhuǎn)軸系a-b-c到靜止軸系a- B- o的變換矩陣可由式（3-15 ）及式（3-21 ）相乘得到:3館R 松殲丄我CH&対32JTT+* l 旋(3-25 )求c-1的逆，得到32-n.R4 -c是一個(gè)正交矩陣，當(dāng)電機(jī)為三相電機(jī)時(shí)，可直接使用式（3-25 ）給出的變換矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)子三相旋轉(zhuǎn)軸系（a-b-c ）到兩相靜止軸系（a- B）的變換，而不必從（a-b-c ）到（d-q-o ）, 再?gòu)模╠-q-o ）到（久-俟o）那樣分兩步進(jìn)行變換。3.5直角坐標(biāo)一極坐標(biāo)變換（k/p ）在矢量控制系統(tǒng)中常用直角坐標(biāo)一極坐標(biāo)的變換，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間的關(guān)系是:is之間的夾角。由于Bs取值不同時(shí)，血?jiǎng)?的變化范圍為0a,這個(gè)變化幅度太大，難以實(shí)施應(yīng)用，因6 =昌2 =yr因?yàn)椋篽l此常改用下列方式表示