圓冪定理——老師用

1、切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理以及與圓有關(guān)的比例線段學(xué)習(xí)目標1. 切線長概念切線長是在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數(shù)量的特征，而 “切線”是一條直線，它不可以度 量長度。2. 切線長定理對于切線長定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等； （2） 若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑； （3）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條 切線，連結(jié)兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點引圓的兩條切線，切 線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點 向圓引的兩條切線所夾的角

2、。3. 弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角直線ABB。O于P，PC PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4. 弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。5. 弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。6. 遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長定理7.與圓有關(guān)的比例線段定理圖形已知結(jié)論證法相交弦O O中，AB CD為弦，PA- PB二連結(jié) AC、BD,證：定理交于P.PC- PD. AP3A DPB.相交弦O O中，AB為直徑，PC= PA- PB.用相交弦定理.定理的CDLAB于 P.推論切割線O O中，PT切O O于T，PA-

3、PB連結(jié)TA、TB，證：定理割線PB交OO于A PTBA PAT切割線PB PD為OO的兩條割PA- PB= PC-PD過P作PT切OO于T，定理推線，交OO于A、C用兩次切割線定理論圓幕疋O O中，割線 PB交 O OP'C - P'D = r2 延長P'O交OO于M理于A，CD為弦OP'2延長OP'交O O于N,PA- P吐OP r2用相交弦定理證；過P r為。O的半徑 作切線用切割線定理 勾股定理證8.圓幕定理：過一定點P向。O作任一直線，交OO于兩點，則自定點P到兩交點的| （R為圓半徑），因為兩條線段之積為常數(shù)I叫做點對于OO的幕，所以將上述定

4、理統(tǒng)稱 為圓幕定理?！镜湫屠}】例1.如圖1,正方形ABCD勺邊長為1,以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓 0,過A作半 圓切線，切點為F,交CD于E,求DE AE的值。圖1解：由切線長定理知：AF= A吐1, EF= CE 設(shè)CE為x,在Rt ADE中，由勾股定理例2. O O中的兩條弦 AB與CD相交于E,若AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,那么CE=cm圖2解：由相交弦定理，得AE BE= CE- DE/ AE= 6cm, BE= 2cm, CD= 7cm,即二 CE= 3cm或 CE= 4cm。故應(yīng)填3或 4。點撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍 例3.

5、已知 PA 是圓的切線，PCB是圓的解：vZ P=Z P/ PAC= Z B, PA3A PBA 0又 PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得即，故應(yīng)填PC點撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論例4.如圖3，P是。O外一點，PC切于點C, PAB是O0的割線，交于A、B兩 點，如果PA PB= 1: 4，PO 12cm O0的半徑為10cm則圓心O到AB的距離是cm圖3解：t PC是 O O的切線，PAB是O O的割線，且PA P吐1: 4 P吐 4PA又 PO 12cm由切割線定理，得p吐 4X 6= 24 (cm) 二AB= 24 6= 18 (cm) 設(shè)圓心0

6、到AB距離為d cm, 由勾股定理，得故應(yīng)填例5.如圖4, AB為。O的直徑，過B點作。O的切線BC OC交O O于點E, AE的延長線交BC于點D, (1)求證：;(2)若A吐BC= 2厘米，求CE CD的長。,即要證 CEEA CBE點悟：要證證明：（1）連結(jié)BE(2)又厘米。點撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。例6.如圖5，AB為O0的直徑，弦CD/ AB, AE切OO于A,交CD的延長線于E求證：證明：連結(jié)BD AE切O 0于 A,/ EAB / ABD AE1AB,又 AB/ CD AE1 CD AB為。0的直徑/ ADB= 90°/ E=

7、Z ADB= 90° AD0A BADV CD/ ABi AD= BC例7.如圖 6, PA PC切 OO于 A C, PDB為割線。求證：AD- BO CD- AB,顯然點悟：由結(jié)論ADBO CD- AB得 要證 PADA PBA和 PCSA PBC證明：t PA切O O于A,/ PAD= / PBA又/ APB / BPA PADA PBA同理可證 PCDA PBC PA PC分別切OO于A、C P心 PC AD- BO DC- AB例8.如圖7,在直角三角形ABC中，/ A= 90°，以AB邊為直徑作。O,交斜邊BC于 點D,過D點作OO的切線交AC于 E。圖7求證：

8、BO 2OE點悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證。丘是厶ABC的中位線。而OA OB只須證AE= CE 證明：連結(jié)0D ACL AB, AB為直徑 AC為O0的切線，又DE切OO于D E心 ED ODL DE94 0D / B=Z 0DB在 Rt ABC中 , / C= 90° -Z B / 0D昌 90° Z C= Z EDC ED= EC AE= EC。丘是厶ABC的中位線 BO 20E例9.如圖8,在正方形 ABCD中，A吐1,以點B為圓心，AB長為半徑的圓的一段弧。點 E是邊AD上的任意一點（點E與點所在圓的切線，交邊DCD不重合），過E作 于點F，G為切點。當/ DEP 4

9、5°時，求證點G為線段EF的中點;圖8解：由/ DEQ 45°，得/ DFE= / DEF DE= DF又 AD= DC AE= FC因為AB是圓B的半徑，ADLAB,所以AD切圓B于點A;同理，CD切圓B于點G又因為EF切圓B于點G 所以AE= EG FC= FG因此EdFQ即點G為線段EF的中點?！灸M試題】(答題時間：40分鐘)、選擇題1.已知：PA PB切OO于點A、B,連結(jié)AB,若A吐8,弦AB的弦心距3,貝U P心 ()B.A.C. 5D. 82.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.梯形3.已知：如圖1直線MN與。0相切于C,AB為直徑

10、，/ CAB= 40°，則/ MCA勺度數(shù)()圖1A.50°B. 40°D. 55 °4. 圓內(nèi)兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1: 為（）A. 8cmB. 10cm C. 12cmD. 16cm5. 在厶ABC中，D是BC邊上的點，ADC. 60°4,則另一弦長,BDDE長等于（）=3cm DC= 4cm如果E是AD的延長線與 ABC的外接圓的交點，那么A.B.C.D.6. PT 切。O于T, CT為直徑，D為0C上一點，直線PD交。O于B和A, B在線段 PD上，若 CD= 2, AD= 3, BD= 4,貝U PB等于

11、（）A. 20B. 10C. 5D.二、填空題7. AB CD是O 0切線，AB/ CD EF是OO的切線，它和 AB CD分別交于E、F,則/ EOF= o8. 已知：O O和不在OO上的一點P,過P的直線交O 0于A、B兩點，若PA- P吐24, O吐5,則O O的半徑長為o9. 若PA為O O的切線，A為切點，PBC割線交OO于B、C,若 BC= 20 ,，貝y PC的長為。10. 正厶ABC內(nèi)接于。O, M N分別為AB AC中點，延長 MN交。0于點D,連結(jié)BD交AC于 P,則三、解答題11. 如圖2, ABC中, AO2cm 周長為8cm F、K、“是厶ABC與內(nèi)切圓的切點，DE 切O 0于點M且DE/ AC,求DE的長。圖212. 如圖3,已知P為O0的直徑AB延長線上一點，PC切OO于C, CDL AB于D,求 證：CB平分/ DCP13. 如圖4,已知AD為O0的直徑，AB是。0的切線，過B的割線BMN交 AD的延長 線于C,且BW MN NC若AB 徑。【試題答案】、選擇題1. A 2. C 3. A 4. B 5. B 6. A二、填空題7. 908. 19. 3010.三、解答題：DE= 1cm11. 由切線長定理得 BDE周長為4,由厶BD0A BAC12. 證明：連結(jié)AC,貝U AC丄CBv CDL AB AC