動態(tài)幾何教學(xué)與動態(tài)幾何實驗環(huán)境的設(shè)計

1、動態(tài)幾何教學(xué)與動態(tài)幾何實驗環(huán)境的設(shè)計* 本文發(fā)表於第二屆全國學(xué)科教學(xué)改革試驗研究經(jīng)驗交流會 杭州 2002/10澳門培道中學(xué) 副校長 韋輝樑2002/09前言長期以來幾何學(xué)研究的圖形都是靜態(tài)的，數(shù)學(xué)也被視為純理論的科學(xué)，與理、生、化等自然科學(xué)不同，在基礎(chǔ)教育中數(shù)學(xué)也從沒有實驗課。作者在30多年教學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，經(jīng)過10年對動態(tài)幾何和幾何實驗環(huán)境的研究和實踐，運用資訊技術(shù)開發(fā)了適合於初中平面幾何實驗教學(xué)的平臺Plane Geometrics Laboratory PG_Lab(平面實驗室)。在國際、國內(nèi)或地區(qū)性的研討會上作者發(fā)表過多篇關(guān)於數(shù)學(xué)實驗教學(xué)和數(shù)學(xué)實驗環(huán)境的論文，受到了與會專家、學(xué)者的認(rèn)

2、同與贊嘗。 最近，在2002年國際數(shù)學(xué)家大會”衛(wèi)星會議 -21世紀(jì)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革國際學(xué)術(shù)研討會上獲得了20分鐘發(fā)言機會；最近在吉隆坡舉行的APICTA(亞太I(xiàn)CT年獎)活動中也獲得了特別提名大獎。本文旨在介紹動態(tài)幾何的概念、數(shù)學(xué)實驗環(huán)境設(shè)計的指導(dǎo)思想和數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的意義，最後以一些例子介紹PG_Lab的部分功能和動態(tài)幾何教學(xué)的過程。一. 從圖形的性質(zhì)談起 _ 動態(tài)幾何教學(xué)幾何學(xué)研究的對象是: 圖形及其之間的關(guān)係。幾何教科書上常用性質(zhì)一詞，例如等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等等。何謂圖形的性質(zhì)? 1. 圖形的定義² 圖形通常是劃分為類別的，幾何學(xué)中研究的圖形

3、通常是指某一圖形類別而不是弧立圖形。例如等腰三角形，這裡，等腰三角形是一種類別，而不是一個特定的弧立的三角形。² 圖形類別是由圖形定義來劃分的，例如，有兩邊相等的三角形是等腰三角形，由此定義了等腰三角形這種圖形類別。因此，在幾何學(xué)中，定義是圖形研究的起點。² 圖形類別的定義是從眾多同類圖形中經(jīng)歸納抽象得來的。是從眾多同類圖形中考察它們的共同特徵，選出其中一種特徵作為這類圖形的定義。例如，畫出眾多等腰三角形，考察後經(jīng)歸納而發(fā)現(xiàn)，這類三角形有一些特徵，例如:有兩邊相等、底角相等、兩腰上的中線相等、兩腰上的高相等、是一個軸對稱圖形，選出其中有兩邊相等這一特徵作為等腰三角形的定義:

4、有兩邊相等的三角形稱為等腰三角形?？疾旃餐蒯缇褪沁@種歸納抽象的過程，即定義的來龍去脈。圖形的定義不是人腦的產(chǎn)物，而由是歸納得來，忽略了這一點，就有從定義出發(fā)，從理論到理論之嫌。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)就常犯這種毛病。2. 圖形的性質(zhì)在幾何學(xué)中，圖形的性質(zhì)是指同類圖形所具有的共同特徵。例如，等腰三角形兩底角相等是等腰三角形的性質(zhì)之一。如上所述，圖形的性質(zhì)是由考察後經(jīng)歸納而發(fā)現(xiàn)的，因此學(xué)習(xí)和研究圖形性質(zhì)的方法是:² 作出同一類別的眾多圖形；² 考察這些圖形的共同特徵；² 發(fā)現(xiàn)圖形的某項性質(zhì)，以數(shù)學(xué)語言表達(dá)；² 由於作圖的有限性和不精確性，對此發(fā)現(xiàn)尋求邏輯證明。

5、8; 應(yīng)用於解決問題。作圖 觀察(思考、分析) 發(fā)現(xiàn)(猜想) 證明 應(yīng)用，是學(xué)習(xí)和研究幾何圖形性質(zhì)的基本方法和道路。粉筆、黑板式的傳統(tǒng)教學(xué)，難以作出眾多的同類圖形，通常只能作出一、兩個圖形，缺乏眾多便難以考察他們的共性，更無從發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，習(xí)慣性的一兩個圖形容易產(chǎn)生圖形定勢，例如等腰三角形總是畫成正立的，學(xué)生對斜的等腰三角形難以接受和理解。缺少了前三個學(xué)習(xí)步驟，證明成了無源之水，無本之木，學(xué)生總有從何而來的疑問。不明白從何而來的結(jié)果只能是死記，不利於幾何的學(xué)習(xí)。人們常說眼見為實，眼見為實反映了人腦的思維方式和接受新事物的方式，不經(jīng)過親自觀察發(fā)現(xiàn)或經(jīng)驗過的知識總有多少疑和抗拒，這是人腦的特性。

6、只有達(dá)到相當(dāng)理性的腦袋才能接受看不到的也會是真，只要你能證明。但是初中學(xué)生的腦袋只有少數(shù)人能有這樣的理性水平。 3. 動態(tài)幾何教學(xué)真正能作出眾多的同類圖形，無論在時間或空間上都有很大的困難，在40分鐘的課堂時空限制下幾乎不可能實現(xiàn)。一個可行的辦法是利用動態(tài)圖形，動態(tài)幾何圖形是這樣的圖形：(1) 它可以隨時被操控，可以很方便地改變其形狀、大小、方位等等，這樣的動態(tài)圖形可以代表了眾多；(2) 在圖形動態(tài)變化過程中其幾何性質(zhì)不變，這樣的動態(tài)圖形可以代表了同類。將幾何圖形或幾何問題置於一個動態(tài)環(huán)境下，從動的觀點、以動的方法進(jìn)行動態(tài)考察，讓學(xué)生親自動手、動腦，主動獲取知識，這樣的教學(xué)方法，稱之為動態(tài)幾何

7、教學(xué)，動態(tài)幾何教學(xué)是一種幾何教與學(xué)的全新的方法或模式。二.幾何實驗環(huán)境和幾何實驗教學(xué)1. 幾何實驗環(huán)境作者在數(shù)學(xué)實驗環(huán)境的設(shè)計*數(shù)學(xué)實驗環(huán)境的設(shè)計 韋輝樑 粵港澳信息技術(shù)教育研討會 (2001/4 香港)一文中提出數(shù)學(xué)實驗環(huán)境應(yīng)該具備如下一些要素:² 數(shù)學(xué)實驗環(huán)境應(yīng)能清晰地表達(dá)所研究的數(shù)學(xué)問題, 這種表達(dá)要符合數(shù)學(xué)的有關(guān)約定。² 數(shù)學(xué)實驗環(huán)境應(yīng)能迅速地提供大量有關(guān)數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的正例, 以幫助學(xué)生形成概念和掌握規(guī)則。² 數(shù)學(xué)實驗環(huán)境對所研究的數(shù)學(xué)元素應(yīng)能進(jìn)行動態(tài)操控和動態(tài)測量, 具有實時反饋或同步互動的功能。² 數(shù)學(xué)實驗環(huán)境允許在實驗過程中隨時添加某些可

8、操控的數(shù)學(xué)元素, 以幫助解決問題的探究。² 數(shù)學(xué)實驗強調(diào)要由學(xué)生直接操作，而不是眼看手勿動只能觀看的。本人創(chuàng)作的PG_Lab就是這樣的一個幾何實驗環(huán)境。2. 動態(tài)幾何實驗教學(xué)動態(tài)幾何實驗教學(xué)是在一特定的動態(tài)幾何實驗環(huán)境下進(jìn)行的教學(xué)，在動態(tài)幾何實驗的環(huán)境中，學(xué)生可以方便地作出要學(xué)習(xí)的幾何圖形，這些圖形可以隨時被操控，在動態(tài)變化的過程中，圖形的幾何性質(zhì)保持不變，這時圖形的性質(zhì)就表現(xiàn)為圖形在動態(tài)變化過程中的不變性。通過在動態(tài)過程中進(jìn)行觀察和思考，集中注意力於發(fā)現(xiàn)圖形的不變性，從而探究和發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。3. 動態(tài)幾何教學(xué)的意義² 動態(tài)幾何教學(xué)是一種全新的教學(xué)模式，幾何實驗教學(xué)大大改

9、變了傳統(tǒng)的幾何教學(xué)模式，對於傳統(tǒng)的教學(xué)模式是一種創(chuàng)新。² 動態(tài)幾何教學(xué)使幾何學(xué)習(xí)更符合幾何科學(xué)研究的規(guī)律, 有利於解決學(xué)生從何而來的疑問和無從著手的困難, 促進(jìn)從知識的學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向方法的學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)變。² 動態(tài)幾何教學(xué)是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的真實體現(xiàn)，真正體現(xiàn)教師主導(dǎo)、學(xué)生主動的教學(xué)理念，有利於提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)思能力。* 數(shù)學(xué)實驗的教學(xué)環(huán)境和學(xué)習(xí)方法 韋輝樑 第四屆全球華人計算機教育應(yīng)用大會(2000/04, 新加坡)² 動態(tài)幾何教學(xué)為數(shù)學(xué)課程改革、數(shù)學(xué)教材改革注入了新的素材。* 幾何實驗教學(xué)和數(shù)學(xué)課程改革 韋輝樑 國際數(shù)學(xué)家大會2002

10、, 重慶衛(wèi)星會議 2002/08, 重慶)三. 數(shù)學(xué)實驗環(huán)境的設(shè)計1. 數(shù)學(xué)實驗環(huán)境設(shè)計的原則² 理論性原則建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論是數(shù)學(xué)實驗環(huán)境設(shè)計的理論基礎(chǔ)，探究式、發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)法是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的基本方法，教師主導(dǎo)、學(xué)生主動是基本的教學(xué)理念。² 實用性原則配合教材，涵蓋教材內(nèi)容，符號、名詞、述語貼近教科書，功能夠用而不過多，實用就可以了。正如作力學(xué)實驗時不必將電學(xué)實驗的設(shè)備擺出來一樣，一個包羅萬有的萬用實驗系統(tǒng)未必有利，根據(jù)不同的數(shù)學(xué)問題作成小系統(tǒng)，對於電腦技術(shù)掌握不多的中小學(xué)教師和學(xué)生更為適合，過於追求功能的完美和強大，勢必使系統(tǒng)複雜，學(xué)習(xí)費時，最終可能會使學(xué)生或教師卻步。&#

11、178; 先進(jìn)性原則數(shù)學(xué)實驗環(huán)境的設(shè)計，在原理上，要以先進(jìn)的教育理論為指導(dǎo)，在技術(shù)上，要吸收國內(nèi)外已有數(shù)學(xué)軟件的優(yōu)點，考慮技術(shù)進(jìn)步的因素，結(jié)合本地教學(xué)的實際和資深教師的經(jīng)驗，使設(shè)計的數(shù)學(xué)實驗環(huán)境達(dá)到先進(jìn)。² 興趣性原則數(shù)學(xué)實驗環(huán)境的主要用戶是學(xué)生，數(shù)學(xué)實驗環(huán)境要能引發(fā)學(xué)生的興趣，要配合教材，考慮學(xué)生的年齡特徵和學(xué)習(xí)水平，適當(dāng)?shù)爻浇滩?，使學(xué)習(xí)變得有趣味，有利於學(xué)生變被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向主動學(xué)習(xí)。² 易學(xué)易用原則實驗環(huán)境的設(shè)計必須考慮易學(xué)易用的原則我們不能要求一般學(xué)生和一般教師有很高的技術(shù)水平，數(shù)學(xué)實驗系統(tǒng)必須要有友好的用戶界面和面向用戶的操作說明以及足夠的示例。實驗過程採用一人一機

12、，強調(diào)學(xué)生親自動手操作。以作者經(jīng)驗，無論對教師或?qū)W生操作學(xué)習(xí)不要超過5小時，否則實驗教學(xué)難以推廣。2. 為輔助教師教與輔助學(xué)生學(xué)的實驗平臺現(xiàn)有的一些幾何實驗平臺，多是以幫助教師教為設(shè)計的目標(biāo)，這樣的平臺，以向?qū)W生演示為主，圖形的製作、操控、實驗結(jié)論等均由教師課前準(zhǔn)備好，學(xué)生是眼看手勿動只能觀看的。數(shù)學(xué)實驗教學(xué)強調(diào)學(xué)生親自動手操作，通過觀察、分析、思考、歸納而獲得猜想。所以，為幫助學(xué)生學(xué)而設(shè)計的數(shù)學(xué)實驗平臺，以學(xué)生一人一機自己操控為學(xué)習(xí)環(huán)境，實驗結(jié)論由學(xué)生自己獲取。資訊技術(shù)的發(fā)明和發(fā)展本來是以代替人腦為目標(biāo)，但是資訊技術(shù)用於教學(xué)上要以訓(xùn)練人腦為目標(biāo)，切忌以電腦代替人腦，教育界的人士對此要有十分清

13、醒的認(rèn)識。以幫助教師教為設(shè)計目標(biāo)與以幫助學(xué)生學(xué)為設(shè)計目標(biāo)的數(shù)學(xué)實驗平臺可以作如下簡單的比較:以幫助教師教為設(shè)計目標(biāo)的實驗平臺以幫助學(xué)生學(xué)為設(shè)計目標(biāo)的實驗平臺功能力求功能強大，越多越好，能集中數(shù)學(xué)各科內(nèi)容最好。夠用即可，分科(函數(shù)、平幾、立幾、解幾等)作成小平臺。學(xué)習(xí)與培訓(xùn)教師需要相當(dāng)時間進(jìn)行培訓(xùn)和學(xué)習(xí)。簡單易學(xué)，不需太多學(xué)習(xí)時間，1-2小時即可入門。實驗/演示前的準(zhǔn)備通常要事前製作，而製作時間可能比教師寫備課筆記還長得多。多數(shù)可即興演示，也可事前製作。教學(xué)模式以演示為主，目的是幫助教師講解得更清楚。課堂上主要還是由教師講解。完全由學(xué)生操作，在操作過程中進(jìn)行探究式和發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)。課堂上主要由生操作

14、，教師很少說話，只是作個別指導(dǎo)。作者創(chuàng)作的Plane Geometric Laboratory - PG_Lab，平面實驗室就是一個以幫助學(xué)生學(xué)為設(shè)計目標(biāo)的幾何實驗環(huán)境。四. 動態(tài)幾何教學(xué)舉例例1. 已知: 如圖，AE=DE，AEDE，ABBC，DCBC，原命題: 求證: AB+DC=BC。新命題: 探究: AB、DC與BC的大小關(guān)係。(傳統(tǒng)教學(xué)採原命題，幾何實驗教學(xué)採新命題)作圖步驟:(1) 用工具作正方形ABCD；(2) 連結(jié)對角線AC；(3) 隱藏DA、CD，取消D點名稱，隱藏D點，改點B為E，改點C為D；(4) 過E作直線EK，(5) 用工具，過A作ABEK，過D作DCEK；(6) 用

15、工具，將ABE和ECD填色。觀察與分析(1) 稍為移動A點，目測觀察ABE和ECD，猜想到ABE _ ECD(2) AE=ED，AEDE (已知)(3) BEA _CDE (同角CED的餘角)(4) RtABE_RtECD ( _ )(5) AB_EC，DC_BE(6) BC = AB+DC² 原命題到此已完成，教學(xué)也到此為止。但用動態(tài)幾何的方法進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，還可以繼續(xù)進(jìn)行:實驗設(shè)計(1) 移動A點可分別得如下圖形。分析與發(fā)現(xiàn)(1) 當(dāng)A、D在EK同側(cè)時，BC等於AB、DC之_；(和)(2) 當(dāng)A、D在EK異側(cè)時，BC等於AB、DC之_；(差)後記(1) 按已知條件，原題只給出一種

16、圖形，結(jié)論只有一個: AB、CD之和等於BC；(2) 在PG_Lab上用動態(tài)幾何的方法進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)原題可以有多種圖形，它們可分為兩類，一類圖形的結(jié)論是: AB、CD之和等於BC；而另一類圖形的結(jié)論是: AB、CD之差等於BC。(3) 將題目由原命題改為新命題，是一種開放式命題，實為探究式和發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法。新命題沒有結(jié)論性語句，結(jié)論由學(xué)生進(jìn)行探究後發(fā)現(xiàn)。有利於培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會研究問題的方法，提高解決問題的能力，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。但是如果沒有幾何實驗平臺的支持，這種命題方式只有增加教學(xué)的難度，學(xué)生更感無從著手，教學(xué)效果因拔苗助長而走向反面。(4) 學(xué)生由探究中發(fā)現(xiàn)了新結(jié)果，比原命題的學(xué)習(xí)更

17、為活潑生動、印象深刻、有趣樂學(xué)，而且比原命題學(xué)得更多和更好。有利於提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力。例2. 等腰三角形的性質(zhì)傳統(tǒng)教科書關(guān)於等腰三角形有3條性質(zhì)定理，3條判定定理，需時4課時。在動態(tài)幾何實驗環(huán)境中學(xué)習(xí)的過程可以如下:實驗步驟1. 作任意ABC；2. 作AD為ABC的高；3. 作AE為ABC 頂角A的平分線；4. 作AF為ABC底邊BC上的中線；5. 測量AB和AC的長度；觀察與發(fā)現(xiàn)1. 移動A點向中間靠攏，發(fā)現(xiàn): 高、角平分線與中線(三線)也_ (靠攏)_；2. 移動A點，當(dāng)測量值A(chǔ)B=AC時，這時圖形有 (三線重合) 。猜想:如果ABC是等腰三角形。則ABC (三線重合) 。換句話

18、說:換句話說:² 如果ABC是等腰三角形，則 (底邊上的高平分頂角) (高與頂角平分線重合)。² 如果ABC是等腰三角形，則 (底邊上的高平分底邊) (高與中線重合)。² 如果ABC是等腰三角形，則 (頂角平分線平分底邊) (角平分線與中線重合)。3. 移動A點，當(dāng)三線重疊時停止，這時測量值有 (AB = AC) ；猜想:如果三線重合，則ABC是 (等腰三角形) 。換句話說:² 如果ABC底邊上的高平分頂角(高與頂角平分線重合)，則ABC是(等腰三角形) 。 ² 如果ABC底邊上的高平分底邊(高與中線重合)，則ABC是 (等腰三角形) 。² 如果ABC頂角平分線平分底邊(角平分線與中線重合)，則ABC是(等腰三角形) 。後記1. 在實驗教學(xué)下，由學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)關(guān)於等腰三角形的3條性質(zhì)定理和3條判定定理(猜想)。而在傳統(tǒng)教學(xué)下，學(xué)生是靠背誦和記憶的。2. 學(xué)習(xí)效率的提高使教師有時間引導(dǎo)學(xué)生在自己探究和發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)6個定理。使學(xué)