周期信號(hào)的合成和分解實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、 武漢大學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告電子信息學(xué)院 通信工程 專業(yè) 2017 年 9 月 14 日 實(shí)驗(yàn)名稱 周期信號(hào)的合成與分解 指導(dǎo)教師 姓名 年級(jí) 學(xué)號(hào) 成績 一、 預(yù)習(xí)部分1. 實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 實(shí)驗(yàn)基本原理3. 主要儀器設(shè)備（含必要的元器件、工具）一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1在理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過實(shí)驗(yàn)深刻領(lǐng)會(huì)周期信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)分解的物理意義。 2理解實(shí)際應(yīng)用中通常采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來逼近無限項(xiàng)級(jí)數(shù)，此時(shí)方均誤差隨項(xiàng)數(shù)的增加而減小。 3觀察并初步了解 Gibbs 現(xiàn)象。 4深入理解周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)，比較不同周期信號(hào)頻譜的差異。 二、實(shí)驗(yàn)基本原理 滿足 Dirichlet 條件的周期信號(hào) f(t)可以分解成三角函數(shù)形式

2、的傅里葉級(jí)數(shù)，表達(dá)式為： 式中n為正整數(shù)；角頻率1由周期T1決定：。該式表明：任何滿足Dirichlet 條件的周期信號(hào)都可以分解成直流分量及許多正弦、余弦分量。這些正弦、余弦分量的頻率必定是基頻的整數(shù)倍。通常把頻率為的分量稱為基波，頻率為n的分量成為n次諧波。周期信號(hào)的頻譜只會(huì)出現(xiàn)在0，1,21，n1，等離散的頻率點(diǎn)上，這種頻譜稱為離散譜，是周期信號(hào)頻譜的主要特點(diǎn)。f(t)波形變化越劇烈，所包含的高頻分量的比重就越大；變化越平緩，所包含的低頻分量的比重就越大。 一般來說，將周期信號(hào)分解得到的三角函數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)是無限的。也就是說，通常只有無窮項(xiàng)的傅里葉級(jí)數(shù)才能與原函數(shù)精確相等。但在

3、實(shí)際應(yīng)用中，顯然無法取至無窮多項(xiàng)，而只能采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)來逼近無窮項(xiàng)級(jí)數(shù)。而且，所取項(xiàng)數(shù)越多，有限項(xiàng)級(jí)數(shù)就越逼近原函數(shù)，原函數(shù)與有限項(xiàng)級(jí)數(shù)間的方均誤差就越小，而且低次諧波分量的系數(shù)不會(huì)因?yàn)樗№?xiàng)數(shù)的增加而變化。當(dāng)選取的傅里葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，所合成的波形的峰起就越靠近 f(t)的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)所取得項(xiàng)數(shù) N 很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，約等于總跳變值的 9%，這種現(xiàn)象稱為 Gibbs 現(xiàn)象。 三、需要掌握的 MATLAB 函數(shù) 結(jié)果的顯示會(huì)用到 plot 和 pause 函數(shù)，請(qǐng)參考 MATLAB 幫助。 二、 實(shí)驗(yàn)操作部分1. 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、表格及數(shù)據(jù)處理2. 實(shí)驗(yàn)操作過程（可用圖表示）3. 實(shí)

4、驗(yàn)結(jié)論四、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 1.周期對(duì)稱方波信號(hào)的合成圖示方波既是一個(gè)奇對(duì)稱信號(hào)，又是一個(gè)奇諧信號(hào)。根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系可知，它可以用無窮個(gè)奇次諧波分量的傅里葉級(jí)數(shù)來表示: 選取奇對(duì)稱周期方波的周期T=0.02s，幅度 E=6，請(qǐng)采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)替代無限項(xiàng)級(jí)數(shù)來逼近該函數(shù)。分別取前 1、10、50 和 200 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)來近似，編寫程序并把結(jié)果顯示在一幅圖中，觀察它們逼近方波的過程。 MATLAB 程序如下： %奇對(duì)稱方波合成t=0:0.00001:0.1;sishu=12/pi;y=sishu*sin(100*pi*t);subplot(221)plot(t,y);axis(0,0.05

5、,-4,4);xlabel('time');ylabel('前1 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');y=0;for i=1:10y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(222);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前10項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');y=0;for i=1:50y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(223);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,

6、4);xlabel('time');ylabel('前50項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');y=0;for i=1:200y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(224);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前200 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');顯示結(jié)果如圖4-2所示：圖 4-2 奇對(duì)稱方波信號(hào)的合成2.觀察Gibbs現(xiàn)象分別取前 5、7、10和 20項(xiàng)有限級(jí)數(shù)來逼近奇對(duì)稱方波，觀察 Gibbs 現(xiàn)象。MATLAB程序如下：%觀察Gi

7、bbs現(xiàn)象t=0:0.00001:0.1;y=0;for i=1:5y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(221);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前5項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');g=(max(y)-3)/6;legend(sprintf('Gibbs:%f',g);y=0;for i=1:7y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(222);plot(t,y);ax

8、is(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前7項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');g=(max(y)-3)/6;legend(sprintf('Gibbs:%f',g);y=0;for i=1:10y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(223);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前10項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');g=(max(y)-3)/6;legend(sprintf('

9、Gibbs:%f',g);y=0;for i=1:20y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(224);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前20項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');g=(max(y)-3)/6;legend(sprintf('Gibbs:%f',g);顯示結(jié)果如圖4-3所示：圖4-3 Gibbs現(xiàn)象3.周期對(duì)稱三角信號(hào)的合成設(shè)計(jì)采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)逼近偶對(duì)稱周期三角信號(hào)的實(shí)驗(yàn)，編制程序并顯示結(jié)果。4周期信號(hào)的頻譜

10、0;分析奇對(duì)稱方波信號(hào)與偶對(duì)稱三角信號(hào)的頻譜，編制程序并顯示結(jié)果，深入 討論周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)和兩信號(hào)頻譜的差異。  五、實(shí)驗(yàn)要求 1. 輸入實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1中提供的奇對(duì)稱方波信號(hào)合成的MATLAB程序，生成M文件，編譯并運(yùn)行，觀察合成結(jié)果。  2. 輸入實(shí)驗(yàn)內(nèi)容2中提供的有限項(xiàng)級(jí)數(shù)逼近方波信號(hào)的MATLAB程序生成M文件，編譯并運(yùn)行，觀察Gibbs現(xiàn)象。  3. 自行編制完整的MATLAB程序，完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容3中偶對(duì)稱三角信號(hào)的合成。在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中給出程序和顯示結(jié)果。  該信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)表示為: 選取

11、偶對(duì)稱周期三角信號(hào)T=0.02s，幅度E=6，采用有限項(xiàng)級(jí)數(shù)替代無限項(xiàng)級(jí)數(shù)來逼近該函數(shù)。分別取前1、5、10和100項(xiàng)有限級(jí)數(shù)來近似。 MATLAB程序如下： %偶對(duì)稱周期三角波 t=0:0.001:0.1;sishu=24/pi2;y=3+sishu*cos(100*pi*t);subplot(221)plot(t,y);axis(0,0.05,-1,7);xlabel('time');ylabel('前1 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');y=0;for i=1:5y=y+sishu*(sin(i*pi/2)2*cos(i*100*pi*t)/i

12、2;endy=y+3;subplot(222);plot(t,y);axis(0,0.05,-1,7);xlabel('time');ylabel('前5項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');y=0;for i=1:10y=y+sishu*(sin(i*pi/2)2*cos(i*100*pi*t)/i2;endy=y+3;subplot(223);plot(t,y);axis(0,0.05,-1,7);xlabel('time');ylabel('前10項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');y=0;for i=1:100y=y+sishu*(sin(i*pi/2)2*cos

13、(i*100*pi*t)/i2;endy=y+3;subplot(224);plot(t,y);axis(0,0.05,-1,7);xlabel('time');ylabel('前100 項(xiàng)有限級(jí)數(shù)');顯示結(jié)果如圖4-4所示：圖4-4 偶對(duì)稱三角波信號(hào)的合成4. 自行編制完整的MATLAB程序，完成實(shí)驗(yàn)內(nèi)容4中奇對(duì)稱方波信號(hào)和偶對(duì)稱三角波信號(hào)的頻譜分析。在實(shí)驗(yàn)報(bào)告中給出程序和顯示結(jié)果，討論周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)和兩信號(hào)頻譜的差異。 為了把奇對(duì)稱方波信號(hào)和偶對(duì)稱三角波信號(hào)的頻譜做一個(gè)對(duì)比，修改圖4-2中t的步長，MATLAB程序如下：t=0:0.001:0.1;y=

14、0;for i=1:100y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(224);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);subplot(211);plot(t,y);xlabel('time');ylabel('奇對(duì)稱周期方波信號(hào)');N=100;X=fft(y,N);f=1/0.1*(-N/2:(N/2-1);subplot(212);stem(f,abs(fftshift(X);xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('magnitude

15、')結(jié)果顯示如圖4-5所示：圖4-5 奇對(duì)稱方波信號(hào)及其頻譜圖%接圖4-4程序：subplot(211);plot(t,y);xlabel('time');ylabel('偶對(duì)稱周期三角波信號(hào)');N=100;X=fft(y,N);f=1/0.1*(-N/2:(N/2-1);subplot(212);stem(f,abs(fftshift(X);xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('magnitude');顯示結(jié)果如圖4-6所示：圖 4-6 偶對(duì)稱三角波信號(hào)及其頻譜圖三、 實(shí)驗(yàn)效果分析（包括儀器設(shè)

16、備等使用效果）六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析1.由圖4-2和4-4可觀察發(fā)現(xiàn)，采用傅里葉有限項(xiàng)級(jí)數(shù)替代無限項(xiàng)級(jí)數(shù)來逼近這兩種函數(shù)時(shí)，隨著有限級(jí)數(shù)的增加，所得到的波形越來越接近原函數(shù)波形。2.圖4-3展現(xiàn)了Gibbs現(xiàn)象，即當(dāng)選取的傅里葉有限級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)越多，所合成的波形的峰起就越靠近 f(t)的不連續(xù)點(diǎn)。當(dāng)所取得項(xiàng)數(shù) N 很大時(shí)，該峰起值趨于一個(gè)常數(shù)，約等于總跳變值的 9%。3.由圖4-5和圖4-6，可總結(jié)出周期信號(hào)的頻譜具有如下特點(diǎn)： (1)離散性。周期信號(hào)的頻譜是由不連續(xù)的譜線組成，每條譜線代表一個(gè)諧波分量。 (2)諧波性。頻譜中每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上。 (3)收斂性。各頻率分量的譜線高度表示各次諧波分量的幅值或相位角。 兩信號(hào)頻譜的差異: 由以上周期性方波和三角波信號(hào)的頻譜分析可知，周期性三角波信號(hào)的各次諧波幅值衰減比周期性方波的頻譜衰減快得多，這說明三角波的頻率結(jié)構(gòu)中低頻成分較多，而方波的高頻成分比較多。4.誤差分析：1）圖形曲線不連續(xù)是因?yàn)閙atlab中作圖時(shí)是取的有限的點(diǎn)，無法做到連續(xù)連線，故畫出的圖形曲線會(huì)出現(xiàn)間斷或轉(zhuǎn)折等情況。 2）所作出的圖形不是完全標(biāo)準(zhǔn)的方波或三角波是因?yàn)槲覀兪怯糜邢揄?xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)去逼近的，無法到達(dá)用無窮項(xiàng)去逼近作圖的效果。七、思考題 1. 利用有限項(xiàng)的指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)重復(fù)奇對(duì)稱方