周期信號的合成和分解實驗報告

1、 武漢大學(xué)教學(xué)實驗報告電子信息學(xué)院 通信工程 專業(yè) 2017 年 9 月 14 日 實驗名稱 周期信號的合成與分解 指導(dǎo)教師 姓名 年級 學(xué)號 成績 一、 預(yù)習(xí)部分1. 實驗?zāi)康?. 實驗基本原理3. 主要儀器設(shè)備（含必要的元器件、工具）一、實驗?zāi)康?1在理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，通過實驗深刻領(lǐng)會周期信號傅里葉級數(shù)分解的物理意義。 2理解實際應(yīng)用中通常采用有限項級數(shù)來逼近無限項級數(shù)，此時方均誤差隨項數(shù)的增加而減小。 3觀察并初步了解 Gibbs 現(xiàn)象。 4深入理解周期信號的頻譜特點，比較不同周期信號頻譜的差異。 二、實驗基本原理 滿足 Dirichlet 條件的周期信號 f(t)可以分解成三角函數(shù)形式

2、的傅里葉級數(shù)，表達式為： 式中n為正整數(shù)；角頻率1由周期T1決定：。該式表明：任何滿足Dirichlet 條件的周期信號都可以分解成直流分量及許多正弦、余弦分量。這些正弦、余弦分量的頻率必定是基頻的整數(shù)倍。通常把頻率為的分量稱為基波，頻率為n的分量成為n次諧波。周期信號的頻譜只會出現(xiàn)在0，1,21，n1，等離散的頻率點上，這種頻譜稱為離散譜，是周期信號頻譜的主要特點。f(t)波形變化越劇烈，所包含的高頻分量的比重就越大；變化越平緩，所包含的低頻分量的比重就越大。 一般來說，將周期信號分解得到的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的項數(shù)是無限的。也就是說，通常只有無窮項的傅里葉級數(shù)才能與原函數(shù)精確相等。但在

3、實際應(yīng)用中，顯然無法取至無窮多項，而只能采用有限項級數(shù)來逼近無窮項級數(shù)。而且，所取項數(shù)越多，有限項級數(shù)就越逼近原函數(shù)，原函數(shù)與有限項級數(shù)間的方均誤差就越小，而且低次諧波分量的系數(shù)不會因為所取項數(shù)的增加而變化。當(dāng)選取的傅里葉有限級數(shù)的項數(shù)越多，所合成的波形的峰起就越靠近 f(t)的不連續(xù)點。當(dāng)所取得項數(shù) N 很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，約等于總跳變值的 9%，這種現(xiàn)象稱為 Gibbs 現(xiàn)象。 三、需要掌握的 MATLAB 函數(shù) 結(jié)果的顯示會用到 plot 和 pause 函數(shù)，請參考 MATLAB 幫助。 二、 實驗操作部分1. 實驗數(shù)據(jù)、表格及數(shù)據(jù)處理2. 實驗操作過程（可用圖表示）3. 實

4、驗結(jié)論四、實驗內(nèi)容 1.周期對稱方波信號的合成圖示方波既是一個奇對稱信號，又是一個奇諧信號。根據(jù)函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系可知，它可以用無窮個奇次諧波分量的傅里葉級數(shù)來表示: 選取奇對稱周期方波的周期T=0.02s，幅度 E=6，請采用有限項級數(shù)替代無限項級數(shù)來逼近該函數(shù)。分別取前 1、10、50 和 200 項有限級數(shù)來近似，編寫程序并把結(jié)果顯示在一幅圖中，觀察它們逼近方波的過程。 MATLAB 程序如下： %奇對稱方波合成t=0:0.00001:0.1;sishu=12/pi;y=sishu*sin(100*pi*t);subplot(221)plot(t,y);axis(0,0.05

5、,-4,4);xlabel('time');ylabel('前1 項有限級數(shù)');y=0;for i=1:10y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(222);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前10項有限級數(shù)');y=0;for i=1:50y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(223);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,

6、4);xlabel('time');ylabel('前50項有限級數(shù)');y=0;for i=1:200y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(224);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前200 項有限級數(shù)');顯示結(jié)果如圖4-2所示：圖 4-2 奇對稱方波信號的合成2.觀察Gibbs現(xiàn)象分別取前 5、7、10和 20項有限級數(shù)來逼近奇對稱方波，觀察 Gibbs 現(xiàn)象。MATLAB程序如下：%觀察Gi

7、bbs現(xiàn)象t=0:0.00001:0.1;y=0;for i=1:5y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(221);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前5項有限級數(shù)');g=(max(y)-3)/6;legend(sprintf('Gibbs:%f',g);y=0;for i=1:7y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(222);plot(t,y);ax

8、is(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前7項有限級數(shù)');g=(max(y)-3)/6;legend(sprintf('Gibbs:%f',g);y=0;for i=1:10y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(223);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前10項有限級數(shù)');g=(max(y)-3)/6;legend(sprintf('

9、Gibbs:%f',g);y=0;for i=1:20y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(224);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);xlabel('time');ylabel('前20項有限級數(shù)');g=(max(y)-3)/6;legend(sprintf('Gibbs:%f',g);顯示結(jié)果如圖4-3所示：圖4-3 Gibbs現(xiàn)象3.周期對稱三角信號的合成設(shè)計采用有限項級數(shù)逼近偶對稱周期三角信號的實驗，編制程序并顯示結(jié)果。4周期信號的頻譜

10、0;分析奇對稱方波信號與偶對稱三角信號的頻譜，編制程序并顯示結(jié)果，深入 討論周期信號的頻譜特點和兩信號頻譜的差異。  五、實驗要求 1. 輸入實驗內(nèi)容1中提供的奇對稱方波信號合成的MATLAB程序，生成M文件，編譯并運行，觀察合成結(jié)果。  2. 輸入實驗內(nèi)容2中提供的有限項級數(shù)逼近方波信號的MATLAB程序生成M文件，編譯并運行，觀察Gibbs現(xiàn)象。  3. 自行編制完整的MATLAB程序，完成實驗內(nèi)容3中偶對稱三角信號的合成。在實驗報告中給出程序和顯示結(jié)果。  該信號的傅里葉級數(shù)表示為: 選取

11、偶對稱周期三角信號T=0.02s，幅度E=6，采用有限項級數(shù)替代無限項級數(shù)來逼近該函數(shù)。分別取前1、5、10和100項有限級數(shù)來近似。 MATLAB程序如下： %偶對稱周期三角波 t=0:0.001:0.1;sishu=24/pi2;y=3+sishu*cos(100*pi*t);subplot(221)plot(t,y);axis(0,0.05,-1,7);xlabel('time');ylabel('前1 項有限級數(shù)');y=0;for i=1:5y=y+sishu*(sin(i*pi/2)2*cos(i*100*pi*t)/i

12、2;endy=y+3;subplot(222);plot(t,y);axis(0,0.05,-1,7);xlabel('time');ylabel('前5項有限級數(shù)');y=0;for i=1:10y=y+sishu*(sin(i*pi/2)2*cos(i*100*pi*t)/i2;endy=y+3;subplot(223);plot(t,y);axis(0,0.05,-1,7);xlabel('time');ylabel('前10項有限級數(shù)');y=0;for i=1:100y=y+sishu*(sin(i*pi/2)2*cos

13、(i*100*pi*t)/i2;endy=y+3;subplot(224);plot(t,y);axis(0,0.05,-1,7);xlabel('time');ylabel('前100 項有限級數(shù)');顯示結(jié)果如圖4-4所示：圖4-4 偶對稱三角波信號的合成4. 自行編制完整的MATLAB程序，完成實驗內(nèi)容4中奇對稱方波信號和偶對稱三角波信號的頻譜分析。在實驗報告中給出程序和顯示結(jié)果，討論周期信號的頻譜特點和兩信號頻譜的差異。 為了把奇對稱方波信號和偶對稱三角波信號的頻譜做一個對比，修改圖4-2中t的步長，MATLAB程序如下：t=0:0.001:0.1;y=

14、0;for i=1:100y=y+sishu*(sin(2*i-1)*100*pi*t)/(2*i-1);endsubplot(224);plot(t,y);axis(0,0.05,-4,4);subplot(211);plot(t,y);xlabel('time');ylabel('奇對稱周期方波信號');N=100;X=fft(y,N);f=1/0.1*(-N/2:(N/2-1);subplot(212);stem(f,abs(fftshift(X);xlabel('Frequency(Hz)'); ylabel('magnitude

15、')結(jié)果顯示如圖4-5所示：圖4-5 奇對稱方波信號及其頻譜圖%接圖4-4程序：subplot(211);plot(t,y);xlabel('time');ylabel('偶對稱周期三角波信號');N=100;X=fft(y,N);f=1/0.1*(-N/2:(N/2-1);subplot(212);stem(f,abs(fftshift(X);xlabel('Frequency(Hz)');ylabel('magnitude');顯示結(jié)果如圖4-6所示：圖 4-6 偶對稱三角波信號及其頻譜圖三、 實驗效果分析（包括儀器設(shè)

16、備等使用效果）六、實驗結(jié)果分析1.由圖4-2和4-4可觀察發(fā)現(xiàn)，采用傅里葉有限項級數(shù)替代無限項級數(shù)來逼近這兩種函數(shù)時，隨著有限級數(shù)的增加，所得到的波形越來越接近原函數(shù)波形。2.圖4-3展現(xiàn)了Gibbs現(xiàn)象，即當(dāng)選取的傅里葉有限級數(shù)的項數(shù)越多，所合成的波形的峰起就越靠近 f(t)的不連續(xù)點。當(dāng)所取得項數(shù) N 很大時，該峰起值趨于一個常數(shù)，約等于總跳變值的 9%。3.由圖4-5和圖4-6，可總結(jié)出周期信號的頻譜具有如下特點： (1)離散性。周期信號的頻譜是由不連續(xù)的譜線組成，每條譜線代表一個諧波分量。 (2)諧波性。頻譜中每條譜線只出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍上。 (3)收斂性。各頻率分量的譜線高度表示各次諧波分量的幅值或相位角。 兩信號頻譜的差異: 由以上周期性方波和三角波信號的頻譜分析可知，周期性三角波信號的各次諧波幅值衰減比周期性方波的頻譜衰減快得多，這說明三角波的頻率結(jié)構(gòu)中低頻成分較多，而方波的高頻成分比較多。4.誤差分析：1）圖形曲線不連續(xù)是因為matlab中作圖時是取的有限的點，無法做到連續(xù)連線，故畫出的圖形曲線會出現(xiàn)間斷或轉(zhuǎn)折等情況。 2）所作出的圖形不是完全標(biāo)準的方波或三角波是因為我們是用有限項傅里葉級數(shù)去逼近的，無法到達用無窮項去逼近作圖的效果。七、思考題 1. 利用有限項的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)重復(fù)奇對稱方