極坐標(biāo)與參數(shù)方程知識點(diǎn)總結(jié)大全學(xué)生版_第1頁
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1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識點(diǎn)總結(jié)大全一、平而直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換?爭y,PPx,yx對應(yīng)到點(diǎn)設(shè)點(diǎn)在變換:的作用下,是平面直角坐標(biāo)系中的任意點(diǎn),點(diǎn) 9為平面直角坐標(biāo)系中的,簡稱稱.二、極坐標(biāo)系的概念引 條射線,叫做 ;叫做,自 如圖所示,再在平面內(nèi)取個定點(diǎn),選定一個 單位,一個 單位(通常取弧度)及其正方向(通常取 時針方向),這樣就建立了 i個極坐標(biāo)系.注:極坐標(biāo)系以角這-平面圖形為幾何背景,而平而宜角坐標(biāo)系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背 景;平面貫角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)能建立對應(yīng)的關(guān)系,而極坐標(biāo)系則不可.但極坐標(biāo)系和平面 直角坐標(biāo)系都是平面坐標(biāo)系.(2)極坐標(biāo)O POm| I MMM記為;以為始

2、邊叫做點(diǎn),設(shè),是平面內(nèi)點(diǎn)的極點(diǎn)與點(diǎn)為終的距離MM記作邊的角,記為.的有序數(shù)對.叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)的.pZQ G我們認(rèn)為可取任意實(shí)數(shù).,不作特殊說明時-般地,???M R?0,.和直角坐標(biāo)不同,平血內(nèi)個點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種農(nóng)示.時特別地,當(dāng)點(diǎn)在,它的極坐標(biāo)為3昭 9=0)平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯的極坐標(biāo),如果規(guī)定,那么除外農(nóng)示;同時,極坐標(biāo)農(nóng)示的點(diǎn)也是唯-確定的.3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化x軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取和同的長度單位,:(!)互化背景把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)如圖所示:(eM 3Q p>Q M(),:于是極坐標(biāo)與直角坐設(shè)是坐標(biāo)平面內(nèi)任意點(diǎn),極坐標(biāo)是它的直角坐標(biāo)是(2)互化公式標(biāo)的

3、 互化公式如衣:6 (監(jiān)刃M點(diǎn)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)互化公式tan 5 M所在的象限最小正角確定角時,可根據(jù)點(diǎn)在般情況下,由4常見曲線的極坐標(biāo)方程曲線圖形極坐標(biāo)方程圓心在極點(diǎn),半徑為的圓 r半徑為的圓圓心為,r(1) a過極點(diǎn),傾斜角為的直線(2)O (a,0) X(詢y)0與極軸垂直的直線過點(diǎn),1礙)與極軸平行的直線過點(diǎn),理仇 參數(shù)方程和普通方程的互化(D曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程 得到普通方程.t例如,把它代入普通方程,中的個與參數(shù)的關(guān)系,(2)求出另個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系如果知道變數(shù)y=g&)匚y必須使的取值范圍保持致.(-必丹礎(chǔ)(-龍-加

4、“!即都衣示同點(diǎn)的坐由于平聞上點(diǎn)的極坐標(biāo)的農(nóng)示形式不唯,注:標(biāo),這與點(diǎn)的直角坐標(biāo)的唯性明顯不同所以對于曲線上的點(diǎn)的極坐標(biāo)的多種衣示形式,只要求至少有個能滿足(靂如或(靂-呵或(-晉)收靂)可以衣示為等極坐標(biāo)方程即可點(diǎn)例如對于極坐標(biāo)方程p=°的極坐標(biāo)滿足方程.只有多種形式,其中,三、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念£ t并且對于的每個允許值,都是某個變數(shù)的函數(shù)般地,在平而色角坐標(biāo)系中,,如果曲線上任 意點(diǎn)的坐標(biāo)刃都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程所確定的點(diǎn),聯(lián)系變數(shù)由方程組石y i的變數(shù)叫做,簡稱相對于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做就是曲線的參數(shù)方程,

5、在參數(shù)方程與普通方程的互化中,那么注:普通方程化為參數(shù)方程,參數(shù) 方程的形式不定唯應(yīng)用參數(shù)方程解軌跡問題,關(guān)鍵在于適當(dāng)?shù)卦O(shè)參數(shù),如果選用的參數(shù)不 同,那么所求得的曲線的參數(shù)方程的形式也不同。3.圓的參數(shù)碣)MQ;刃O O M上作勻速圓周運(yùn)動,設(shè),從初始位置出發(fā),按逆時針方向在圓的半徑為如圖所示,設(shè)圓,點(diǎn)r.則G O .的幾何意義是,半徑為的圓的參數(shù)方程,其中這就是圓心在原點(diǎn)轉(zhuǎn)過的角度卩 a-好 心-琢=*的圓的普通方程是圓 心為,半徑為,它的參數(shù)方程為:r 4橢圓的參數(shù)方程為其參數(shù)準(zhǔn)方程方程焦點(diǎn)在軸上的橢圓的標(biāo)以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心, 爐 軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是:焦點(diǎn)在,其中參數(shù)稱為為9 9 9,通

6、常規(guī)定參數(shù),其中參數(shù)W的范圉為仍為其參數(shù)方程為9 a,要把它和這點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角橢圓的參數(shù)方程中,參數(shù)注:區(qū)分開來,的幾何意義為橢圓上任"點(diǎn)的0 2x到除了在四個頂點(diǎn)處,離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外(即在的范用內(nèi)),在其他任何 00 滬 £ 點(diǎn),兩個角的數(shù)值都22時,相應(yīng)地也有,在其他象限內(nèi)類似。不相等。但當(dāng)5.雙曲線的參數(shù)方程=l(a>0>>01O x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心,焦點(diǎn)在事°3且事護(hù)亍“亍,其中其參數(shù)方程為軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是其參數(shù)方程為焦點(diǎn)在各一看=1(心叫嘰y注:6拋物線的參數(shù)方程以上參數(shù)都是雙曲線上任總點(diǎn)的Jp=2px(p>(i)以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn),開口向右的拋物線的參數(shù)方程為t的幾何意義是拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的注:參數(shù),經(jīng)過點(diǎn),傾斜角為,傾斜角為7.直線的參數(shù)方程的宜線的普通方程是Mq(坷J I a的直線而過的參數(shù)方程為 注:直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義:Ilia農(nóng)示直線的直線的參數(shù)方程為上以定點(diǎn),其中,傾斜角為過定點(diǎn) % M(y)為終點(diǎn)的

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