解圓錐曲線問題常用方法一

1、解圓錐曲線問題常用方法(一)【學(xué)習(xí)要點(diǎn)】解圓錐曲線問題常用以下方法：1、定義法(1) 橢圓有兩種定義。第一定義中，ri+2=2a。第二定義中，ri=edir2=ed2。(2) 雙曲線有兩種定義。第一定義中，r1r22a，當(dāng)ri>r2時(shí)，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，ri=edi,r2=ed2,尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。(3) 拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化 為一元二次方程

2、問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可 用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)A(Xi,yi),B(x2,y2),弦AB中點(diǎn)為M(xo,y。)，將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè) 而不求”法，具體有：2 2(1) 篤 每 i(a b 0)與直線相交于 A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(X0,yo),

3、則有 篤 t0k 0。 a2 b2a2 b22 2(2) 篤 i(a 0,b0)與直線l相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo)則有 篤 器k 0a ba b(3) y2=2 px( p>0)與直線 l 相交于 A、B 設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x0,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p.【典型例題】例1、(1)拋物線C:f=4x上一點(diǎn)P到點(diǎn)A(3,42)與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 當(dāng)A、P、F三點(diǎn)距離和最小。拋物線C:=4x上一點(diǎn)Q到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小 貝U點(diǎn)Q的坐標(biāo)為分析：(1) A在拋物線外，如圖，連 PF，則PH PF，因而易發(fā)現(xiàn),共線時(shí)，距

4、離和最小。(2) B在拋物線內(nèi)，如圖，作 QR丄I交于R,則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí), 解：(1) (2,2 )連PF,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，AP PH AP PF最小，此時(shí)AF的方程為y 4空2 °(x 1)即y=2 J2 (x-1),3 1代入y2=4x得P(2,2*2),(注：另一交點(diǎn)為(丄，2)，它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去)21(2) (,1)4過Q作QR丄I交于R,當(dāng)B Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，BQ QF| |BQ QR最小，此時(shí)Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1,代入y2=4x得1 1x=，Q( J)44點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。

5、2 2ypHAT0'r r :F丿xP為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)。例2、F是橢圓- y1的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),(1) PA PF的最小值為(2) PA 2PF的最小值為43分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑PF或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解：(1) 4- .5設(shè)另一焦點(diǎn)為F，貝U F (-1,0)連AF ,PFPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 V5當(dāng)P是FA的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PA PF取得最小值為4-J5。1(2)作出右準(zhǔn)線 I，作 PHX I 交于 H,因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1, e=,21 PF |

6、-|PH，即2 PFPH PA 2 PF PA PH當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為2aXac例3、動(dòng)圓M與圓C1：(x+1)2+y2=36內(nèi)切，與圓Q:(x-1)2+y2=4外切,求圓心M的軌跡方程。分析：作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“圖形特征”：兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線(如圖中的A、M、C共線，BD、M共線)。列式的主要途徑是動(dòng)圓的“半徑等于半徑”(如圖中的MC MD|)。解：如圖,MCMDy廠、C1 Mf</d. A0B 丿 5x AC MA點(diǎn) M點(diǎn)評(píng)：,.(1)2分析:MAMBMB的軌跡為橢圓,得到方程(*DB 即6 MA(*)2a=8,y2、(x 1)2y2MB 222xa

7、=4, c=1, b2=15軌跡方程為-162L 115應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出4，再移項(xiàng)，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣!3 ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 si nC-si nB=si nA,求點(diǎn) A 的軌跡方程。5sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R ( R為外接圓半徑)，可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。由于 si nA、sinB、3解: sinC-sinB=sinA53 BC52RsinC-2RsinB3 2RsinA5 AB即ABACAC(*)點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支(去掉頂點(diǎn))/ 2a=6, 2c=10 yo關(guān)于xo的函數(shù)

8、表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。-a=3,c=5,b=4所求軌跡方程為21(x>3)16點(diǎn)評(píng):要注意利用定義直接解題，這里由(*)式直接用定義說明了軌跡(雙曲線右支)定長為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M到x軸的最短距離。分析:(1)可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(xi,xi2), B(X2,対2),又設(shè)AB中點(diǎn)為M(xoyo)用弦長公式及中點(diǎn)公式得出(2) M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：設(shè) A(xi, xi2), B(x2, x22), AB 中點(diǎn) M(xo, yo)2 z 22.2. (X1X2)(X1X2

9、)9 X1X22X022X1X22y°則由得(X1-X2)21+(X1+X2)2=9即(X1+X2)2-4X1X2 1+(X1+X2)2=9由、得 2xix2=(2x0)2-2yo=4x02-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) 1+(2xo)2=9 4yo 4x：92，1 4X04yo 4xf94x(4xf1)94xo 1當(dāng)4xo2+仁3法二：如圖,15,即Xo2MM2yoAA3“MM 2,即MM 14，當(dāng)ab經(jīng)過焦點(diǎn)(y0) min-此時(shí)M (4bb2| |af|BFF時(shí)取得最小值。2 5、T,；)ABAyBA10Mr唁xA5 M到x軸的最短距離為 54點(diǎn)評(píng)：解法一是列

10、出方程組，利用整體消元思想消X1, X2,從而形成y°關(guān)于X0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到X軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊)的屬性， 簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過焦點(diǎn)F,而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。例6、已知橢圓x21(2 m 5)過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于A、B、C、D、設(shè) f(m)=|AB CD|, (1)求 f(m), (2)求 f(m)

11、的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對(duì)f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因A、B來源于“不同系統(tǒng)” ，A在準(zhǔn)線上，B在橢圓上，同樣2X解：(1)橢圓一m1 中，a2=m, b2=m-1 ,c?=1，左焦點(diǎn)F1(-1,0)則BC:y=x+1代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0C在橢圓上，D在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防f (m)(Xb Xa)V2 (Xd Xc)J2 J2|(Xb Xa) (Xd Xc)|J2|(xb Xc)此時(shí)問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設(shè) B

12、(X1,y1),C(X2,y2),則 X1 +X2=-2m2m 1(25)f (m) J AB CD|'2|(Xb Xa)(XdXc)2(X1 X2)(XaXc)2x1X22m、22m 1(2) f (m)22m2m1 1 -1 2(12m 1)當(dāng) m=5 時(shí),f (m)min10.29當(dāng) m=2 時(shí)，f (m) max點(diǎn)評(píng)：此題因最終需求Xb Xc，而BC斜率已知為1故可也用“點(diǎn)差法”設(shè)BC中點(diǎn)為M(xo,yo),通過將B、代入作差，得乞一km m 10 ,將 yo=xo+1, k=1 代入得一0m,可見 Xb Xc2m 1當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對(duì)f(m) ABCD的認(rèn)識(shí),通過線段在

13、 x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)f (m)Xb題的要點(diǎn)?！就骄毩?xí)】1已知:Fi， F2是雙曲線2x2a2Yy 1的左、右焦點(diǎn)，過b2Fi作直線交雙曲線左支于點(diǎn)A、B,若 AB的周長為(A、4aB、4a+mC、4a+2mD、4a-m2、若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線 x+5=0的距離小1,貝U P點(diǎn)的軌跡方程是A、y2=-16xB、y2=-32xC、y2=16xD、 y2=32x3、已知 ABC的三邊AB BCAC的長依次成等差數(shù)列，且ABAC，點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(-1, 0), (1,C坐標(biāo)2m2m 1是解此 ABF20),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是(A、x4y_31xB、4y31(x0)2222C

14、x4y31(x0)xD、4y31(x0且 y0)4、過原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為F(1,0),其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是(x2)2291)B (x1 229A、y-(x-)y-(x 1)242421 2921 29Cx(y1)4(x1)D、x(y-(x 1)45、已知雙曲線x22 y1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4，則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離是22229166、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是 7、 已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過定點(diǎn) p(-2 , 0)，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是8、過雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長為 9、 直線y=kx+1與雙曲線x

15、2-y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則k=2x10、設(shè)點(diǎn)P是橢圓521上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求 sin / F1PF的最大值。911、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線與此橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為（-2，1）， AB 4J3，求直線I的方程和橢圓方程。2 212、已知直線I和雙曲線 2弓 1（aa b0, b 0）及其漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為A、B、C、D。求證：AB CD。1、C參考答案AF2 AF1 2a, BF2 BF1 2a ,AF2 BF2 AB 4a, AF2 BF2 AB 4a 2m,選

16、C2、C 點(diǎn)P到F與到x+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線 p=8開口向右，則方程為 y2=16x，選C3、DAB AC 2 2，且 AB AC點(diǎn)A的軌跡為橢圓在 y軸右方的部分、又 A、B、C三點(diǎn)不共線，即yz 0，故選D。2 24、 A設(shè)中心為(x, y),則另一焦點(diǎn)為(2x-1, 2y),則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4得1(2X 1)(2y)1 9二(x -)2 y2 又 c<a,. .(x 1)2y22/ (x-1)2+y2<4 ，由，得 xz-1,選 A2 42999295 29295、左準(zhǔn)線為x=-, M到左準(zhǔn)線距離為d 4 ()則M到左焦點(diǎn)的距離為 ed3 555353116

17、、 x (y ) 設(shè)弦為 AB, A(x1, y1), B(x2, y2)AB 中點(diǎn)為(x, y),貝U y1=2x12, y2=2x22, y1-y2=2(x12-x22)22y1 y22(x1X2)1 1 2=2 - 2x, x將 x代入y=2x2 得 y1軌跡方程是x11 (y> )X1X22 22227、y2=x+2(x>2)設(shè) A(x1,y1), B(x2, y2), AB 中點(diǎn) M(x, y)，則2 2Y1 2x1, y2c22x2, y1y22(X1X2), y y (y1y2)2x1x2 kABkMPy0 .y 2y 2,即 y2=x+2x2x 2又弦中點(diǎn)在已知拋物

18、線內(nèi)P,即 y2<2x ,即 x+2<2x , x>22& 4ab24,c28,c2、2,令x 2 2代入方程得8-y2=4y2=4 ,y=± 2,弦長為49、2或 1 y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 / (1-k2)x2-2kx-2=0k20得 4k2+8(1-k2)=0, k=2 1-k2=0 得 k=± 1/ypA-1F1冃.丿x10、解：a2=25, b2=9, c2=16設(shè) F1、F2 為左、右焦點(diǎn)，貝UF1(-4, 0)F2(4, 0)、 設(shè) PRrPF?D,R J3?則1'2222s 、212 21 $ cos(2c) 2-得 212(1+cosB )=4b21,4b2 2b2- 1+cos 0 =一2r1 r2r1r2 r1+r22 . 2 ,門r2的最大值為a2