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1、技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德 函 數(shù) 初等函數(shù) 數(shù)列的極限 函數(shù)的極限 第一章第一章 函數(shù)與極限與連續(xù)函數(shù)與極限與連續(xù) 無窮小與無窮大 極限的運(yùn)算法則 無窮小階的比較 極限存在準(zhǔn)則 兩個重要極限 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)多元函數(shù)的極限與連續(xù) 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德多元連續(xù)二元函數(shù)二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的連續(xù)第四節(jié)第四節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)多元函數(shù)的極限與連續(xù) 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德1.實(shí)例分析實(shí)例分析 例例 1 1 設(shè)設(shè)矩矩形形的的邊邊長長分分別別 x和和 y,則則矩矩形形的的面面積積 S為為 xyS . 在在此此,當(dāng)當(dāng) x和和 y每每取取定定一一組組值值時時,就就有有一一確確定定的的面
2、面積積值值S即即S依依賴賴于于 x和和 y的的變變化化而而變變化化 例例 2 2 具具有有一一定定質(zhì)質(zhì)量量的的理理想想氣氣體體,其其體體積積為為 V,壓壓強(qiáng)強(qiáng)為為 P,熱熱力力學(xué)學(xué)溫溫度度 T 之之間間具具有有下下面面依依賴賴關(guān)關(guān)系系VRTP (R是是常常數(shù)數(shù)). 在在這這一一問問題題中中有有三三個個變變量量 P,V,T,當(dāng)當(dāng) V 和和 T 每每取取定定為為一一組組值值時時,按按照照上上面面的的關(guān)關(guān)系系,就就有有一一確確定定的的壓壓強(qiáng)強(qiáng) P 第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的極限及連續(xù)性多元函數(shù)的極限及連續(xù)性一、多元函數(shù)一、多元函數(shù)技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義 定義定義 1 1 (
3、二元函數(shù)二元函數(shù)) 設(shè)有三個變量設(shè)有三個變量 , x y和和 , z如果如果當(dāng)變量當(dāng)變量 , x y在它們的變化范圍在它們的變化范圍 D中任意取定一對值時,中任意取定一對值時,變量變量 z 按照一定的對應(yīng)規(guī)律都有惟一確定的值與它們按照一定的對應(yīng)規(guī)律都有惟一確定的值與它們對應(yīng),則稱對應(yīng),則稱 z為變量為變量 , x y的二元函數(shù),記為的二元函數(shù),記為),(yxfz ,其中其中 x與與 y稱為自變量,函數(shù)稱為自變量,函數(shù) z也叫因變量自變量也叫因變量自變量 x與與 y的變化范圍的變化范圍 D稱為函數(shù)稱為函數(shù) z的定義域的定義域 區(qū)域的概念:由一條或幾條光滑曲線所圍成的具有連區(qū)域的概念:由一條或幾條
4、光滑曲線所圍成的具有連通性通性(如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)均可用完全屬于此部如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點(diǎn)均可用完全屬于此部分平面的折線連結(jié)起來, 這樣的部分平面稱為具有連通性分平面的折線連結(jié)起來, 這樣的部分平面稱為具有連通性)的部分平面,這樣的部分平面稱為區(qū)域圍成區(qū)域的曲線的部分平面,這樣的部分平面稱為區(qū)域圍成區(qū)域的曲線稱為區(qū)域的邊界,邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn),包括邊界在內(nèi)稱為區(qū)域的邊界,邊界上的點(diǎn)稱為邊界點(diǎn),包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉域,不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域的區(qū)域稱為閉域,不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開域 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德如如果果一一個個區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)之之間間的的距距離離都
5、都不不超超過過某某一一常常數(shù)數(shù)M,則則稱稱D為為有有界界區(qū)區(qū)域域,否否則則稱稱 D為為無無界界區(qū)區(qū)域域 常常見見區(qū)區(qū)域域有有矩矩形形域域:dycbxa, 圓圓域域:).0()()(22020yyxx 圓圓域域22020)()( | ),(yyxxyx一一般般稱稱為為平平面面上上點(diǎn)點(diǎn)),(000yxP的的 鄰鄰域域, 而而稱稱不不包包含含點(diǎn)點(diǎn) 0P的的鄰鄰域域?yàn)闉闊o無心心鄰鄰域域 二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾條光滑二元函數(shù)的定義域通常是由平面上一條或幾條光滑曲線所圍成平面區(qū)域曲線所圍成平面區(qū)域 .二元函數(shù)定義域的求法與一元函二元函數(shù)定義域的求法與一元函數(shù)類似,就是找使函數(shù)有意義的自變量
6、的范圍,其定義數(shù)類似,就是找使函數(shù)有意義的自變量的范圍,其定義域的圖形一般由平面曲線圍成域的圖形一般由平面曲線圍成 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德例例 4 4 求求二二元元函函數(shù)數(shù)222yxaz的的定定義義域域 解解 由根式函數(shù)的定義容易知道,該函數(shù)的定義域由根式函數(shù)的定義容易知道,該函數(shù)的定義域?yàn)闈M足為滿足222ayx的的, yx即定義域?yàn)榧炊x域?yàn)?222| ),(ayxyxD. 這里這里D在在xOy面上表示一個以原點(diǎn)為圓心,面上表示一個以原點(diǎn)為圓心,a 為半為半徑的圓域它為有界閉區(qū)域(如下圖所示)徑的圓域它為有界閉區(qū)域(如下圖所示). O 2 2 2 a y x y x a a 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家
7、德例例 5 5 求求二二元元函函數(shù)數(shù))ln(yxz的的定定義義域域 解解 自變量自變量yx,所取的值必須滿足不等式所取的值必須滿足不等式0 yx, 即定義域?yàn)榧炊x域?yàn)?0| ),(yxyxD. 點(diǎn)集點(diǎn)集D在在xOy面上表示一個在直線上方的半平面面上表示一個在直線上方的半平面(不不包含邊界包含邊界0 yx),如下圖所示,此時如下圖所示,此時 D 為無界開區(qū)域?yàn)闊o界開區(qū)域 O y x 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德例例 6 6 求求二二元元函函數(shù)數(shù)1)9ln(2222yxyxz的的定定義義域域 解解 這這個個函函數(shù)數(shù)是是由由)9ln(22yx 和和122 yx兩兩部部分分構(gòu)構(gòu)成成,所所以以要要使使函函數(shù)數(shù)
8、 z有有意意義義,yx,必必須須同同時時滿滿足足 , 01, 092222yxyx 即即9122yx,函函數(shù)數(shù)定定義義域域?yàn)闉?.91 | ),(22yxyxD點(diǎn)點(diǎn)集集 D 在在xOy平平面面上上表表示示以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為圓圓 心心,半半徑徑為為 3 的的圓圓與與以以原原點(diǎn)點(diǎn)為為 圓圓心心的的單單位位圓圓所所圍圍成成的的圓圓環(huán)環(huán) 域域(包包含含邊邊界界曲曲線線內(nèi)內(nèi)圓圓122 yx, 但但不不包包含含邊邊界界曲曲線線外外圓圓922 yx) (如如右右圖圖所所示示) x O 1 3 y 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德2.二元函數(shù)的幾何表示二元函數(shù)的幾何表示 把把自自變變量量yx,及及因因變變量量 z 當(dāng)當(dāng)作作
9、空空間間點(diǎn)點(diǎn)的的直直角角坐坐標(biāo)標(biāo), 先先在在xOy平平面面內(nèi)內(nèi)作作出出函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域 D (如如下下圖圖),再再過過 D 域域中中的的任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yxM作作垂垂直直于于xOy平平面面的的有有向向線線段段MP, 使使P點(diǎn)點(diǎn)的的豎豎坐坐標(biāo)標(biāo)為為與與),(yx對對應(yīng)應(yīng)的的函函數(shù)數(shù)值值 z 當(dāng)當(dāng) M 點(diǎn)點(diǎn)在在D中中變變動動時時, 對對應(yīng)應(yīng)的的 P點(diǎn)點(diǎn)的的軌軌跡跡就就是是函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的幾幾何何圖圖形形,它它通通常常是是一一張張曲曲面面,而而其其定定義義域域 D就就是是此此曲曲面面在在 xOy平平面面上上的的投投影影 y x z O X Y M D P 技術(shù)數(shù)
10、學(xué)1-5王家德例例 7 7 作作二二元元函函數(shù)數(shù)yxz1的的圖圖形形 解解 二二元元函函數(shù)數(shù)yxz1的的圖圖形形是是空空間間一一平平面面,其其圖圖形形如如下下圖圖所所示示 x y z O z=1-x-y 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德例例 8 8 作作二二元元函函數(shù)數(shù)22yxz的的圖圖形形 解解 此此函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉閤Oy面面上上任任意意點(diǎn)點(diǎn)且且 0z,即即曲曲面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)都都在在xOy面面上上方方其其圖圖形形為為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)拋拋物物面面,如如下下圖圖所所示示 z 2 2 y x z x y O 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德例例 9 9 作二元函數(shù)作二元函數(shù)222yxRz)0(R的圖形的圖形 解解
11、此此二二元元函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉?22Ryx,即即 xOy坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上的的以以O(shè)為為圓圓心心,R為為半半徑徑的的圓圓,且且Rz 0其其圖圖形形為為上上半半圓圓周周,如如下下圖圖所所示示 y x z R R R O 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德 1. 二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限 定義定義 2 2 設(shè)二元函數(shù)設(shè)二元函數(shù)),(yxfz , 如果當(dāng)點(diǎn)如果當(dāng)點(diǎn) ),(yx以任以任意方式趨向點(diǎn)意方式趨向點(diǎn)),(00yx時,時,),(yxf總趨向于一個確定的常數(shù)總趨向于一個確定的常數(shù)A,那么就稱,那么就稱A是二元函數(shù)是二元函數(shù)),(yxf當(dāng)當(dāng) ),(yx ),(00yx時的時的極限,記為極限,記為 A
12、yxfyxyx),(lim),(),(00或或Ayxfyyxx),(lim00. 同同一一元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限一一樣樣, 二二元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限也也有有類類似似的的四四則則運(yùn)運(yùn)算算法法則則 二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性二、二元函數(shù)的極限與連續(xù)性技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德2 2. . 二二元元函函數(shù)數(shù)的的連連續(xù)續(xù)性性 定義定義 3 3 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義,如果有定義,如果 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx 則稱二元函數(shù)則稱二元函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(000yxP處連續(xù)如果處連續(xù)如果),(yxf在區(qū)域在區(qū)域 D
13、 內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱則稱),(yxf在區(qū)域在區(qū)域 D上連續(xù)上連續(xù) 若若令令yyyxxx00,,則則式式 ),(),(lim0000yxfyxfyyxx, 可可寫寫成成0),(),(lim000000yxfyyxxfyx. 即即 0lim00zyx. 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德這這里里z為為函函數(shù)數(shù)),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處的的全全增增量量,即即 ),(),(0000yxfyyxxfz. 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)0P),(00yx處不連續(xù), 則稱點(diǎn)處不連續(xù), 則稱點(diǎn)0P),(00yx為函數(shù)為函數(shù)),(yxf的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn) 同同一一元元函函數(shù)數(shù)一一樣樣, 二二元元連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的和和、 差差、 積積、 商商(分分母母不不等等于于零零)及及復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)仍仍是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù) 由由此此還還可可得得“多多元元初初等等函函數(shù)數(shù)在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)” 技術(shù)數(shù)學(xué)1-5王家德思思考考題題 1. 將將二二元元函函數(shù)數(shù)與與一一元元函函數(shù)數(shù)的的極極限限、連連續(xù)續(xù)概概念念相相比比較較,說說明明二二者者
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