第三十九講 平面及其方程

1、第三十九講 平面及其方程重點(diǎn)：求平面的方程難點(diǎn)：特殊平面的方程的求法平面和直線是空間最簡(jiǎn)單的幾何圖形。本節(jié)和下節(jié)將以向量為工具討論平面與直線的方程。一、平面的點(diǎn)法式方程與平面垂直的非零向量稱(chēng)為該平面的法向量。顯然，平面的法向量有無(wú)窮多個(gè)，而且平面上的任意一個(gè)向量都與該平面的法向量垂直。由立體幾何知道，過(guò)空間一點(diǎn)可以作而且只可以作一個(gè)垂直于一條已知直線的平面。下面我們來(lái)求該平面的方程。設(shè)平面p過(guò)點(diǎn)， 是平面的法向量（圖）。在平面上任取一點(diǎn)，則點(diǎn)在平面的充要條件是 ，即=0。因?yàn)?，所以 （1）該方程稱(chēng)方程為平面的點(diǎn)法式方程。例1 求過(guò)點(diǎn)(2，1，1)且垂直于向量的平面方程。解 取已知向量作為平面

2、的法向量，由因?yàn)樗笃矫孢^(guò)點(diǎn)(2，1，1)，故所求平面的方程為 ，即 。例2 求過(guò)點(diǎn)、和的平面的方程。解 先求平面的法向量。由于向量于向量、都垂直，而=-3,4,-6、=-2,3,-1，所以可取它們的向量積為，即 =，根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程，得所求平面的方程 。即 。二、平面的一般方程方程（1）可化為 （2）其中。這是、的一次方程，所以平面可用、的一次方程來(lái)表示。反之，任意的、的一次方程（2）是否都表示平面呢（式中、不全為零）？方程（2）是一個(gè)含有三個(gè)未知數(shù)的方程，所以有無(wú)窮多組解。設(shè)、是其中的一組解，則有 。用方程（2）減去上式，得 。這就是方程（1）。它表示過(guò)點(diǎn)，且以為法向量的平面。由此可知

3、、的一次方程（2）都表示平面，其中系數(shù)、表示法向量的坐標(biāo)。方程（2）稱(chēng)為平面的一般方程。下面討論方程（2）的一些特殊情況。（1）當(dāng)時(shí)，方程（2）成為，它表示一個(gè)通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)平面。（2）當(dāng)時(shí)，方程（2）成為，法向量垂直于軸，方程表示一個(gè)平行于軸的平面；當(dāng)時(shí)，方程，它所表示的平面通過(guò)軸。（3）當(dāng)時(shí)，方程（2）成為，法線方向同時(shí)垂直于軸和軸，方程表示一個(gè)平行于坐標(biāo)平面；當(dāng)時(shí)，方程為，它表示坐標(biāo)面。對(duì)于其它情況，讀者可以類(lèi)似地進(jìn)行討論。例3 求通過(guò)軸和點(diǎn)的平面的方程。解 因?yàn)樗笃矫嫱ㄟ^(guò)軸，故設(shè)所求平面的方程為 。由于點(diǎn)在所求平面上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該方程，于是有 解得。將代入方程并消去，得 即為所

4、求的平面方程。例4 求過(guò)點(diǎn)、的平面的方程（其中）。解 設(shè)所求的平面方程為因?yàn)辄c(diǎn)、在所求的平面上，所以它們的坐標(biāo)都滿足該方程，于是有 解此方程組，得 將解代入平面方程并消去（），得 （3）方程（3）叫做平面的截距式方程，其中，分別叫做平面在軸、軸、軸上的截距。三、兩平面之間的夾角兩平面法向量的夾角（通常指銳角），稱(chēng)為兩平面的夾角。設(shè)平面p1、p2的方程分別為 和 。它們的夾角為q。由于兩平面的法向量分別為和，由兩向量夾角余弦公式，得 = （4）這就是兩平面夾角的余弦的計(jì)算公式。例5 求兩平面與的夾角q。解 由公式（4）有 =所以，q=。四、兩平面的相關(guān)位置由立體幾何我們知道，兩平面的位置關(guān)系有三種：相交、平行和重合。在空間解析幾何中，我們可以根據(jù)兩平面的方程來(lái)判斷兩平面的位置關(guān)系。設(shè)兩平面的方程為p1： p2：則（1）平面p1與p2相交&