青島版數(shù)學九年級上冊第三章圓的知識

1、知識體系知識體系圓圓基本性質基本性質概概念念對對稱稱性性垂垂徑徑定定理理圓心角、圓心角、弧、弦之弧、弦之間的關系間的關系定理定理圓周角與圓周角與圓心角的圓心角的關系關系弧長、扇形面積和圓錐弧長、扇形面積和圓錐的側面積相關計算的側面積相關計算l在在一個平面一個平面內(nèi)，線段內(nèi)，線段OAOA繞它繞它固固定的一個端點定的一個端點O O旋轉一周，另一旋轉一周，另一個個端點端點A A隨之隨之旋轉旋轉所形成的圖形所形成的圖形叫做圓。叫做圓。l固定的端點固定的端點O O叫做叫做圓心圓心，線段，線段OAOA叫做叫做半徑半徑，以點，以點O O為圓心的圓，為圓心的圓，記作記作O O，讀作，讀作“圓圓O O”籃球是圓

2、嗎？籃球是圓嗎？圓必須在一個平面內(nèi)圓必須在一個平面內(nèi)以以3cm為半徑畫圓，能畫多少個？為半徑畫圓，能畫多少個？以點以點O為圓心畫圓，能畫多少個？為圓心畫圓，能畫多少個？由此，你發(fā)現(xiàn)半徑和圓心分別有什么作用？由此，你發(fā)現(xiàn)半徑和圓心分別有什么作用？半徑確定圓的大?。粓A心確定圓的位置半徑確定圓的大??；圓心確定圓的位置圓是圓是“圓周圓周”還是還是“圓面圓面”？圓是一條封閉曲線圓是一條封閉曲線圓周上的點與圓心有什么關系？圓周上的點與圓心有什么關系？圓圓是到定點（圓心）的距離是到定點（圓心）的距離等于等于定長（半徑）的定長（半徑）的點的集合。點的集合。圓的內(nèi)部圓的內(nèi)部是到圓心的距離是到圓心的距離小于小于半

3、徑的點的集合。半徑的點的集合。圓的外部圓的外部是到圓心的距離是到圓心的距離大于大于半徑的點的集合。半徑的點的集合。由此，你發(fā)現(xiàn)由此，你發(fā)現(xiàn)點與圓的位置關系點與圓的位置關系是由什么來決定是由什么來決定的呢？的呢？如果圓的半徑為如果圓的半徑為r，點到圓心的距離為點到圓心的距離為d，則：，則： 點在圓上點在圓上 d=r 點在圓內(nèi)點在圓內(nèi) dr過三點的圓過三點的圓：確定一條直線的條件是什么？：確定一條直線的條件是什么？：是否也存在由幾個點確定一個圓呢？：是否也存在由幾個點確定一個圓呢？：經(jīng)過一個點，能作出多少個圓？：經(jīng)過一個點，能作出多少個圓？ 經(jīng)過兩個點，如何作圓，能作多少個？經(jīng)過兩個點，如何作圓，

4、能作多少個？ 經(jīng)過三個點，如何作圓，能作多少個？經(jīng)過三個點，如何作圓，能作多少個？OCAB經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心外心，三角形叫做圓的三角形叫做圓的內(nèi)接三角形內(nèi)接三角形。問題問題1：如何作三角形的外接圓？：如何作三角形的外接圓？如何找三角形的外心？如何找三角形的外心？問題問題2：三角形的外心一定：三角形的外心一定 在三角形內(nèi)嗎？在三角形內(nèi)嗎？OCABC90OCABABC是銳角三角形是銳角三角形OCABABC是鈍角三角形是鈍角三角形及其推論及其推論想一想想一想：將一個圓沿著任一條直徑

5、對折，兩：將一個圓沿著任一條直徑對折，兩側半圓會有什么關系？側半圓會有什么關系？性質：性質：圓是圓是軸對稱圖形軸對稱圖形，任何一條，任何一條直徑直徑所在所在的直線都是它的的直線都是它的對稱軸對稱軸。OCDABOCDAB觀察右圖，有什么等量關系？觀察右圖，有什么等量關系？OBCDAEAO=BO=CO=DO，弧AD弧BC，弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BC=弧AC弧BD。AO=BO=CO=DO，弧AD弧BD，弧AC弧BC, AEBE 。OBCDAE垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？判斷下列圖形，能否使用垂徑定理？OCDBAOCDBAO

6、CDBAOCDE注意：定理中的兩個條件注意：定理中的兩個條件（直徑，垂直于弦）缺一不（直徑，垂直于弦）缺一不可！可！OABE若圓心到弦的距離用若圓心到弦的距離用d表示，表示，半徑用半徑用r表示，弦長用表示，弦長用a表示，表示，這三者之間有怎樣的關系？這三者之間有怎樣的關系？2222adrOABCDAC、BD有什么關系？有什么關系？ACBD依然成依然成立嗎立嗎？OABCDOABCDFEEA_, EC=_。FDFBOABCD：_ AC=BD.OA=OBOABCD：_ AC=BD.OC=OD如圖，P為 O的弦BA延長線上一點，PAAB2，PO5，求 O的半徑。MAPBO關于弦的問題，常常需關于弦的問

7、題，常常需要要過圓心作弦的垂線段過圓心作弦的垂線段，這是一條非常重要的這是一條非常重要的輔輔助線助線。圓心到弦的距離、半徑、圓心到弦的距離、半徑、弦長弦長構成構成直角三角形直角三角形，便將問題轉化為直角三便將問題轉化為直角三角形的問題。角形的問題。（1）平分弦平分弦（不是直徑）（不是直徑）的直徑的直徑垂直垂直于弦于弦，并且，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的兩條??；（2 2）弦的垂直平分線弦的垂直平分線經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心，并且，并且平分弦所對的兩條弧平分弦所對的兩條弧；（3 3）平分弦所對的一條弧的直徑平分弦所對的一條弧的直徑，垂垂直平分弦直平分弦并且并且平分弦所對的另一條弧平分弦所對的另一條弧

8、。OBCDAE如圖如圖，CD為為 O的直徑的直徑，ABCD，EFCD，你能得到什么結論？你能得到什么結論？圓的兩條圓的兩條平行弦平行弦所夾的弧相等所夾的弧相等。FOBAECD圓是軸對稱圖形，每一條直徑所在的直線都是對稱軸。圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。圓還具有旋轉不變性，即圓繞圓心旋轉任意一個角度，都能與原來的圖形重合。：頂點在圓心的角。：頂點在圓心的角。（如：（如：AOB）C：從圓心到弦的距離。：從圓心到弦的距離。（如：（如：OC）OAB圓心角所對的弧相等，圓心角所對的弧相等， 圓心角圓心角所對的弦相等，所對的弦相等， 圓心角圓心角所對弦的弦心距相等。所對弦的弦心距相等。在同圓或等圓中

9、，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等的其余各組量都分別相等。在同圓或等圓中在同圓或等圓中( (前提前提) )圓心角相等圓心角相等（條件）（條件）OBACDF圓心角：如圓心角：如BOA圓內(nèi)角：如圓內(nèi)角：如BCA圓周角：如圓周角：如BDA圓外角：如圓外角：如BFA角的頂點角的頂點在圓心在圓心角的頂點在圓周上角的頂點在圓周上是否頂點在圓周上是否頂點在圓周上的角就是圓周角呢的角就是圓周角呢? ?OBACOBCAOCAB定理：一條弧所對的圓周角等于它

10、所對的圓心角的一半。也可以理解為：一條弧所對的圓心角是它所對的圓周角的二倍；圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半。 弧相等，圓周角是否相等？反過來呢？ 什么時候圓周角是直角？反過來呢？ 直角三角形斜邊中線有什么性質？反過來呢？推論推論1 1同弧或等弧所對的圓周角相等；同弧或等弧所對的圓周角相等； 同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。思考：思考：1 1、“同圓或等圓同圓或等圓”的條件能否去掉？的條件能否去掉？2 2、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個、判斷正誤：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距、兩個圓周角中有一組量相等，那么它們所對應的圓周角中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量也相等。其余各組量也相等。OBACDOCBAFEDOBADEC推論推論2 2半圓（或直徑）所對的圓周角是半圓（或直徑）所對的圓周角是9090；9090的圓周角所對的弦是直徑。的圓周角所對的弦是直徑。推論推論3 3如果三角形一邊上的中線等于這條邊如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。的一半，那么這個三角形是直角三角形。 什么時候圓周角是直角