【學習】第二章概率論與數(shù)理統(tǒng)計

1、.第二章隨機變量第二章隨機變量 隨機變量與分布函數(shù)隨機變量與分布函數(shù) 離散型隨機變量離散型隨機變量 連續(xù)型隨機變量連續(xù)型隨機變量 一維一維隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布.一、隨機變量一、隨機變量 , :( )XxXxX定義：設(shè) 是隨機試驗E的樣本空間，如果 是定義 在 上的一個單值實函數(shù)，且對于任意實數(shù)是隨機事件，則稱 為隨機變量。隨機變量的特點隨機變量的特點:(1)(1)隨機變量的全部可能取值是互斥且完備的。隨機變量的全部可能取值是互斥且完備的。(2)(2)隨機變量的部分可能取值描述隨機事件。隨機變量的部分可能取值描述隨機事件。.1 ( ),33j|1,2,., jXXXXXX 、擲一

2、粒骰子，用 表示擲出的點數(shù)，則 是隨機變量。表示擲出的點數(shù)不超過 。將 看做樣本空間上的函數(shù)，則25 1A 2B 3C3、進行 次獨立重復試驗，試定義一個隨機變量來描述事件：）試驗成功一次）試驗至少成功一次）至多成功 次.奇異型（混合型）連續(xù)型非離散型離散型隨機變量隨機變量的分類隨機變量的分類：隨機變量隨機變量.二、離散型隨機變量二、離散型隨機變量1、定義、定義 ： 若隨機變量若隨機變量X取值取值x1, x2, , xn, 且取這些值的概率依次為且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn, , 則稱則稱X為離散型隨機變量為離散型隨機變量。稱稱PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為為X

3、的的概率概率分布律分布律或概率分布。或概率分布。通常表示通常表示為為 X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或或 XX Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp1p2pk.(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1.1kkp 323350,1,2kkC CP XkkC，例例1 1 設(shè)袋中有設(shè)袋中有5 5只球，其中有只球，其中有2 2只白球只白球3 3只黑球。只黑球?，F(xiàn)從中任取現(xiàn)從中任取3 3只球只球( (不放回不放回) )，求取的白球數(shù)，求取的白球數(shù)X X為為k k的概率。的概率。解解 k的所有可能的所有可能取值取值為為0 0，1 1，2 22. 分布律的性質(zhì)分布律的

4、性質(zhì).例例2.2.設(shè)一射手對目標獨立射擊設(shè)一射手對目標獨立射擊5 5次，每次命中目標的次，每次命中目標的概率均為概率均為p p。用。用X X表示命中目標的次數(shù)，求表示命中目標的次數(shù)，求X X的概率分的概率分布律。布律。解：設(shè)解：設(shè)A Ai i=第第i i次射擊時命中目標次射擊時命中目標i=1,2,3,4,5i=1,2,3,4,5。 則則A A1 1,A,A2,2,A A5,5,相互獨立，且相互獨立，且P(AP(Ai i)=p,i=1,2,)=p,i=1,2,5. 5. (1-p)5 )(054321AAAAAPXPAAAAAAAAAPXP4)1 (5pp5,.,1 ,

5、 0)1 (55kppCkXPkkk.25432154321AAAAAAAAAAPXP3225)1 (PPC.3 3、幾個常用的離散型分布、幾個常用的離散型分布（1） (0-1)分布分布 若用若用X表示一次試驗中事件表示一次試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從服從(01)分布分布(兩點分布兩點分布) XPXkpk(1p)1k, (0p1時時,X的全部取值為的全部取值為:m,m+1,m+2,mpmXPPX=m+1=P第第m+1次試驗時成功并且次試驗時成功并且 在前在前m次試驗中成功了次試驗中成功了m-1次次,.2, 1,)1 (111mmmkpppCkXPmkmmkpppCmmm)

6、1 (11.三、三、 隨機變量的分布函數(shù)隨機變量的分布函數(shù)1、分布函數(shù)的概念、分布函數(shù)的概念xX P XxF xXxxF xX定義:設(shè) 是隨機變量，對任意實數(shù) ，令，則稱函數(shù)為隨機變量 的分布函數(shù)。 , PPP=a babaXbXbXaF bF a易知，對任意實數(shù)，-.2、分布函數(shù)的性質(zhì)、分布函數(shù)的性質(zhì)反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必反之，具有上述三個性質(zhì)的實函數(shù)，必定定是某是某個隨機變量的分布函數(shù)。故該三個隨機變量的分布函數(shù)。故該三條條性質(zhì)是分布性質(zhì)是分布函數(shù)的充分必要性質(zhì)函數(shù)的充分必要性質(zhì)。 ,01, ()lim( )0,()lim( )1;xxxF xFF xFF x (1)有界性：對

7、任意實數(shù)且 1212;xxF xF x(2)單調(diào)不減性：若,則0000 (0)lim( )()xxxF xF xF x(3)右連續(xù)性：對任意實數(shù) ，有. X-102P0.1 0.60.3X例:設(shè)隨機變量 的概率分布律如下表11.6 11.6 11.6 11.6XXXXX 試求(1)隨機變量 的分布函數(shù) (2)P(3)P(4)P(5)P. ,xF xP Xx 解：（1）0, 1;0.1, 10;0.7, 02;1, 2.XXXX 11.600.6(1.6)( 1)11.600.611.6100.7(5)11.6100.7XP XFFXP XXP XP XXP XP X (2)P(3)P(4)PP

8、.: 12 ( )kkkkk xxXP Xxp kF xP Xxp一般地，對離散型隨機變量， ，其分布函數(shù)為.0, 0( )(),011, 1 xF xP Xxxxx當x1時, F(x)=1；0,10,1XX例：向區(qū)間隨機拋一質(zhì)點，用 表示質(zhì)點坐標。假定質(zhì)點落在區(qū)間內(nèi)任一子區(qū)間內(nèi)的概率與區(qū)間的長度成正比，求 的分布函數(shù).四、連續(xù)型隨機變量( )( )xF xP Xxf u du( )()Xf x xx定義：設(shè) 是隨機變量，若存在非負函數(shù)，使得對任意實數(shù) ，都有1、概率密度函數(shù)的定義、概率密度函數(shù)的定義( )Xf xX則稱 為連續(xù)型隨機變量，為隨機變量 的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度或密度函數(shù)。(

9、 ),Xf x x常記為：.概率概率密度函數(shù)的密度函數(shù)的幾何意義幾何意義：( )dbaP aXbf uu.2、概率密度函數(shù)的性質(zhì)、概率密度函數(shù)的性質(zhì) ( )d1fxx(2)歸一性: 反之，凡是滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)都可以作為某個隨機變量的概率密度函數(shù)。( ) xf xaex求常數(shù)a.21aX設(shè)隨機變量 的概率密度為 0f xx(1)非負性:.)()(xfdxxdF0211021)(xexexFxx求f(x) 3( )xf x若 是的連續(xù)點，則X設(shè)隨機變量 的分布函數(shù)為. PPPP( )dbaaXbaXbaXbaXbf x x= = = Xf xbP Xb(4)若 ，則對任意實數(shù) ，有=0。由此

10、可知：.,01;( )2,12;0,axxf xxx其他.(1); ( ); (3)12.5 ; (4)01.5 .aXF xPXPX求常數(shù) (2)隨機變量 的分布函數(shù):X例 設(shè)隨機變量 的概率密度函數(shù)為.3、幾個常用的連續(xù)型分布、幾個常用的連續(xù)型分布(1)均勻分布均勻分布(uniform distribution)1, ( )0 axbXfxba；若，其 他 .0, ;( ), ;1, .xax aF xaxbb abx =, , Xa bXU a b則稱 在區(qū)間上服從均勻分布。記作。其分布函數(shù)為：.例：長途汽車在每時的例：長途汽車在每時的1010分、分、2525分、分、5555分發(fā)車分發(fā)車

11、. .如果乘如果乘客不知道發(fā)車時間，在每小時的任意時刻隨機到達車客不知道發(fā)車時間，在每小時的任意時刻隨機到達車站，求乘客候車時間超過站，求乘客候車時間超過1010分鐘的概率。分鐘的概率。 101525455560P APXPXPX1515454521605205A10解：設(shè)乘客候車時間超過 分鐘 ，0,60XXXU用 表示乘客于某時 分鐘到達，則.(2)指數(shù)分布指數(shù)分布(exponential distribution), 0;( ) 00, 0.xexXf xx如果其中參數(shù)，1, 0;( )0, 0.xexF xx ( )XXEXP則稱 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記作。其分布函數(shù)為:.例例 :

12、電子元件的壽命電子元件的壽命( (單位單位: :小時小時) )服從參數(shù)為的指數(shù)分服從參數(shù)為的指數(shù)分布。布。(1)(1)求該電子元件壽命超過求該電子元件壽命超過200200小時的概率。小時的概率。(2)(2)已知該電子元件已經(jīng)使用了已知該電子元件已經(jīng)使用了300300小時，求它還能再小時，求它還能再 使用使用200200小時的概率為多少？小時的概率為多少？0.0010.0010( )00.xexf xx；0.2(1)2001(200)P XFe (2)500|300P XX(0.001).XXEXP解：用 表示電子元件的壽命，則0.2500,300500300300P XXP XeP XP X-

13、指數(shù)分布具有無記憶性指數(shù)分布具有無記憶性.若隨機變量若隨機變量(3) 正態(tài)分布正態(tài)分布(normal distribution)22()221( ; ,),2xXf xex 220,XXN 其中 為實數(shù)，則稱 服從參數(shù)為的正態(tài)分布。記為，.正態(tài)分布的性質(zhì)：正態(tài)分布的性質(zhì)： .1 max 2Xff x1）單峰對稱正態(tài)分布的概率密度曲線關(guān)于直線對稱 1, 12FFxFx =.2) 的大小直接影響概率的分布的大小直接影響概率的分布 越大，曲線越平坦越大，曲線越平坦， 越小，曲線越陡峻越小，曲線越陡峻。正態(tài)分布也稱為高斯正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布分布.（4）標準正態(tài)分布）標準正態(tài)分布(sta

14、ndard normal distribution) 2010, 1 .XN參數(shù)， 時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作.221( ), .2xxex 分布函數(shù)表示為分布函數(shù)表示為2122( ) d , txxP Xxetx 其概率其概率密度函數(shù)密度函數(shù)表示為表示為.22()2221( , ,)( ; ,)2( , ,)( ; ,)dxxnormpdf xf xenormcdf xf xx 2,xXNF x 兩個正態(tài)分布函數(shù)之間的關(guān)系：若 ，則 一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布一般的概率統(tǒng)計教科書均附有標準正態(tài)分布表供讀者查閱。我們可以使用表供讀者查閱。我們可以使用MATLAB軟件軟件來計

15、算任意正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)來計算任意正態(tài)分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)值。值。.21,2,2.50.5?XNPX1、設(shè)隨機變量求2( ,),1,2,3XNPkXkk 2、設(shè)求33 1X33P X本題結(jié)果稱為原則。在工程應(yīng)用中，通常認為，忽略的值。如在質(zhì)量控制中，常用標準指標值作兩條線，當生產(chǎn)過程的指標觀測值落在兩條線之外時發(fā)出警報,表明生產(chǎn)出現(xiàn)異常。.( 1,4)2.5 10.5 1 P2.50.5P22 =P0.750.75(0.75)(0.75) =2 (0.75) 12 0.7734 10.5468XNXXX 1、解：因為 所以22 ,P = ( )() =2 ( )-10.6 =XN

16、kkkXkkkk 、解：因為所以83, 10.955, 2 0.997, 3kkk.90 10090( 0.67)0.251415pP X 故3010.4195P Yp B 3,Yp則2(100,15 )390XN例：一種電子元件的使用壽命 (小時)服從正態(tài)分布。某儀器上裝有 個這種元件，三個元件損壞與否相互獨立。求在使用的最初小時內(nèi)沒有元件損壞的概率。:90,Y解 設(shè) 表示使用的最初小時內(nèi)損壞的元件數(shù).介紹介紹一、四種概率函數(shù)一、四種概率函數(shù)1、概率密度函數(shù)、概率密度函數(shù)(probability density function) pdf2、累積分布函數(shù)、累積分布函數(shù)(cumulative

17、distribution function) cdf3、分位數(shù)、分位數(shù)(quantile) inv4、隨機數(shù)、隨機數(shù)(random number) rnd.-x12 unifpdf(x,a,b)1 exppdf x,e,x03normpdf(x,)4chi2pdf(x,n)5t tpdf(x,n ,n )6F fpdf(x,n,二、常見分布命令1、均勻分布2、指數(shù)分布 、正態(tài)分布 、卡方分布 、 分布 、 分布xxn-xMN-MnNm)7 binopdf(x,n,p)8 geopdf(x,p) = p(1-p) ,x=0,1,2,.C C9 hygepdf(x,N,M,n) =C10 pois

18、spdf(x,)、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松分布.五、一維隨機變量函數(shù)的分布五、一維隨機變量函數(shù)的分布 yg xXXyg xYg X 一般地，設(shè)是一元實函數(shù)， 是一個隨機變量，若 的取值在函數(shù)的定義域內(nèi)，則也是一個隨機變量。背景：.X()Yg X隨機變量的函數(shù)隨機變量( )Xfx( )XFx密度函數(shù)或分布列分布函數(shù)( )YFy( )Yfy.1 1、一維離散型隨機變量函數(shù)的概率分布律、一維離散型隨機變量函數(shù)的概率分布律例例:已知已知XPX-1 0 10.20.10.7求：求：Y=2X的概率分布律的概率分布律YPY-2 0 2 0.20.1 0.7 12 3YkkXXP Xxp kyg

19、xYg X設(shè) 是一個隨機變量，概率分布律為， ，若 是一元單值實函數(shù)，則 也是一個隨機變量,如何求 的概率分布律？.一般地一般地XPkY=g(X) kxxx2112 kppp )()()(21kxgxgxg: PP ,1,2,3,kiiikk g xyYg XYyg Xyp i或.設(shè)隨機變量X的概率分布律為求Y=2X2 +1的概率分布律。解例由題設(shè)可得如下表格 X1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012Y=2x2+13139概率0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的概率分布律為 y 1 3 9 pk 0.3 0.6 0.1.例：設(shè)隨機變量X的概率分布律為解Xpny

20、 -1 0 1 pk 2/15 1/3 8/15 1 2 3 n 231111 2222nsin2YX求的概率分布律。.設(shè) X 為一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為 f (x)。y = g(x)是一元實值函數(shù) ，求隨機變量Y=g(X)的概率密度函數(shù)(如果存在)(1) 先求Y的分布函數(shù) FY(y)( )YFy根據(jù)分布函數(shù)的定義P YyP()g Xy(2) 對FY(y) 求導，得到 fY(y) 2、一維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布n 一般方法( )( )YYfyFyP( )Xx g xy. 222112( )30PPXYXxyxfxyg xxFyYyXyfx dx 其它 2101,=P33yYyy

21、yFyyXydx當時0( )0YyFy當時，；4( )1YyFy當時，； 1114d11 =0dd33yYXyyyyFyfxxyxx當時 ，2. U1,2 ,XYX例設(shè)求的分布函數(shù)與概率密度函數(shù)。.10131()()1460 YYyyfyFyyy概 率 密 度 函 數(shù) 為 ：，；，；，其 他 .0 0 ;2013()1, 1431, 4yYYyyyFyyy所 以 ， 隨 機 變 量的 分 布 函 數(shù) 為 ：， ， ；. ,XXfxyg xxYg X例：設(shè) 的概率密度為關(guān)于 處處可導且嚴格單減，求的概率密度函數(shù)。 , PP g XYyFyYyy解：根據(jù)分布函數(shù)的定義，對于任意給定的 11P1XX

22、gyFgy 11111 dgy ddgy dYXXXYfyFgyfgyyfgyy 所以，隨機變量 的概率密度函數(shù)為. , ( )( )( ) | ( )|XYXXfxyg xYg Xfyfh yh yh yy g x公式法：一般地，若 是單調(diào)可導函數(shù)，則其中是的反函數(shù)。注注：1 1 ）只有當只有當g(x)g(x)是是x x的單調(diào)可導函數(shù)時，才可用以的單調(diào)可導函數(shù)時，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的的概率概率密度函數(shù)。密度函數(shù)。 2 2） 注意定義域的選擇。注意定義域的選擇。., ( )PPYyFyYyaXby解：先求分布函數(shù)。對任意實數(shù)2, XNYaXb 例：設(shè)隨機變量，求的概率密度函數(shù)。

23、 0( )PYXaybybFyXFaa當時，所以， 222()11( )2y b aaYXybfyfeaaa . 0P1P 1YXaybybFyXXaaybFa當時 ，222()11( )2y b aaYXybfyfeaaa 綜上得 2,()YN aba.22( ,), (0), (, () )XNYaXb aYN aba 設(shè)則2( ,),(0,1)XXNN 若則n 推論n 定理正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)服從正態(tài)分布。-正態(tài)隨機變量的標準化 .2,0, 1, .XNXYX 例 ： 設(shè)求 隨 機 變 量；的 分 布 .0 111 22YPY答案. 1, 2;2 ,2,2.XXEXPYX XY例：設(shè)求隨機變量 的分布函數(shù)。答案 440, 1,1,14;1,4.11YyyFyeyeyP Ye 注意：.小結(jié).0 -1 分 布二 項 分 布 B （ n ,p )泊 松 分 布 P ( )離離 散散 型型 分分 布布 律律歸 一 性分 布 函 數(shù) 與 分 布 律 的 互 變概概 率率 計計 算算分分 布布 函函 數(shù)數(shù)歸 一 性概概 率率 計計 算算單單 調(diào)調(diào) 性性正 態(tài) 分 布 的 概