第二節(jié)一階微分方程ppt課件

1、一、可分離變量方程一、可分離變量方程第七章微第七章微 分分 方方 程程第二節(jié)一階微分方程第二節(jié)一階微分方程二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程一階微分方程的一般形式為一階微分方程的一般形式為F(x, y, y) = 0.一、可分離變量方程一、可分離變量方程例如：形如例如：形如y = f (x) g (y)的微分方程，稱為可分離變量方程的微分方程，稱為可分離變量方程.(1) (1) 分離變量分離變量將方程整理為將方程整理為xxfyygd)(d)(1 使方程各邊都只含有一個變量使方程各邊都只含有一個變量.的形式，的形式，(2) (2) 兩邊積分兩邊積分兩邊同時積分，得兩邊同時積分，得,d)(1

2、yyg 左邊左邊.d )(xxf 右右邊邊故方程通解為故方程通解為.d )(d)(1Cxxfyyg 我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示我們約定在微分方程這一章中不定積分式表示被積函數(shù)的一個原函數(shù)，被積函數(shù)的一個原函數(shù)，而把積分所帶來的任意常而把積分所帶來的任意常數(shù)明確地寫上數(shù)明確地寫上.例例 1 1 求方程求方程.1)cos(sin2的的通通解解yxxy 解分離變量，得解分離變量，得,d)cos(sin1d2xxxyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,)sin(cosarcsinCxxy 這就是所求方程的通解這就是所求方程的通解例例 2 2 求方程求方程.的通解的通解xyy 解分離變量，得解分

3、離變量，得,d1dxxyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,1e|1xyC ,1ln|ln1Cxy 化簡得化簡得. 0,1,e2221 CxCyCC則則令令,1e1xyC 另外，另外，y = 0 y = 0 也是方程的解，也是方程的解，因 而因 而 C 2 C 2 為 任 意 常為 任 意 常數(shù)數(shù)xCy2 所以所以.xCy 求解過程可簡化為：求解過程可簡化為：,ddxxyy 兩邊積分得兩邊積分得,ln1lnlnCxy 即通解為即通解為,lnlnxCy ,xCy 其中其中 C C 為任意常數(shù)為任意常數(shù). .中的中的 C2 C2 可以為可以為 0 0，這樣，方程的通解是這樣，方程的通解是分離變量得分離變

4、量得例例 3 3 求方程求方程 dx + xydy = y2dx + ydy dx + xydy = y2dx + ydy 滿滿足初始條件足初始條件 y(0) = 2 y(0) = 2 的特解的特解. .解將方程整理為解將方程整理為.d)1(d)1(2xyyxy 分離變量，得分離變量，得,1dd12 xxyyy兩邊積分，兩邊積分，有有.ln21)1ln()1ln(212Cxy 化簡，得化簡，得,)1(122 xCy即即1)1(22 xCy將初始條件將初始條件 y(0) = 2 y(0) = 2 代入，代入，. 1)1(322 xy為所求之通解為所求之通解. .得得 C = 3.C = 3.故所

5、求特解為故所求特解為例例 4 4. )(dd ) )均均是是正正的的常常數(shù)數(shù)與與其其中中( (的的通通解解求求方方程程akaykyxy 解分離變量解分離變量得得,d)(dxkayyy 即即.dd)11(xkayyay 兩邊積分，得兩邊積分，得.lnlnCkaxyay 經(jīng)整理，得方程的通解為經(jīng)整理，得方程的通解為,e1kaxCay 也可寫為也可寫為.e1kaxCay 二、一階線性微分方程二、一階線性微分方程一階微分方程的下列形式一階微分方程的下列形式)()(xQyxPy 稱為一階線性微分方程，簡稱一階線性方程稱為一階線性微分方程，簡稱一階線性方程. . 其中其中P(x)P(x)、Q (x) Q

6、(x) 都是自變量的已知連續(xù)函數(shù)都是自變量的已知連續(xù)函數(shù). . 左邊的每項(xiàng)中僅含左邊的每項(xiàng)中僅含 y y 或或 y y，且均為，且均為 y y 或或 y y 的一次項(xiàng)的一次項(xiàng). . 它的特點(diǎn)它的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)，是：右邊是已知函數(shù)，稱為一階線性齊次微分方程，簡稱線性齊次方程，稱為一階線性齊次微分方程，簡稱線性齊次方程， 0，則稱方程，則稱方程 為一階線性非齊次微分為一階線性非齊次微分方程，簡稱線性非齊次方程方程，簡稱線性非齊次方程. 通常方程通常方程 稱為方程稱為方程 所對應(yīng)的線性齊次方程所對應(yīng)的線性齊次方程., 0)( yxPy假設(shè)假設(shè) Q (x)假設(shè)假設(shè) Q (x) 0，則方程成為，

7、則方程成為1.一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程的解法一階線性齊次方程一階線性齊次方程0)( yxPy是可分離變量方程是可分離變量方程. .,d)(dxxPyy 兩邊積分，得兩邊積分，得,lnd )(lnCxxPy 所以，方程的通解公式為所以，方程的通解公式為.ed)( xxPCy分離變量，得分離變量，得例例 6 6 求方程求方程 y y + (sin x)y = 0 + (sin x)y = 0 的通解的通解. .解所給方程是一階線性齊次方程，且解所給方程是一階線性齊次方程，且 P(x) = sin xP(x) = sin x， ,cosdsind )(xxxxxP由通解公式即可得到方程

8、的通解為由通解公式即可得到方程的通解為.ecosxCy 那么那么例例 7 7求方程求方程 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 (y - 2xy) dx + x2dy = 0 滿滿足初始條件足初始條件 y|x=1 = e y|x=1 = e 的特解的特解. .解將所給方程化為如下形式：解將所給方程化為如下形式：, 021dd2 yxxxy這是一個線性齊次方程，這是一個線性齊次方程，,21)(2xxxP 且且那么那么 ,1lnd12d )(22xxxxxxxP由通解公式得該方程的通解由通解公式得該方程的通解,e12xCxy 將初始條件將初始條件 y(1) = e y(1) = e 代入

9、通解，代入通解，.e12xxy 得得 C = 1.C = 1.故所求特解為故所求特解為2.一階線性非齊次方程的解法一階線性非齊次方程的解法設(shè)設(shè) y = C(x)y1 y = C(x)y1 是非齊次方程的解，是非齊次方程的解， 將將 y = y = C(x)y1 (C(x)y1 (其中其中 y1 y1 是齊次方程是齊次方程 y y + P (x) y = 0 + P (x) y = 0 的解的解) )及其導(dǎo)數(shù)及其導(dǎo)數(shù) y y = C = C (x) y1 + C(x) y(x) y1 + C(x) y1 1 代入方程代入方程).()(xQyxPy 則有則有),()()()()(111xQyxCx

10、PyxCyxC 即即),()()()(111xQyxPyxCyxC 因因 y1 y1 是對應(yīng)的線性齊次方程的解，是對應(yīng)的線性齊次方程的解，因此有因此有, 0)(11 yxPy故故),()(1xQyxC 其中其中 y1 y1 與與 Q(x) Q(x) 均為已知函數(shù)，均為已知函數(shù)，,d)()(1CxyxQxC 代入代入 y = C (x)y1 y = C (x)y1 中，得中，得.d)(111xyxQyCyy 容易驗(yàn)證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程容易驗(yàn)證，上式給出的函數(shù)滿足線性非齊次方程),()(xQyxPy 所以可以通過積分所以可以通過積分求得求得且含有一個任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次

11、方程且含有一個任意常數(shù)，所以它是一階線性非齊次方程)()(xQyxPy 的通解的通解在運(yùn)算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個解為在運(yùn)算過程中，我們?nèi)【€性齊次方程的一個解為,ed)(1 xxPy于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：于是，一階線性非齊次方程的通解公式，就可寫成：.de )(ed)(d)( xxQCyxxPxxP上述討論中所用的方法，是將常數(shù)上述討論中所用的方法，是將常數(shù) C C 變?yōu)榇ㄗ優(yōu)榇ê瘮?shù)函數(shù) C(x)C(x)， 再通過確定再通過確定 C(x) C(x) 而求得方程解的方而求得方程解的方法，稱為常數(shù)變易法法，稱為常數(shù)變易法. .例例 8 8 求方程求方程 2y2y

12、 - y = ex - y = ex 的通解的通解. .解法一解法一 使用常數(shù)變易法求解使用常數(shù)變易法求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy 這是一個線性非齊次方程，它所對應(yīng)的線性齊次方這是一個線性非齊次方程，它所對應(yīng)的線性齊次方程的通解為程的通解為,e2xCy 將將 y 及及 y 代入該方程，得代入該方程，得設(shè)所給線性非齊次方程的解為設(shè)所給線性非齊次方程的解為,e )(2xxCy ,e21e )(2xxxC 于是，有于是，有,ede21)(22CxxCxx 因而，原方程的通解為因而，原方程的通解為.eee )(22xxxCxCy 解法二解法二 運(yùn)用通解

13、公式求解運(yùn)用通解公式求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,e2121xyy ,e21)(,21)( xxQxP 則則那么那么 ,2d21d )(xxxxP ,edee21de )(22d )(xxxxxPxxxQ代入通解公式，得原方程的通解為代入通解公式，得原方程的通解為.eee )e(222xxxxCCy ,ee2d )(xxxP 例例 9 9 求解初值問題求解初值問題 . 1)(,cosyxyyx解使用常數(shù)變易法求解解使用常數(shù)變易法求解將所給的方程改寫成下列形式：將所給的方程改寫成下列形式：,cos11xxyxy 則與其對應(yīng)的線性齊次方程則與其對應(yīng)的線性齊次方程01

14、 yxy的通解為的通解為.xCy 設(shè)所給線性非齊次方程的通解為設(shè)所給線性非齊次方程的通解為.1)(xxCy 于是，有于是，有 .sindcos)(CxxxxC將將 y 及及 y代入該方程，得代入該方程，得,cos11)(xxxxC 因而，原方程的通解為因而，原方程的通解為.sin11)(sinxxxCxCxy 將初始條件將初始條件 y(p) = 1 代入，得代入，得 C = p，).sin(1xxy 所 以 ，所 以 ，所求的特解，即初值問題的解為所求的特解，即初值問題的解為例例 1010求方程求方程 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 y2dx + (x - 2xy - y2)dy = 0 的通解的通解.