第二節(jié)定積分的計(jì)算1ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 定積分的計(jì)算定積分的計(jì)算一一.微積分學(xué)基本定理微積分學(xué)基本定理變上限定積分變上限定積分 設(shè)設(shè))(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù) abx xadttfxp)()(稱為變上限定積分稱為變上限定積分.xafxp()(d)xxOxyabx x)(xfy 變上限積分的幾何意義Oxyabx x)(xfy 變上限積分的幾何意義xaxxf d)(曲邊梯形的面積的代數(shù)和隨 x 的位置而變化。 定理定理6.1( (微積分學(xué)基本定理或原函數(shù)存在定理微積分學(xué)基本定理或原函數(shù)存在定理) )假如假如)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù),)()( xadttfxp那那么么)(xp是是)(xf在在,ba上的一個(gè)原函數(shù)上的

2、一個(gè)原函數(shù),即有即有).()()(xfdttfxpxa 證證xxpxxpxpx )()(lim)(0 xdttfdttfxaxxax )()(lim0 xdttfxxxx )(lim0 xxfx )(lim0 )(lim0 fx ).(xf abx xx )()(xfdttfxa)()()(xxdttf)()(xxf)()(xxf事實(shí)上事實(shí)上:)()()(xxdttf)(0)(xdttf0)()(xdttf)(0)(xdttf)(0)(xdttf而而)(0)(xdttfux )(udttf0)(所以所以)()(0 xdttfudttf0)()(ufu)()(xxf所以所以)()()(xxdtt

3、f)()(xxf)()(xxf例例1 設(shè)設(shè),cos)(02 xtdtxf求求).(xf 解解 xtdtxf02)cos()(.cos2x例例2 設(shè)設(shè),)(12 xtdtexf求求).(xf 解解.)(2xexf 例例3 設(shè)設(shè),sin)(302 xxdttxf求求).(xf 解解 )(xf23)sin(xx .)sin()13(232xxx )(3 xx例例4 設(shè)設(shè),)(lncos2 xxxdttxf求求).(xf 解解 )(xf)ln()ln(2xxxx)ln1 ()ln(2xxx)ln1 ()ln(2xxx)(cos)(cos2xx)sin()(cos2xxxxsin)(cos2例例5求極限

4、求極限.1lim20202xdttxx 解解 202021limxdttxxxxxx221lim40 401limxx . 1 例例6求由方程求由方程 xyttdtdte000cos2所確定所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解 方程兩邊作為方程兩邊作為x的函數(shù)同時(shí)求導(dǎo)的函數(shù)同時(shí)求導(dǎo)0cos2 xyey所以所以.cos2yexy 例例7求下列極限求下列極限(2),)2sin1 (1lim010 xtxdttx,)1 (1lim0222xxtxdtetx(1)(3)(4).)cos1 ()1arctan(lim22000 xxdudttxux確定常數(shù)確定常數(shù)cba,使使.)1ln(sinlim

5、30cdtttxaxxbx)0( c)cos1 ()1arctan(lim0002xxdudttxux 30002)1arctan(lim2xdudttxux 2003)1arctan(lim22xdttxxxxxx6)1arctan(2lim2204326(2019年考研真題年考研真題)cos1 ()1arctan(lim22000 xxdudttxux300022)1arctan(lim2xdudttxux2003)1arctan(2lim24xdttxxx1)1arctan(4lim34430 xxx0二二.牛頓牛頓萊布尼茲萊布尼茲)(leibnizNewton 公式公式定理定理6.2假

6、如假如)(xf在在,ba上連續(xù)上連續(xù),)(xF是是)(xf在在,ba上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù), 那那么么).()()(aFbFxdxfba 證證)()(xfxF )()(xfdttfxa 因因所以所以cxFdttfxa )()(令令caFdttfaa )()(ax 那那么么)(aFc )()()(aFxFdttfxa 所以所以再令再令bx 得得).()()(aFbFdttfba )()()()(aFbFxFdxxfbaba 例例6求求 102.dxx解解 102dxx103)31(x33031131 .31 例例7 求求 202.cossin xdxx解解 202cossin xdxx 2

7、02sinsin xxd203)sin31( x 0sin312sin3133 .31 1023dxexx103.3dxex31331xe10) 1(31e例例8求求 20.cossin dxxx解解 原式原式 2440)cos(sin)sin(cos dxxxdxxx40)cos(sin xx . 222 24)sincos( xx 例例9,求求 30.)(dxxf設(shè)設(shè) )(xf13 xxe 10 x31 x解解 30)(dxxf 1031)()(dxxfdxxf 10313)1(dxedxxx311034)()43(xexx .11413ee 112.1dxx計(jì)算計(jì)算解解 1121dxx1

8、1)1( x. 211 注注 這是錯(cuò)誤的這是錯(cuò)誤的,因?yàn)槎ɡ硪筮B續(xù)因?yàn)槎ɡ硪筮B續(xù). . d1 1 0 2xx計(jì)算 數(shù)的一個(gè)原函數(shù)：先用不定積分求被積函ttxxdcosd1 22 sin tx令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，萊布尼茲公式由牛頓 . 4 1 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx例例解解 . d1 1 0 2xx計(jì)算 數(shù)的一個(gè)原函數(shù)：先用不定積分求被積函ttxxdcosd1 22 sin tx令tt d)2cos1 (21Ctt42sin2Cxxx21 21arcsin21 得，萊布尼茲公式由牛頓 . 4 1

9、 21arcsin21d1 1021 0 2xxxxx10 x20t2 0 21 0 2dcosd1 ttxxtt d)2cos1 (212 0 20 42sin2tt . 4例例解解三三.定積分的換元積分法定積分的換元積分法定理定理6.3 假如假如)(xf在在,上連續(xù)上連續(xù),)(tx滿足下述條件滿足下述條件:)(t上單調(diào)連續(xù)上單調(diào)連續(xù),且且在在,ba),()(tbta,)(ab)(在在,)(t上連續(xù)上連續(xù),那么那么badxxf)(dtttf )()(badxxf)(dtttf)()(證證 設(shè)設(shè))(xF是是)(xf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)那么那么)()()(aFbFdxxfba由由)()(tt

10、F)()(ttf即即)(tF)(tF是是)()(ttf的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)故故dtttf)()()(tF)(F)(F)()(aFbFbadxxf)(例例10 求求 803.11dxx解解原式原式令令,3tx 那那么么dttdx23 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)0 t當(dāng)當(dāng)8 x時(shí)時(shí)2 t 202311dttt 2021113dttt 2011)1(3dttt2021ln21 3ttt . 3ln3 tx 3例例11 求求 aadxxa022).0(1解解原式原式令令taxtan 那那么么tdtadx2sec 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí)0 t當(dāng)當(dāng)ax 時(shí)時(shí)4 t 402secsec1 tdtata 40sec tdt4

11、0tansecln tt ).21ln( 例例12 證明證明 00.)(sin2)(sindxxfdxxxf證證 令令tx 那那么么dtdx 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí) t當(dāng)當(dāng) x時(shí)時(shí)0 t 0)(sin()( dttft 0)(sin)(dttft00)(sin)(sindtttfdttf 0)(sindxxxf故故 00.)(sin2)(sindxxfdxxxf00)(sin)(sindxxxfdxxf定積分等式的證明定積分等式的證明(1)作變量替換作變量替換:看兩端積分限或被積函數(shù)看兩端積分限或被積函數(shù) 作變量替換作變量替換.(2)如果兩端積分限均為如果兩端積分限均為:, 0 則令則令tx 2, 0

12、 則令則令tx 2 4, 0 則令則令tx 4 (3)定積分是常數(shù)及定積分與積分變量符號(hào)定積分是常數(shù)及定積分與積分變量符號(hào)無(wú)關(guān)常被應(yīng)用無(wú)關(guān)常被應(yīng)用補(bǔ)例補(bǔ)例 假假設(shè)設(shè))(xf是定義在是定義在),(內(nèi)周期為內(nèi)周期為T的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),證明證明.)()(0 TaaTdxxfdxxf證證 TaaTaTTadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00故故.)()(0 TaaTdxxfdxxfdxxfTaT)(tTxdttfa)(0dxxfa)(0dxxfa)(0類似類似:假假設(shè)設(shè))(xf是定義在是定義在),(內(nèi)周期為內(nèi)周期為的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),證明證明.)()(0 nTaaTdxxfndx

13、xf證證 nTaaTTTadxxfdxxfdxxfdxxf200)()()()( nTTndxxf)1()( anTnTdxxf)(而而 kTTkdxxf)1()(tTkx )1( Tdttf0)( Tdxxf0)(), 2(nk anTnTdxxf)(tnTx adttf0)( adxxf0)(T TTdxxf32)(所以所以 nTaaTTTadxxfdxxfdxxfdxxf200)()()()( nTTndxxf)1()( anTnTdxxf)( adxxf0)( Tdxxf0)( Tdxxf0)( Tdxxf0)( adxxf0)( Tdxxfn0)( TTdxxf32)( Tdxxf0

14、)(例例13 (奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分奇偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的積分)設(shè)設(shè))(xf在在,aa 上連續(xù)上連續(xù), 求證求證:(1)假如假如)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù),那那么么 aadxxf; 0)(2)假如假如)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù),那那么么 aaadxxfdxxf.)(2)(0證證 aadxxf)( aadxxf)( aadxxfdxxf00)()( aadxxfdxxf00)()( adxxf0)( 0)(adxxftx 0)(adttf adttf0)(故故例例14 求求 22263.)coscos( dxxxx解解原式原式 202cos2 xdx 20)2cos1( dxx20)2sin2

15、1( xx .2 (1)假如假如)(xf為奇函數(shù)為奇函數(shù),那那么么(2)假如假如)(xf為偶函數(shù)為偶函數(shù),那那么么 aadxxf)( aadxxfdxxf00)()(0)()(00 aadxxfdxxf aaadxxfdxxf.)(2)(0例例15 求求 40.)tan1ln( dxx解解原式原式 40coscossinln dxxxx 40coscos)2cos(ln dxxxx 40cos)4cos(4cos2ln dxxx 404040cosln)4cos(ln2ln xdxdxxdx 402ln dx 402ln dx. 2ln8 .4cosln)4cos(ln4040 txxdxdx

16、x例例16設(shè)設(shè)1021)(dxxg),()(xg在在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù), 1) 1 (g假設(shè)假設(shè)xdtttxgxf02)()(求求).1 (),1 (ff 解解令令utxxxduuxugduuxugxf0202)()()()(xduugx02)(xduuugx0)(2xduugu02)()(xfxduugx02)(xduuugx0)(2xduugu02)()(xf xduugx0)(2)(2xgxxduuug0)(2)(22xgx)(2xgxxduugx0)(2xduuug0)(2)(xf xduug0)(2)(2xxg)(2xxgxduug0)(2)(xf )(2xg ) 1 (f 1)(210d

17、xxg2) 1 ( f四四.定積分的分部積分法定積分的分部積分法定理定理6.4假如假如)(xu及及)(xv在在,ba上導(dǎo)函數(shù)連續(xù)上導(dǎo)函數(shù)連續(xù)那那么么. )()()()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu證證)()()()( )()(xuxvxvxuxvxu 因因所以所以)()( )()()()(xuxvxvxuxvxu bababadxxuxvdxxvxudxxvxu)()( )()()()(. )()()()()()(bababaxduxvxvxuxdvxu那那么么故故例例求求.) 12(32dxexx解解原式原式)31() 12(32xedxxex32) 12(31xdxex

18、4313xex32) 12(31xex32) 12(31xex32) 12(31)31(343xexdxxe394dxex394xxe394xe3274Cxexx32)131218(271C例例16 求求 10.)1ln(dxxx解解原式原式.41 102)21()1ln(xdx102)1ln(21xx 2ln21 212ln21 1021121dxxx 10)111(21dxxx102)1ln(21xxx 例例17 求求 202.sin xdxx解解原式原式.41162 2022cos1 dxxx 20)2cos(21 dxxxx 20202cos2121 xdxxxdx20241 x 16

19、2 2022sin4116 xdx202)2cos21(4116 x 20)2sin21(21xxd20)2sin21( 21 xx 2sin2120 xdx例例18 求求 403.sec xdx解解原式原式 402secsec xdxx40)(tansecxxd40tansec xx 2 402sec)1(sec2 xdxx403sec2xdx) 12ln(sec2403xdx故故 原式原式).12ln(221 40tansectan xdxxx 402sectan xdxx40tansecln xx dxexxx11)(2019年考研真題年考研真題4分分)補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題解解dxexxx

20、11)(dxexx102)(210 xexd10)(2xxe12 e).21(21 edxex10210)(2xe 例例19 求求dxexx 102例例20 求求20.cossinsindxxxx解解令令20.cossinsindxxxxtx2那么那么dtdx02.cossincosdtttt20.cossincosdtttt20.cossincosdxxxx20.cossinsin2dxxxx20.cossincossindxxxxx24例例21 設(shè)設(shè))(xf連續(xù)連續(xù),且且, 1) 1 (f21)( dxxf20arctan21)2(xdttxtfx知知求求的值的值.解解 令令txu 2那么

21、那么uxt 2dudt當(dāng)當(dāng)0txt 時(shí)時(shí),2xu xu 時(shí)時(shí)故故xdttxtf0)2(xxduufux2)()2(xxduufx2)(2xxduuuf2)(故故xxduufx2)(2xxduuuf2)(2arctan21x故故xxduufx2)(2xxduuuf2)(2arctan21x上式兩端對(duì)上式兩端對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),得得xxduuf2)(2)()2(22xfxfx)(2)2(2xxfxxf41xx即即xxduuf2)(241xx)(xxf令令1x得得21)(2duuf23121即即21)( dxxf43例例22 設(shè)設(shè))(xf連續(xù)連續(xù),且且20)(dxxfxxdttxtf0cos1)(求求的值的值.解解 令令txu那么那么uxtdudt當(dāng)當(dāng)0txt 時(shí)時(shí), xu 0u時(shí)時(shí)故故xdttxtf0)(xduufux0)()(故故xduufx0)(xduuuf0)(xcos1上式兩端對(duì)上式兩端對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),得得上式兩端對(duì)上式兩端對(duì)x求導(dǎo)求導(dǎo),得得即即令令得得即即xduufx0)(xduuuf0)(xcos1xduuf0)()(xxf)(xxfxsinxduuf0)(xsin2x1)(20duuf1)(20dxxf例例21 設(shè)設(shè))(xf且且在在 1 , 0上可導(dǎo)上可導(dǎo),210.)(2) 1 (dxxxff證明證明:存在存在) 1 , 0(使使0)()(ff證明證明:作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)