圓中最值問(wèn)題的求解方法

1、圓中最值問(wèn)題的求解方法有關(guān)圓的最值問(wèn)題，往往知識(shí)面廣、 綜合性大、應(yīng)用性強(qiáng)，而且情境新穎，能 很好地考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和潛在的數(shù) 學(xué)素質(zhì)，本文按知識(shí)點(diǎn)分類，以近幾年中 考題為例，歸納總結(jié)此類試題的解題方 法.一、直線外一點(diǎn)到直線上各點(diǎn)的連線 中，垂線段最短例1（2012寧波）如圖1， ABC中，Z BAO 60°，Z ABC= 45°, AB= 2, D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以 AD為直 徑畫O O分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié) EF則線段EF長(zhǎng)度的最小值為 .分析 由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng) AD為 ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短.解如圖2,連結(jié)OE, OF,過(guò)O點(diǎn)

2、 作0H丄EF垂足為H.在 RtA ADB 中，Z ABC= 45°, AB= 2,AD= BD= 2，即此時(shí)圓的直徑為2.由圓周角定理，可知Z EOHZ EOFZ BAC= 60°,在 RtA EOH 中，EH= OE sin Z EOH 1 V3 2 2 *由垂徑定理，可知 EM 2EH_3點(diǎn)評(píng)本題是一道融垂徑定理、圓 周角定理、解直角三角形于一體的綜合應(yīng) 用題.關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化，找出滿足條 件的最小圓.二、兩點(diǎn)之間線段最短"卜，例2（2014三明）如圖3,在RtABC中，Z ACB= 90AC= BC= 2,以BC為直徑的半圓交 AB于 點(diǎn) D, P 是

3、Cd CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,則AP的最小值 是.分析如圖4,取BC的中點(diǎn)E,連 結(jié)AE,交半圓于點(diǎn)P2,在半圓上取點(diǎn)Pi, 連結(jié) APi, EPi,可得，APi + EPi>AE,即 AP2是AP的最小值.再根據(jù)勾股定理求 出AE的長(zhǎng)，然后減掉半徑即可.E,連結(jié)AE, i,連結(jié)4解如圖4,取BC的中點(diǎn) 交半圓于點(diǎn)P2,在半圓上取丿 APi, ER,可得，APi + EPi>AE5 , P2E= i.AP2 . 5 i .即AP2是AP的最小值.點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、最短 路徑問(wèn)題，利用兩點(diǎn)之間線段最短是解題 的關(guān)鍵.三、利用軸對(duì)稱，求直線上一點(diǎn)到直 線同側(cè)兩點(diǎn)的線段之和最

4、短例3 （2014張家界）如圖5, AB、CD 是半徑為5的O O的兩條弦，AB= 8, CD =6, MN是直徑，AB丄MN于點(diǎn)E, CD 丄MN于點(diǎn)F，P為EF上的任意一點(diǎn)，貝9PA+ PC的最小值為分析A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱，因而PA+ PC= PB+ PC,即當(dāng) B、C、P 在一條 直線上時(shí)，PA+ PC的最小，即BC的值就 是PA+ PC的最小值.解 如圖6,連接OA, OB, OC,作CH垂直于AB于點(diǎn)H.根據(jù)垂徑定理，得到BE = 4= -i-CD = S,其 OE = yorf -= /51 -43 = 3.OF = /OC3 - Cf =- 3】=4,.CH = OE + Q

5、F = 3 + 4 =4+3 =l 7,在RtA BCH中，根據(jù)勾股定理得到BC= 7,則PA+ PC的最小值為7.點(diǎn)評(píng)正確理解BC的長(zhǎng)是PA+ PC 的最小值，是解決本題的關(guān)鍵.例4 （2014東營(yíng)）如圖7,在O O中， AB 是O O 的直徑，AB= 8cm, Ac CD BD, M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，則 CM+ DM的最小 值是cm.解析 如圖8,作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì) 稱點(diǎn)C',連結(jié)C'D與AB相交于點(diǎn)M，根 據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，點(diǎn)M為CM + DM的最小值時(shí)的位置，根據(jù)垂徑定理 可得Ac Ac,然后求出C'D為直徑，從而得 解. CM+ DM的最小值是8cm.點(diǎn)

6、評(píng)本題考查了軸對(duì)稱確定最短路線問(wèn)題，垂徑定理，熟記定理并作出圖 形，判斷出CM+ DM的最小值等于圓的 直徑的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.四、利用切線的性質(zhì)求最小值例5（2010蘇州）如圖9,已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（2, 0）、（0, 2）,0 C 的圓心坐標(biāo)為（一1, 0）,半徑為1若D 是O C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段 DA與y軸交 于點(diǎn)丘，則厶ABE面積的最小值是（ ）(A)2(D)2-解析 根據(jù)三角形的面積公式， ABE底邊BE上的高AO不變，BE越小， 則面積越小，可以判斷當(dāng) AD與O C相切 時(shí)，BE的值最小.根據(jù)勾股定理求出 AD 的值，然后根據(jù)相似三角形求出 OE的長(zhǎng) 度，代入三角形的面積

7、公式進(jìn)行計(jì)算即可求解.如圖10,由題意知道當(dāng) DA是圓C 的切線時(shí)，OE最短，此時(shí) ABE面積最 小.AC= 2+ 1 = 3. CD= 1.由勾股龍理得丸心二-V = rfL可Ul證明 AAOEs A4ZIC,/ ABE的面枳為=-y x X AO=y K （2 -厲）= 2 妊故選c.點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)， 勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出OE的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵.五、立體圖形上兩點(diǎn)之間最短距離例6 （2014蘭州）如圖11，有一個(gè) 圓錐形的糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6cm的正三角 形，母線的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠, 求小貓經(jīng)過(guò)的最短路程.解析如圖12，先確定扇形的圓心 角，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再確定起點(diǎn) 和終點(diǎn)，從而求解， ABC為正三角形. BC= 6.I = 2 nX 3= 6 n.根據(jù)底面積圓的周長(zhǎng)等于展開(kāi)后扇形 的弧長(zhǎng)，得口 6180故 n = 180°，則/ B'AC= 90°， B'P= 36 9 35 （米）.答：小貓所經(jīng)過(guò)的最短路程是=3V5米.點(diǎn)評(píng)本題考查平面展開(kāi)最短路徑 問(wèn)題，關(guān)鍵知道兩點(diǎn)之間線段最短， 根據(jù) 勾股定理求解.以圓為載體的最值問(wèn)題在中考試題 中