圖解最長公共子序列問題

1、動態(tài)規(guī)劃法經(jīng)常會遇到復(fù)雜問題不能簡單地分解成幾個子問題，而會分解出一系列的子問題。簡單地采用把大問題分解成子問題，并綜合子問題的解導(dǎo)出大問題的解的方法，問題求解耗時會按問題規(guī)模呈冪級數(shù)增加。為了節(jié)約重復(fù)求相同子問題的時間，引入一個數(shù)組，不管它們是否對最終解有用，把所有子問題的解存于該數(shù)組中，這就是動態(tài)規(guī)劃法所采用的基本方法?！締栴}】 求兩字符序列的最長公共字符子序列問題描述：字符序列的子序列是指從給定字符序列中隨意地（不一定連續(xù)）去掉若干個字符（可能一個也不去掉）后所形成的字符序列。令給定的字符序列X=“x0，x1，xm-1”，序列Y=“y0，y1，yk-1”是X的子序列，存在X的一

2、個嚴格遞增下標序列<i0，i1，ik-1>，使得對所有的j=0，1，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一個子序列。考慮最長公共子序列問題如何分解成子問題，設(shè)A=“a0，a1，am-1”，B=“b0，b1，bm-1”，并Z=“z0，z1，zk-1”為它們的最長公共子序列。不難證明有以下性質(zhì)：（1） 如果am-1=bn-1，則zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，zk-2”是“a0，a1，am-2”和“b0，b1，bn-2”的一個最長公共子序列；（2） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=am-1，蘊涵“z0，

3、z1，zk-1”是“a0，a1，am-2”和“b0，b1，bn-1”的一個最長公共子序列；（3） 如果am-1!=bn-1，則若zk-1!=bn-1，蘊涵“z0，z1，zk-1”是“a0，a1，am-1”和“b0，b1，bn-2”的一個最長公共子序列。這樣，在找A和B的公共子序列時，如有am-1=bn-1，則進一步解決一個子問題，找“a0，a1，am-2”和“b0，b1，bm-2”的一個最長公共子序列；如果am-1!=bn-1，則要解決兩個子問題，找出“a0，a1，am-2”和“b0，b1，bn-1”的一個最長公共子序列和找出“a0，a1，am-1”和“b0，b1，bn-2”的一個最

4、長公共子序列，再取兩者中較長者作為A和B的最長公共子序列。  求解：引進一個二維數(shù)組c，用cij記錄Xi與Yj 的LCS 的長度，bij記錄cij是通過哪一個子問題的值求得的，以決定搜索的方向。我們是自底向上進行遞推計算，那么在計算ci,j之前，ci-1j-1，ci-1j與cij-1均已計算出來。此時我們根據(jù)Xi = Yj還是Xi != Yj，就可以計算出cij。問題的遞歸式寫成：回溯輸出最長公共子序列過程： 算法分析：由于每次調(diào)用至少向上或向左（或向上向左同時）移動一步，故最多調(diào)用(m + n)次就會遇到i = 0或j = 0的情況，此時開始返回。返回時與遞歸調(diào)

5、用時方向相反，步數(shù)相同，故算法時間復(fù)雜度為(m + n)。  代碼： #include <stdio.h>#include <string.h>#define MAXLEN 100void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int cMAXLEN, int bMAXLEN)    int

6、0;i, j;        for(i = 0; i <= m; i+)        ci0 = 0;    for(j = 1; j <= n; j+)      

7、0; c0j = 0;    for(i = 1; i<= m; i+)            for(j = 1; j <= n; j+)            &#

8、160;       if(xi-1 = yj-1)                            cij = ci-1j-1 + 1;    

9、;            bij = 0;                        else if(ci-1j >= cij-1)    

10、                        cij = ci-1j;                bij = 1;   &#

11、160;                    else                            cij&

12、#160;= cij-1;                bij = -1;                        void PrintLCS(int&

13、#160;bMAXLEN, char *x, int i, int j)    if(i = 0 | j = 0)        return;    if(bij = 0)          

14、60; PrintLCS(b, x, i-1, j-1);        printf("%c ", xi-1);        else if(bij = 1)        PrintLCS(b, x, i-1, j

15、);    else        PrintLCS(b, x, i, j-1);int main(int argc, char *argv)    char xMAXLEN = "ABCBDAB"    char yMAXLEN = "BDCABA"    int bMAXLENMAXLEN;    int cMAXLENMAXLEN;    int m, n;        m = strlen(x);    n