平面向量與向量方法的應(yīng)用競賽輔導(dǎo)材料

1、1平面向量與向量的方法的應(yīng)用（一）（教師版）一、用向量表示三角形的心”（重心、內(nèi)心、垂心、外心）在:ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.三角形四心”的向量的統(tǒng)一形式：X是ABC的心二 XA XBXC = 0.引理：若X是:ABC內(nèi)的一點(diǎn)，貝y SXBC: SXAC: S XAB：XAXB斗=0. _.斗證明：這里只證明 XA .iX,XC =0二SXBC*SXAC: S嚴(yán)B（八均為正數(shù)）.作XM z XA,XN = XB,XP XC，則XM XNXP=0.容易JSXNP1| XN2證明點(diǎn)X為MNP的重心于是T TXB|XC|s in BXCTXN |XP|sin. NXP，所以1I

2、SXNPPvSX BC: SXAC: SXABS.XBC人卩vSMNP，冋理SXACSMNP，SXABSMNP，所取-SXBC，則二SXAC， -SXAB，S.XBCXSXACXBSXBAX -0 練習(xí)：，1.2.GGB=生=半是- ABC的aA b IB c IC 0sin2A OA sin2B OB sin2C OC = 0 =O是ABC的2 2 2心.i是AABC的_心.心.3.!_2OA = OB =OC：=O是匚AB4.H在ABC內(nèi)部，則tan A HA tanB HB tanC HC = 0二H是：ABC的 心HA HB二2HA BC HB AC HC AB H是ABC的當(dāng)你學(xué)完正

3、弦定理和余弦定理后，會(huì)有更多的表示方法.ABAC所在直線一定通過ABC的灣AC|AB諂C所在直線一定通過 衛(wèi)ABC的 _ABAC1所在直線一定通過ABC的| AB| cosB | AC | cosC已知A, B,C是坐標(biāo)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足T TT二（1- ）OA （1- QB，（T 2OC R），則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過ABC的T TTTHB HC二HC HA =H是h222是2ABC的心.心.5.6.7.心.8.OP-13_心.案：1.亠 2 .內(nèi)心.3 .外心.4 .垂心HA HB = HB士 T THA HB =|HA| |HB |cos BHA二- |HA| |

4、HB|cosCSH A毛又S.XBC心.心.HC = HC HA因?yàn)镠在-H j HaBn,同理CXA S.XACXB SXBAXC = 0，所以S.HAC-HHC tanB,（提示：H為ABCABC內(nèi)部，_ _2S嗇ABcOsCsin（180；-C）的垂心sin （180工）SHBC-HB HCta nA.223= 3【O A+O B+ OC七(AC BC所以AP+ BP+CP =h(CA+CB), 設(shè)CTch,則-C-C+ j=XCC),即3C=(1 -)C.因?yàn)镺D經(jīng) 過AB的中點(diǎn)，C, P,D三點(diǎn)共線，所以P的軌跡一定經(jīng)過ABC的重心.)二、三角形形狀的判定_* _1.O為ABC所在平

5、面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足(OB - OC)(OB OC - 2OA)二0,則三角形 形狀為三角形.1.解：由條件，得CB(OB2 2以ABAC) BC =0，且上| AB| | AC |AB| |AC| 2形.3 . 在ABC中彳P是BC邊的中點(diǎn)，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cAC aPA b PB，則心ABC的形狀為_.1b(AB -AC) =0,所以(ca亠bc0且a -b =0，所以a = b = c, 即卩ABC為等邊三角形.tan A H+tanB HB斗anC，HC =0). 5.內(nèi)心.6.重心.7.垂心.提示：設(shè)ACABAP =(| AB1O P O A O B OG( OC

6、)OA( - O C ) O B)BC = | cosB | AC | cosCBC | BC1=0) ) 8 .重心.提示：T T T I TT T 4OB-OA OC-OA) =0，即(AB-AC)(AB AC)=0，所 二AC，即|AB|=|AC |.所以ABC等腰三角形.AB AC T則MBG是_了AB2.解：設(shè)AD三角形+ AC，貝U AD為BAC的角平分線；又由AD BC二0得到 丄ABAC1AD _ BC，所以AB = AC.由得到.A = 60、，所以ABC為等邊三角|AB| |AC| 22.ACU,r r13.解：因?yàn)镻是BC邊的中點(diǎn)，所以cAC aPA bPB=cAC -

7、a(AB AC)2 a_b)ACAB.因?yàn)锳B與AC不共線，所以AB = AC =1, x = AB BM =12 2=xAB yAC,則 6 22 2若AD2.32242三、向量分解問題1.如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起.x =_, y =_ .1.解：不妨設(shè)AB二AC=1,則DE二BC二,2,BD =236.由于CA AB,所以過點(diǎn)D作AB的2 2垂線，與AB的延長線交于點(diǎn)M，則.BDM -45.vT T TADxAB yAC,5xy =2cosx亠cos(120 - ： ) =cos很亠；3 sin ： - 2sin( ) _ 2./.x亠y的6最大值是2.解法2：以點(diǎn)O為坐標(biāo)

8、原點(diǎn)，OA為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則1J32兀T T TB（,）.設(shè)C（sino（,coso（） （a引0,）,由OC=xOA+yOB可得,223_3.O豈ABC內(nèi)一點(diǎn)，AOB =150,CO _ AO,|OA戶1,|OB戶2,|OC戶3, 設(shè)OC = xOA +yOB，貝Ux + y =_.3.過點(diǎn)C作OB的平行線交AO的延長線于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作OA2.給定兩個(gè)長度為 1 的平面向量OA和OB,它們的夾角為120.如圖所示斗 C 在以 O 為圓心的圓弧AB上變動(dòng).若OC二xOA yOB,其中x,y R,貝yx y的最大值是解法1:設(shè)OC OAOCOB-I T T.AOC二：，由OC二xOA

9、 yOB可得，r 1 cos ： = x y,，即2cos(120 - ： ) - -1I2= xOA OA yOB OA,二xOA OB yOB OB.x y.A(1,0),1,-c o：s = x-尹,1 (cos ： ,sin :) =x(1,0) y(,2si,n y二213sin ：x y二cost13sin二3X = C 0 ：s3x y的最大值是2. 解法3：設(shè)- AOC線交OB于點(diǎn)E,|OE|=|DC卜y.1 _sin 60： sin(120* - ：)siny,2過點(diǎn)C作OB的平行線交OA于點(diǎn)匕過點(diǎn)C作OA的平行|OD |=x,O B 1 2 0在：DOC中，由正弦定理得亠品

10、.2巧.x = cossin ：,ysin ：,=CtT|OA = |OB| |OC#及OC =xOA + yOB可知，：O Asin :71x y =c os、3-s2ns i： n蘭,） x2 y的最大值是2., EOC =90； J以EC寸0匚6,26的平行線交BO的延 長線于點(diǎn)F,則.OEC m/BOf _r_f OE二6cos30； = 3、3,OF = 3OB,OE = -3. 3OA，所以O(shè)C二-3. 3O-3OB，所 以x二-3 3,y = -3, 所以x y二-3 .3-3.四、向量間的夾角（余弦值）或夾角范圍問題1.已知a,b都是非零向量，且a 3b與la-5b垂直，a-4

11、b與7a - 2b垂直， 與b的夾角.7a 16ab-15b =0,22?7a -30a b 8b =0b = 2a b且a2= 2a b,所以| a |=| b2a b，所以cos-2| a |b|(V2aT)21.解：依題意”3b)(55戶，所以Xa-4b) (7a -2 0.解得7夾角的范圍是1 T T1 i T T3解：S |OF | | FM |sin OFM |OF|FM|sin : OF , FM2OF,FM二-tan ： OF, FM -.因?yàn)閬A：:s3，所以22 21 tan OF M3所以=t v二所以向量OF與韻的夾角的43范圍是(二二.4 3_4 . jABHJ， A,

12、. B,. C的對(duì)邊分別為a,b,c，重心為G，若a G A bGB c0G則 =_ .T4.因?yàn)镚為ABC的重心，所以GA GB G0，所以aGA - bGB - cGCc)GA (b3c)GB =0，因?yàn)镚A與GB33TT因?yàn)槎?,二，所以卄32.在:ABC和：AEF中，BAB AE AC AF = 2，則EF與 解: 因?yàn)閼踟?BE)AC (AB BF) =2,T T T T TT2A A C B + A B.因?yàn)镋AB =1A=33亠1 36 AC AB =33 1 1,BE二-BF,所以2代丄1 +BF (AC AB) 1=2,即B F BC2.設(shè)EF與BC的夾角2| BF | |

13、BC | cos 2，即3cos v - 2，所以cos一 .3若2TAB (AB2是EF的中點(diǎn)，AB=EF與BC的夾角的余弦值等于B.,A+丘AC寧A所=1 , BC = 6,3.已知OFM的面積為S，且OF FM=1，若S,則向量OF與FM的2 211OF FM tan : 2-H-二aGA bGB c(-GA-GB)=(a不共線，所以a二bAB的中點(diǎn)為D,則C D丄A B所以1cos A c -22 _32所以nA =6CF8共線，所以存在唯-1 T TAF-a=二(AE -AF)=二(b-AF )，解得AFab，.31 + 43(1 +巴因?yàn)锳B與AC不共線，所以比較得，解得,1 +卩

14、23(1+門BFPFE)問題OA=(1,1),OB=(-1,一1),點(diǎn)P是拋物線y = x2 3 42(-3乞x乞1)= (X-1, X21),X2+3)42平面向量與向量方法的應(yīng)用(二)(教師版)一、平面向量基本定理與向量共線定理的應(yīng)用1 如圖，在ABC中，已知BD =2DC,AM =3MD,過點(diǎn)M作直線交AB、ACAB 2AC于P、Q兩點(diǎn)，貝U+-=AP. AQj 11AC = b，則BC AB b=a_1 .解：構(gòu)造基底AB = a,22BD BC (b-a),331AD AB BD =DC BC (b-a),3323斗a b,AM AD已 T S17 b2- a,AQ = AC =b,

15、因?yàn)辄c(diǎn)P、11AM =(1 m)AP - mAQ(mR),于是一ab=(1-m)，a mb.又a、42111112所以(1-m)，且，消去m，得1，即4，所以4242-b不共線,ABAP2 AC+-1242ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上靠近點(diǎn) 分點(diǎn)，AD與BE交于點(diǎn)F，求：AF與FD的長度之比; 的長度之比.AB二a,AC二b,因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以2 解：設(shè)1 1AD a b因?yàn)锳, F,D點(diǎn)共線，所以存在唯一實(shí)數(shù) AD匕a b，因?yàn)锽,F, E三點(diǎn).1AF所以AF AD,BF =3FE，所以=1,2FD二、數(shù)量積(或模長)的取值范圍斗最值)1 平面內(nèi)的向量(斗 、，上任意一點(diǎn)，貝

16、U AP BP的取值范圍是_TH2T T T,可設(shè)點(diǎn)P(x, x2+2)(廠生x蘭1)，則AP=OPOAAM三點(diǎn)共線，所以2 LAC|AP| |AQ| -丿使得9=x 5x_2 J為x -3,1，所以X20,9，所以AP BP 2,128點(diǎn)評(píng)：將AP BP表示為關(guān)于x的函數(shù)式，針對(duì)該函數(shù)式及x匕3,曙求函數(shù)的值域多數(shù)情況下所得到的函數(shù)與二次函數(shù)有關(guān)，如本例令t =x，則AP Bt25t 2(t 0, 9) 注意從函數(shù)t=x2角度來確定t 0, 9，不要得出錯(cuò)誤結(jié)論1,92.已知a、b是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且| c |=13,ca二3,c，b二4，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)t1、t2,| c tia 1

17、2b |的最小值是_.2.解： 依題意，| a |=| b | = 1， 且ab =0,于是| c ba -t2b f = c2- tfa2- t； b2-2tiC a2t2Cb 2tit2a b = tt； -6ti-8t2169=魚-3)2住-4)2144 _ 144,所以|c-ta-t2b|_12，當(dāng)且僅當(dāng)t1=3、t2=4時(shí)上式取得等號(hào)，故所求的最小值為12，選C.在長方形ABCD中，AB二乙6,AD3,0為AB的中點(diǎn)，若P是線段DO3 3貝U (PA + PB) PD的最小值是_.|0D|=X|OA|2 |AD= 1.因?yàn)閬A為B巴中 點(diǎn)，所以x,(PA + PB) PD=2P0 PD

18、2111 一 .22.2 上動(dòng)點(diǎn)，器題意得IPA十P B2 PO設(shè)| PD |=x(0 x0)，則| PO|=1 -2x(1 - x) = 2(x -1)，故所求最小值為2 2 2=2| P0| | PD|cos180三、求面積比1 設(shè)DABC的邊AB上一點(diǎn)，PABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足AB,4SAAPDSAABC1 .解：連PD，貝y DP =AP -AD = ，5BC ，所以DP / BC，故ADP二/B，故!|AD=_1-AB BC sinNB2點(diǎn)評(píng)：由DP =2SAPDSABCDP sinNADP323-1.故選A.45102BC且DP與BC沒有公共點(diǎn)推出DP / BC,再利用同位角相等和面

19、51積公式SabsinC而使問題簡捷獲解.22.設(shè)O點(diǎn)在ABC的內(nèi)部，且有OA 2OB 3OC = 0,2.解：延長OB至E，使OE二2 OB, T T T 彳OA OE OF=0，所以O(shè)為AEF的重心.延長0C至顯然SAOC求注=_.SAOCF,使得OF二3OC,則11SAOFSAEF.同理39SAOB1 _ 1 _ 1亠SAOESAEF,SBOCSEOF2 6一 -61 118SAEF，所以S蟲BC = 3SEF=3SOC.設(shè)點(diǎn)P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，記學(xué)AB1,SPBC二SgcS.ABC11f(P) =(1, 2, 3).若AQ =3AB2AC，則f (Q)321 1 AE=AB AF =

20、AC3，2，3 .解：如圖，所以AQ =AE AF,FQ / AB,A5101)11EQ / AC,所以點(diǎn)Q到AB的距離是點(diǎn)C到AB的距離的1丄，點(diǎn)Q到AC的距離是點(diǎn)B到2AC的距離的1,所以電13SABCSQACSABCS.ABCS.QABS QACSABC， . 1“、“111、=1鮎幾3.所以f（Q）=（,）.62 6 3四、求參數(shù)或參數(shù)和的取值范圍或最值T 1四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD =3，點(diǎn)OP=O（OC+BOD （O，阮R）, Uo+B的最大值等于1.解：顯然點(diǎn)P在線段CB上 （不含點(diǎn)B）上無法取得最大值，點(diǎn)OB = OC 0A,OD = 3OA，所以O(shè)P =：1-S

21、QBC2 JP為BOD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn),P在線段BD上才OC ：OD】fyrf 1 r nrrfya二：(OB OA)：OD =：(OB OD)：OD = : OB ( )OD點(diǎn)B, P, D三33有可能取得最大值.因?yàn)?aa點(diǎn)共線時(shí)，1，所以：:=1，由幾何圖形知卅三0,1，所以二的最334大值為4，當(dāng)P位于點(diǎn)B時(shí)取得.3IT T2 已知點(diǎn)G是ABC的重心，點(diǎn)P是GBC內(nèi)一點(diǎn)，若AP二ABI AC（人H R）,貝U九+ 4 的取值范圍是_.,ITT2.解：因?yàn)辄c(diǎn)G是ABC的重心，點(diǎn)P是GBC內(nèi)一點(diǎn)，若AP = ABAC,dAC =卩 化十 4 =S血AB+S舌AC = 1SABCSABCS

22、A BC所以.0,.0,SPA = ,SABCP到BC的距離越大，SBC越大,S.ABC1P與G場合時(shí) -1 -3 越小.過點(diǎn)P作BC的平行線,淀.而點(diǎn)SABC觀察可知，當(dāng)點(diǎn)23，2點(diǎn)，所以I的取值范圍是（一，1）.33.設(shè)兩個(gè)單位向量q、e，滿足| e12、6卜1,e1、的夾角為60，若向量2te17e2與向量e1te的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.22l、i3 .解：由條件，得0=4,e2= 1,0=21 cos601，所以（2娼7） （e1te2）=2t& （2t27）e,e27te2=2t215t 7.由2t215t7=0121解得t =-7,t，數(shù)形結(jié)合可得不等式2t 15

23、t0的解為-7 : t.設(shè)2 22t +7e2=九（ee2）0）,因?yàn)?、e2不共線，所以2t=九且7 = th，得到14?. 14-d4,t，即當(dāng)t時(shí)向量2tq 7e2與向量te2的夾角為二.故2 2實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-7,-一比-42 2五、平面向量與平面幾何的交匯問題當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí) J=1.因?yàn)辄c(diǎn)P是GBC內(nèi)一1)12131.已知O, H為ABC的外接圓的外心、垂心，求證： I t r IOH =OA OB OC.證明：延長BO交:ABC的外接圓于D,連結(jié)DA DC,貝U DA丄AB，CD丄BC，所以DA/CH，T T T T T=OA+AH)I TDC/CH,所以 竺二DC， 所以o

24、生OAAH =OA DC = OA DO OC = OAOB OC.2.已知ABC內(nèi)接于L O,AB二AC,D為AB的中點(diǎn)，證明：設(shè)OA = a,OB =b,OC =C，因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),1E為ACD的重心，所以O(shè)D (a b),OE =OD DE21 1- =OD (DC DA) =OD -(OC -OD OD - OB)311(a b) (c -b)-3呻1呻 2 -.1呻11 11所以O(shè)ECD=( a b c)( a b-c)2“-“1叫21叫2D_ 121 ., a bc.2E為AACD的重心.求ib ic,CD云OCi叫21T .c a (bc)(因?yàn)閨a|2=|b|2=|c|=R

25、)361叫2121叫21a b c a b -41233因?yàn)锳B = AC,OB =OC，所以AO為BC的中垂線，所以3 21 a3,2a (b-c) =0.所以O(shè)E CD=0，故OE _CD.3 設(shè)向量a,b滿足：|a |=3,| b|=4,ab二0.以a,b,a-b的模為邊長構(gòu)成 三角形，則它的邊與半徑為1的圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為_.3.解：.Ta| =3,| b|=4,a b = 0,|a- b|二二a2b2= = 32 42= 5.a,b,a -b的模為邊長構(gòu)成三角形是一個(gè)直角三角形,3漢4其內(nèi)切圓半徑-k當(dāng)半徑為1的圓所處的位置正好是三角形的內(nèi)切圓位置時(shí)， 三角形與圓只有三個(gè)交點(diǎn)， 當(dāng)

26、圓的位置偏 離后使得三角形有兩條邊與圓相交時(shí)，能實(shí)現(xiàn)4 個(gè)交點(diǎn)的情況，但 5 個(gè)以上的交點(diǎn)不能實(shí)現(xiàn).因此公共點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為4個(gè).1415平面向量與向量的方法的應(yīng)用（一）（學(xué)生版）一、用向量表示三角形的心”（重心、內(nèi)心、垂心、外心）在:ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.三角形四心”的向量的統(tǒng)一形式：X是.ABC的心二T t T T T THA HB = HB HCHA H是ABC的_心.2222 2 2HA BC =HB AC = HC ABH是ABC的_心.當(dāng)你學(xué)完正弦定理和余弦定理后，會(huì)有更多的表示方法.AB AC5.所在直線一定通過ABC的_心.AB|C|6.AB _AC所在直

27、線一定通過ABC的_心.ABAC7.1所在直線一定通過ABC的_心.|AB| cosB | AC | cosC8 .已知A, B,C是坐標(biāo)平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足1O P （1- QA，（1- QB，（T2OC R），則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過ABC的弓理若XABC內(nèi)的一點(diǎn)，則S-XBC: SXAC: SXAB2 ：XAXB _XC =4_.斗證明：這里只證明，XA r XB XC = 0 =均為正數(shù)).作XlXA,-1XB,XPJSXNP1| XN2證明點(diǎn)X為MNP的重心于是SXASXAB：(L,.；，貝U XM XN XP=0.容易T TXB|XC|s in BXCTXN |

28、XP|sin. NXP，所以1ISXNP HzSX BC: SXAC: SXABS.XBC卩v，冋理SXACSMNP，SXABSMNP，所取，-SXBC， y 二SXAC, 練習(xí)：，L L-S.XAB,SXBCXASXACXBSXBAX -0.1.2.GGB gC=出=G是- ABC的aA b IB c IC 0sin2A OA sin2B OB sin2C OC = 0：=O是ABC的ABC的_.心.I是:ABp的_心.心.3.2 2 2OA OB OC O是4.H在二ABC內(nèi)部，則tanA HA tanB HB tanC HC = 0：=H是二ABC的 心.怎JXBXC163_心.、三角形

29、形狀的判定171.O為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 形狀為_三角形.3. 在ABC中.，P是BC邊的中點(diǎn)，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，ccAC aPA b PB，貝U MBC的形狀為_.三、向量分解問題_1.如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起.若AD =xAB +yAC，貝H x=_,y =_2.給定兩個(gè)長度為 1 的平面向量0A和0B,它們的夾角為120如圖所示 C 在以 0 為圓心的圓弧AB上變動(dòng)若OC =xOA yOB,其中x, y R,則x y的最大值是3.O :ABC內(nèi)一點(diǎn)，AOB =150：,CO _ AO,|OA卜1,|OB|=2, 設(shè)OC二xOAyOB，貝U x y二_.四、向量間的夾角（余弦值）或夾角范圍問題1.已知a,b都是非零向量，且a+ 3b與la-5b垂直，a-4b與7a - 2b垂直，求a與b的夾角.芻 在ABp和-:AEF中,_B是EF的中點(diǎn)，AB二EF = 1,BC = 6,CA=33, 若AB AE AC AF =2，則EF與BC的夾角的余弦值等于_.3.已知OFM的面積為S,且則向量OF與FM的2 2夾角的范圍是_4.,ArBrC的對(duì)邊分別為a,b,c,重心為G,若a G A b GB c0G則 乂A=.2.已知非零向量則iABC是_三角形.AC滿足條件