幾種常見的放縮法證明不等式的方法

1、12n(2n -1)bn的前n項和為TnFor pers onal use only in study and research; not for commercialuse幾種常見的放縮法證明不等式的方法一、放縮后轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。例 1.1.bn滿足：bi_1,bn 1二畀-（n-2）bn3（i i） 用數(shù)學(xué)歸納法證明：bn_n1 1 1 -+.- +3 b|3 b23 d解: (1)(1)略bm 3弋(0-門)2(0 3)又bn_n-bn 13一2(bn3)，nN*迭乘得：bn2nd(bi 32n11bn3點評：把握“bn3”這一特征對“bn廣02-（n - 2）g，3”進行變形，然后去掉

2、一個正項，這是不等式證明放縮的常用手法。這道題如果放縮后裂項或者用數(shù)學(xué)歸納法，似乎是不可能的，為什么？值得體味！二、放縮后裂項迭加* 1例 2 2數(shù)列an,a*= （T）n，其前n項和為S*n(2)TnTn：11-1-2223241 1 1解：=1 +- +2341 _ 12n1 2nb；1(1-12n(2 n-2)4 n-1 n1 1Y-1)J1J12 30 4 3 4 4 5 64n1n點評：本題是放縮后迭加。放縮的方法是加上或減去一個常數(shù)，也是常用的放縮手法。值得注意的是若從第二項開始放大，得不到證題結(jié)論，前三項不變，從第四項開始放大， 命題才得證，這就需要嘗試和創(chuàng)新的精神。K例 3.3

3、.已知函數(shù)f(x)=axc(a 0)的圖象在(1,f(1)處的切線方程為x(1)用a表示出b,c(2)若f (x)n x在1, ：)上恒成立，求a的取值范圍1 1 1n(3 3)證明：1亠亠亠:一 .一|n(n 1)2 3 n2( n+1)解：(1 1)( 2 2)略1(3 3)由(IIII )知：當(dāng)a】：一時,有f (x) _ In x(x _ 1)2111令a ,有f (x)(x一)_lnx(x_1).22x11且當(dāng)X 1時，(x - ) ln x.2xk +1若，瓷+11k _1k1“丄1、“1 v,令x,有l(wèi)n:- -(1-一)一(1 -),kk 2 k k+12 kk+11 1 1即

4、ln(k 1) -In k(), k =1,2,3 , n.2 k k +1將上述 n n 個不等式依次相加得整理得當(dāng)n _2時,1S2T-2ln(n 1) 1(112232(n 1)n點評：本題是 20102010 湖北高考理科第 2121 題。近年，以函數(shù)為背景建立一個不等關(guān)系, 然后對變量進行代換、變形，形成裂項迭加的樣式，證明不等式，這是一種趨勢，應(yīng)特 別關(guān)注。當(dāng)然，此題還可考慮用數(shù)學(xué)歸納法，但仍需用第二問的結(jié)論。ln(n 1)n2(n 1)(1)(2)(3)放縮后迭乘1= 1,3n 1(1 4a16求a2,a3n124an)(n N ). .令- -22諾骨牌效應(yīng)。只是求n項和時用迭

5、加，求n項乘時用迭乘。以下無正文僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fur Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO員BKOgA.nrogeHK

6、O TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHM僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途以下無正文For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fur den pers?nlichen fdierStForschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementades fins personnelles; pasades fins commerciales.TO員BKOgfljiiogeHKO TOpMenob3ymm