考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班課件

1、考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班第七章一、一、 向量代數(shù)向量代數(shù) 二、空間曲面與曲線二、空間曲面與曲線空間解析幾何與向量代數(shù) 三、空間的平面與直線三、空間的平面與直線考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班rxiyj zk 1.直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)直角坐標(biāo)系與向量的坐標(biāo)向徑向徑 11(1)點(diǎn)點(diǎn) M有序數(shù)組有序數(shù)組( , , )x y z 11也稱為點(diǎn)也稱為點(diǎn) M 的的坐標(biāo)坐標(biāo).,.x y zr （）稱稱為為向向徑徑 的的坐坐標(biāo)標(biāo)xyzo ( , , )M x y zxP1MyQzRijkr (2)向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)111222(,)(,)M xy zN xy z設(shè)設(shè)，則則MNONOM222111()x iy jz k

2、xiy jzk 212121()()()xx iyy jzz k (,).xyza a aMN 稱稱其其為為向向量量的的坐坐標(biāo)標(biāo)MN 11(,)xyzaaa212121(,).xx yy zz kajaiazyx , ,xyza i a j a kax y z 分分別別是是 在在軸軸上上的的分分向向量量. .一、向量代數(shù)一、向量代數(shù)MoNMNON OM 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班22212212121()()() .M Mxxyyzz 距離公式：距離公式：2.模模222|,|(,)xyxzyzaaaaaaaa 設(shè)設(shè)，則則3.3.向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式(,)xyzaaaa

3、2220 xyzaaa 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa 222cos.zxyzaaaa oyzxa Mxayaza方向余弦的特征方向余弦的特征:1coscoscos222 aaa 0).cos,cos,(cos ),(aaaaaazyx 4.(,).xyzaaaa 與與同同向向的的單單位位向向量量考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班ABjuPr cos| AB 5.投影定理投影定理 )(Pr21aaju 1Praju.Pr2ajuPr()uja Pruj a ajbPr bjaPrcos,aa b ，cos,.ba b Prxxaj a Pryyaj a Przza

4、j a 設(shè)設(shè)，),(zyxaaaa ，),(zyxbbbb (,), ,xyzxyzaa a aa a aax y z 所所以以，時(shí)時(shí)，分分別別是是 在在軸軸上上的的投投影影uAB B aaa 0).cos,cos,(cos ),(aaaaaazyx 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班6.線性運(yùn)算：線性運(yùn)算：設(shè)設(shè)),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbababa , kajaiazyx , kbjbibzyx bakbajbaibazzyyxx)()()( (,).xyzaaa a 是是一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)xxba yyba zzba (,)yzxaaaaeaaa 1.aaea ab

5、;xxyyzzab ab abba 0,a 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)ba xxba yyba zzba考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班7.向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積8.向量的向量積向量的向量積（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)數(shù)量）（結(jié)果是一個(gè)向量）（結(jié)果是一個(gè)向量）| |sinabab ，a b | | |cosa b |Prbbj a |Pr.aaj b xxyyzza ba ba b 且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則,aba b xyzxyzijkabaaabbb ibbaazyzy xzxzaajbb kbbaayxyx 0 xxyyzza ba ba b zzyyxxbababa ba)2(/0 ba0 baba )1

6、(ab 9.向量位置關(guān)系向量位置關(guān)系:點(diǎn)積的運(yùn)算律：點(diǎn)積的運(yùn)算律：(1) 交換律交換律(2) 結(jié)合律結(jié)合律( ,) 為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)a bb a ()()()ababa b () ()()()ababa b (3) 分配律分配律()abca cb c 叉積的運(yùn)算律：叉積的運(yùn)算律：(2) 分配律分配律(3) 結(jié)合律結(jié)合律()abca cb c ()()()ababa b (1) a bb a -反交換律反交換律),(zyxaaaa ),(zyxbbbb 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班223( 2)2 2 3 cos34 17 例例1. 已知向量已知向量的夾角的夾角且且解：解：3,4 ,ab |.ab 求求|

7、2,a |3,b 2ab () ()abab a a 2 a b b b 222cosaabb 17ab 2a aa 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班1 ABCD在頂點(diǎn)為在頂點(diǎn)為三角形中三角形中, (1, 1,2),A (1,1,0)B(1,3,1)C 和和的的求求 AC 邊上的高邊上的高 BD .解：解：( 0,4,3)AC ( 0,2,2 )AB 三角形三角形 ABC 的面積為的面積為 例例2.向量積的幾何意義：向量積的幾何意義： sinbaba hb ab即：即： 向量積向量積ba 的的模等于模等于以以ba,為鄰邊的為鄰邊的平行四邊平行四邊形的面積形的面積.224( 3)5, |AC12S |AC

8、|BD 1152|BD 2|5BD而而故有故有043022ijk 1|2SAC AB 2221( 2)002 ( 2,0,0) 12考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班例例3. ?),0(cbacaba是是否否等等于于問(wèn)問(wèn)已已知知 , 0: caba有已知得有已知得 ()0abc 即即 ()abc ? cb不不一一定定等等于于解解:注意：注意：向量的運(yùn)算與標(biāo)量的運(yùn)算是不一樣的向量的運(yùn)算與標(biāo)量的運(yùn)算是不一樣的,不能隨不能隨 意的套用意的套用.思考：思考： ?),0(cbacaba是否等于是否等于問(wèn)問(wèn)已知已知 /()abc .bc 不不一一定定等等于于()0abc 提示：提示：abba 如如：考研數(shù)學(xué)D7考研基

9、礎(chǔ)班二、空間曲面與曲線二、空間曲面與曲線1.空間曲面空間曲面三元方程三元方程( , )0F xy z 球面球面2222000()()()xxyyzzR 柱面柱面-二元方程二元方程如如,曲面曲面( ,)0F xy 表示母線平行表示母線平行 z 軸的柱面軸的柱面.又如又如,圓柱面，橢圓柱面圓柱面，橢圓柱面, 雙曲柱面雙曲柱面, 拋物柱面等拋物柱面等 .L222zRxyyxzRo2222Rzyx 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班圓柱面圓柱面222xyR222xyxxzyoxyzo考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班xozyxozyyx22 xy 22,2yzxyyx 2yz 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班z0),(22 zyxf.

10、 0),(22 zxyf 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面( , )00f y zx 2222()za xy 2221azxy 時(shí)時(shí)，考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班xyz222yxz 22zxyxyz考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面22zxyoyzx222zxy 22zxy xyozxyoz2考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班ozyx1) 橢球面橢球面2222221 ( , ,)xyza b cabc 為為正正數(shù)數(shù)2222xyzpq ( p , q 同號(hào)同號(hào))2) 橢圓拋物面橢圓拋物面zxyoxyzo0,0pq 0,0pq 常用的二次曲面及其方程常用的二次曲面及其方程考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班或參數(shù)方程或參數(shù)方程2.空間曲

11、線空間曲線三元方程組三元方程組(, )0F xy z (, )0G xy z ( )xx t ( )yy t ( )zz t 設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線( , , )0( , , )0F x y zG x y z 消去消去 z得投影柱面得投影柱面( , )0,H x y 得得C 在在xoy 面上的投影曲線面上的投影曲線與與xoy 面方程聯(lián)立面方程聯(lián)立 求投影曲線求投影曲線消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程消去消去y 得得C 在在zox 面上的投影曲線方程面上的投影曲線方程( , )0H x y 0z ( , )0R y z 0 x ( , )0T x z 0y 考

12、研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班例例1. 將下列曲線化為參數(shù)方程表示將下列曲線化為參數(shù)方程表示:6321) 1 (22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解 (1) 根據(jù)第一方程引入?yún)?shù)根據(jù)第一方程引入?yún)?shù) , txcostysin)cos26(31tz(2) 將第二方程變形為將第二方程變形為,)(42222aayx故所求為故所求為得所求為得所求為txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t2229(3)xyzyx 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班oyzx22zxy22,1zxyxyz 221,xyxy221.0 xyxyz 例例2.求曲線求曲線繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)的曲面與平面軸旋轉(zhuǎn)

13、的曲面與平面 的交線在的交線在 xoy 平面的投影曲線方程平面的投影曲線方程. 1xyz 解：解：旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為交線為交線為此曲線向此曲線向 xoy 面的投影柱面方程為面的投影柱面方程為 所以所以 此曲線在此曲線在 xoy 面上的投影曲線方程為面上的投影曲線方程為 2zy 0 x ,它與所給平面的它與所給平面的考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班zxyo1C如如:所圍的立體在所圍的立體在 xoy 面上的投影區(qū)域?yàn)槊嫔系耐队皡^(qū)域?yàn)?上半球面上半球面和錐面和錐面224zxy 223()zxy 2210 xyz 在在 xoy 面上的投影曲線面上的投影曲線22224:3()zxyCzxy 二者交線二者

14、交線221,0.xyz所圍圓域所圍圓域:二者交線在二者交線在xoy 面上的投影曲線所圍區(qū)域面上的投影曲線所圍區(qū)域 .消去消去 z 得投影柱面得投影柱面221,xy考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班空間平面的方程空間平面的方程1)一般式一般式:2)點(diǎn)法式點(diǎn)法式:3)截距式截距式:0AxByCzD 222(0)ABC1xyzabc1. 空間直線與平面的方程空間直線與平面的方程000()()()0A xxB yyC zz 三、空間的平面與直線三、空間的平面與直線000:(,)M xyz點(diǎn)點(diǎn):( ,)nA B C 法法向向量量xyzon Mxyzoabc0AxByCzD 平面平面 (法向量是法向量是 )( ,)n

15、A B C (0)abc 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班一般式一般式:對(duì)稱式對(duì)稱式:參數(shù)式參數(shù)式:1111222200A xB yC zDA xB yC zD 000 xxmtyyntzzpt 000 xxyyzzmnp222(0)mnp xyzosL0M M 000(,)x y z(, ,)sm n p xyzo1 2 L空間直線的方程空間直線的方程為直線的方向向量為直線的方向向量.0000(,)M xy z為直線上一點(diǎn)為直線上一點(diǎn); (, ,)sm n p 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班面與面的關(guān)系面與面的關(guān)系平面平面平面平面2.線面之間的相互關(guān)系線面之間的相互關(guān)系),( , 0:111111111CBA

16、nDzCyBxA),( , 0:222222222CBAnDzCyBxA21) 1 (0212121CCBBAA21/)2(212121CCBBAA21nn 21/ nn(3)夾角公式夾角公式:1212cosnnnn 兩平面的位置關(guān)系兩平面的位置關(guān)系 相交相交平行平行 斜交斜交直交直交重合重合平行但不重合平行但不重合21nn 21/ nn2121cosnnnn 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班,1111111pzznyymxxL：直線直線,2222222pzznyymxxL：線與線的關(guān)系線與線的關(guān)系直線直線),(1111pnms ),(2222pnms 0212121ppnnmm212121ppnnmm

17、021ss12(1)LL 12(2)/LL021ss21ss 21/ss(3)夾角公式夾角公式:1212cosssss 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班平面平面:面與線間的關(guān)系面與線間的關(guān)系直線直線:),(, 0CBAnDCzByAx),(,pnmspzznyymxxCpBnAm(1)L (2)L / 0CpBnAm0 ns0nssn /sn(3)夾角公式：夾角公式：sins nsn 線面的位置關(guān)系線面的位置關(guān)系 相交相交平行平行 斜交斜交直交直交線在面內(nèi)線在面內(nèi)平行但不重合平行但不重合/snsins nsn sn sn 且有公共點(diǎn)且有公共點(diǎn)考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班3. 相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題相關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題(1)

18、平面束平面束, 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA0)()(2221111 DzCyBxADzCyBxA 22222:0.A xB yC zD 21, 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班(2)點(diǎn)點(diǎn)的的距離距離為為000AxByCzD 222ABC到平面到平面 ：A x+B y+C z+D = 00000(,)Mxyzd0M1Mn1010PrjnM MndM Mn 1111111(,)0Mxy zAxByCzD 10M Mn 010101()()()A xxB yyC zz 000AxByCzD 2.000222 AxByCzDdABC 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班0000(,)Mx

19、y z到到直線直線的的距離距離111:xxyyzzLmnp 為為(3) 點(diǎn)點(diǎn)d(,)sm n p 1111(,)M x y z0000(,)M x y zL01M Msds ijk 2221mnp 101010 xxyyzz mnp考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班 （4）平面）平面 與各坐標(biāo)平面的夾角與各坐標(biāo)平面的夾角，實(shí)際上實(shí)際上是與各是與各坐標(biāo)軸的夾角坐標(biāo)軸的夾角. 實(shí)際上實(shí)際上是是 的法向量的法向量 的三的三個(gè)方向角個(gè)方向角. n ( ,)nA B C 設(shè)設(shè)則則222cosBABC 222cosCABC 222cosAABC n xyzo考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班234112xyz 例例1. 求直線求

20、直線與平面與平面260 xyz 的交點(diǎn)的交點(diǎn) . 解解: 化直線方程為參數(shù)方程化直線方程為參數(shù)方程代入平面方程得代入平面方程得 1t 從而確定交點(diǎn)為從而確定交點(diǎn)為（1，2，2）.2342xtytzt t2(2) (3) (4 2 ) 60ttt 經(jīng)驗(yàn)：計(jì)算線與面，線經(jīng)驗(yàn)：計(jì)算線與面，線與線的交點(diǎn)時(shí)，一般用與線的交點(diǎn)時(shí)，一般用直線的參數(shù)式較簡(jiǎn)單直線的參數(shù)式較簡(jiǎn)單.考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班例例2. 研究以下兩平面的位置關(guān)系：研究以下兩平面的位置關(guān)系：1(2, 1,1),n 2( 4,2, 2)n 211422 兩平面平行兩平面平行1(1,1,0)M所以所以 兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合210

21、,42210 xyzxyz12/nn2(1,1,0)M 又又解解:又如又如直線直線:L.153243 zyx: 10 xyz 平平面面4,3,1s （）1, 1,1n （）0sn sn/L 線在面上嗎？線在面上嗎？考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班 n1ns 例例3. 設(shè)一平面平行于已知直線設(shè)一平面平行于已知直線 且垂直于已知平面且垂直于已知平面7430,xyz求該平面法線的求該平面法線的的方向余弦的方向余弦.解解: 已知平面的法向量已知平面的法向量求出已知直線的方向向量求出已知直線的方向向量1(7,1, 4)n 201111ijks (1 , 1 , 2) 取所求平面的法向量取所求平面的法向量1nsn112714ijk 2(3, 5,4)3cos,50 54cos, cos5050 所以所以20 xz50 xyz 考研數(shù)學(xué)D7考研基礎(chǔ)班例例4. 求直線求直線1010 xyzxyz 在平面在平面上的投影直線方程上的投影直線方程.解：解：已知直線與已知平面的交點(diǎn)為：已知直線與已知平面的交點(diǎn)為：11(0,)22M11011xyzxyz 0 xyz則過(guò)點(diǎn)則過(guò)點(diǎn)P與已知平面與已知平面(0,0, 1)P 在在直直線線上上另另取取一一點(diǎn)點(diǎn)，PM垂直的直線方程為垂直的直線方程為1111xyz xy 1yz0 xyz1 12(,)3 33N N 10 xyz10 xyz0 xyz112