點直線平面之間的位置關(guān)系練習(xí)題(共32頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.若直線a不平行于平面，則下列結(jié)論成立的是（ ）A. 內(nèi)所有的直線都與a異面； B. 內(nèi)不存在與a平行的直線；C. 內(nèi)所有的直線都與a相交； D.直線a與平面有公共點.2.已知兩個平面垂直，下列命題一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的任意一條直線；一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面的無數(shù)條直線；一個平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個平面；過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線，則垂線必垂直于另一個平面.其中正確的個數(shù)是（ ） A.3 B.2 C.1 D.03.空間四邊形ABCD中，若，則與所成角為A、 B、 C、

2、D、4. 給出下列命題：（1）直線a與平面不平行，則a與平面內(nèi)的所有直線都不平行；（2）直線a與平面不垂直，則a與平面內(nèi)的所有直線都不垂直；（3）異面直線a、b不垂直，則過a的任何平面與b都不垂直；（4）若直線a和b共面，直線b和c共面，則a和c共面其中錯誤命題的個數(shù)為（ ） （A）0 （B） 1 （C）2 （D）35正方體ABCD-A1B1C1D1中，與對角線AC1異面的棱有（ ）條 A 3 B 4 C 6 D 8 ABCDA1B1C1D16. 點P為ABC所在平面外一點，PO平面ABC，垂足為O，若PA=PB=PC，則點O是ABC的（ ） （A）內(nèi)心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心7.

3、如圖長方體中，AB=AD=2，CC1=，則二面角 C1BDC的大小為（ ） （A）300 （B）450 （C）600 （D）9008.直線a,b,c及平面,下列命題正確的是（ ）A、若a，b,ca, cb 則c B、若b, a/b 則 a/ C、若a/,=b 則a/b D、若a, b 則a/b9.平面與平面平行的條件可以是（ ）A.內(nèi)有無窮多條直線與平行； B.直線a/,a/C.直線a,直線b,且a/,b/ D.內(nèi)的任何直線都與平行10、 a, b是異面直線，下面四個命題：過a至少有一個平面平行于b； 過a至少有一個平面垂直于b；至多有一條直線與a，b都垂直；至少有一個平面與a，b都平行。其中

4、正確命題的個數(shù)是（）選擇題答題表題號12345678910答案二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.已知直線a/平面，平面/平面，則a與的位置關(guān)系為 . 12已知直線a直線b, a/平面,則b與的位置關(guān)系為 .ABCP13如圖，ABC是直角三角形，ACB=，PA平面ABC，此圖形中有 個直角三角形14.、是兩個不同的平面，m、n是平面及之外的兩條不同直線,給出四個論斷： m n m n 以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：_.三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分）PABC15如圖，PA平面ABC，平面PAB 16在三棱錐S-A

5、BC中，已知AB=AC，平面PBC 求證：ABBC O是BC的中點，平面SAO平面ABCABOCS求證：SAB=SAC17如圖，PA平面ABC，AEPB，ABBC，AFPC,PA=AB=BC=2（1）求證：平面AEF平面PBC；（2）求二面角PBCA的大??；（3）求三棱錐PAEF的體積.ABCPEF參考答案1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C11.平行或在平面內(nèi)； 12. 平行或在平面內(nèi)； 13.4； 14.若則17.（2）45°第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系一、選擇題1 給出下列關(guān)于互不相同的直線m、l、n和平面、的四個命題：若；若

6、m、l是異面直線，；若；若其中為假命題的是ABCD2.設(shè)為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題：若，則；若，則；若，則；若，則其中真命題的個數(shù)是 A1 B2 C3 D43已知m、n是兩條不重合的直線，、是三個兩兩不重合的平面，給出下列四個命題：若； 若；若；若m、n是異面直線，。其中真命題是A和B和C和D和4已知直線及平面，下列命題中的假命題是 A若，則. B若，則. C若，則. D若，則.5在正四面體PABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，下面四個結(jié)論中不成立的是 ABC平面PDF BDF平面PAE C平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC6有如下三個命題

7、：分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線；垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線；過平面的一條斜線有一個平面與平面垂直其中正確命題的個數(shù)為A0 B1 C2 D37下列命題中，正確的是A經(jīng)過不同的三點有且只有一個平面B分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線C垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線D垂直于同一個平面的兩個平面平行8已知直線m、n與平面，給出下列三個命題： 若 若 若 其中真命題的個數(shù)是A0 B1 C2 D39已知a、b、c是直線，是平面，給出下列命題： 若；若；若；若a與b異面，且相交； 若a與b異面，則至多有一條直線與a，b都垂直. 其中真命題的個數(shù)是A1B2C3D410過三棱柱

8、任意兩個頂點的直線共15條，其中異面直線有A18對 B24對 C30對 D36對11正方體中，、分別是、的中點那么，正方體的過、的截面圖形是A三角形 B四邊形 C五邊形 D六邊形12不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有A3個 B4個 C6個 D7個13設(shè)為平面，為直線，則的一個充分條件是ABC D14設(shè)、 為兩個不同的平面，l、m為兩條不同的直線，且l，m，有如下的兩個命題：若，則lm；若lm，則那么A是真命題，是假命題 B 是假命題，是真命題C 都是真命題 D都是假命題15對于不重合的兩個平面與，給定下列條件：存在平面，使得、都垂直于；存在平面，使得、都平行于；內(nèi)有不共線的三點

9、到的距離相等；存在異面直線l、m，使得l/，l/，m/，m/，其中，可以判定與平行的條件有A1個B2個C3個D4個二、填空題1已知平面和直線m，給出條件：；.（i）當(dāng)滿足條件 時，有；（ii）當(dāng)滿足條件 時，有（填所選條件的序號）2在正方形中，過對角線的一個平面交于E，交于F，則 四邊形一定是平行四邊形 四邊形有可能是正方形 四邊形在底面ABCD內(nèi)的投影一定是正方形 四邊形有可能垂直于平面以上結(jié)論正確的為 （寫出所有正確結(jié)論的編號）3下面是關(guān)于三棱錐的四個命題：底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐底面是等邊三角形

10、，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐側(cè)棱與底面所成的角相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐其中，真命題的編號是_（寫出所有真命題的編號）4已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題：若則 若則若,則m、n是兩條異面直線，若則上面命題中，真命題的序號是_(寫出所有真命題的序號)5 已知m、n是不同的直線，是不重合的平面，給出下列命題： 若，則平行于平面內(nèi)的任意一條直線 若則 若,則若,則 上面命題中，真命題的序號是_(寫出所有真命題的序號)6連接拋物線上任意四點組成的四邊形可能是 （填寫所有正確選項的序號）菱形有3條邊相等的四邊形梯形平行四邊形有一組對角相等的四邊形三

11、、計算題如圖11 如圖1所示，在四面體PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是線段PB上一點，點E在線段AB上，且EFPB. （）證明：PB平面CEF； （）求二面角BCEF的大小.解（I）證明：PAC是以PAC為直角的直角三角形，同理可證PAB是以PAB為直角的直角三角形，PCB是以PCB為直角的直角三角形故PA平面ABC又而故CFPB,又已知EFPBPB平面CEF（II）由（I）知PBCE, PA平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE在平面PAB內(nèi)，過F作FF1垂直AB交AB于F1，則FF1平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，EFEC

12、故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCEF的大小為2如圖，在五棱錐SABCDE中，SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2， 求異面直線CD與SB所成的角（用反三角函數(shù)值表示）； 證明：BC平面SAB； 用反三角函數(shù)值表示二面角BSCD的大?。ū拘柌槐貙懗鼋獯疬^程）解（）連結(jié)BE，延長BC、ED交于點F，則DCF=CDF=600，CDF為正三角形，CF=DF又BC=DE，BF=EF因此，BFE為正三角形，F(xiàn)BE=FCD=600，BE/CD所以SBE（或其補(bǔ)角）就是異面直線CD與SB所成的角SA底面ABCDE，SA=AB=AE=2，SB=，同理SE=，又BAE=1200，所以BE=，從而，

13、cosSBE=，SBE=arccos所以異面直線CD與SB所成的角是arccos() 由題意，ABE為等腰三角形，BAE=1200，ABE=300，又FBE =600， ABC=900，BCBASA底面ABCDE，BC底面ABCDE，SABC，又SABA=A， BC平面SAB（）二面角B-SC-D的大小3 已知三棱錐PABC中，E、F分別是AC、AB的中點,ABC，PEF都是正三角形，PFAB. （）證明PC平面PAB；（）求二面角PABC的平面角的余弦值； （）若點P、A、B、C在一個表面積為12的球面上，求ABC的邊長.解（）證明： 連結(jié)CF. （）解法一：為所求二面角的平面角. 設(shè)AB=

14、a，則AB=a，則 解法二：設(shè)P在平面ABC內(nèi)的射影為O. 得PA=PB=PC. 于是O是ABC的中心. 為所求二面角的平面角.設(shè)AB=a，則 （）解法一：設(shè)PA=x，球半徑為R. ，的邊長為. 解法二：延長PO交球面于D，那么PD是球的直徑.連結(jié)OA、AD，可知PAD為直角三角形. 設(shè)AB=x，球半徑為R. 4. 已知正三棱錐的體積為，側(cè)面與底面所成的二面角的大小為。 （1）證明：；（2）求底面中心到側(cè)面的距離. 證明（1）取邊的中點，連接、， 則，故平面. . （2）如圖， 由（1）可知平面平面，則是側(cè)面與底面所成二面角的平面角. 過點作為垂足，則就是點到側(cè)面的距離. 設(shè)為，由題意可知點在

15、上， ，., ， ， . 即底面中心到側(cè)面的距離為3. 5如圖,在直四棱柱 中,，垂足為()求證;()求二面角的大小;()求異面直線與所成角的大小 解 （I）在直四棱柱ABCDAB1C1D1中，AA1底面ABCD AC是A1C在平面ABCD上的射影 BDAC BDA1C；（II）連結(jié)A1E，C1E，A1 C1 與（I）同理可證BDA1E，BDC1E， A1EC1為二面角A1BDC1的平面角 ADDC， A1D1C1=ADC90°， 又A1D1=AD2，D1C1= DC2，AA1=且 ACBD， A1C14，AE1，EC3， A1E2，C1E2， 在A1EC1中，A1C12A1E2C1

16、E2， A1EC190°， 即二面角A1BDC1的大小為90°（III）過B作 BF/AD交 AC于 F，連結(jié)FC1，則C1BF就是AD與BC1所成的角 ABAD2， BDAC，AE1， BF=2，EF1，F(xiàn)C2，BCDC， FC1=，BC1，在BFC1 中，, C1BF=即異面直線AD與BC1所成角的大小為解法二：（）同解法一（）如圖，以D為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系 連結(jié)與(1)同理可證, 為二面角的平面角.由得 即二面角的大小為 （）如圖,由,得 異面直線與所成角的大小為解法三：（）同解法一.（）如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點為E.連結(jié)

17、.與（）同理可證為二面角的平面角由得即二面角的大小為6如圖, 在直三棱柱中， ，點為的中點 ()求證;() 求證;()求異面直線與所成角的余弦值 解（I）直三棱柱ABCA1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5， ACBC，且BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC， ACBC1；（II）設(shè)CB1與C1B的交點為E，連結(jié)DE， D是AB的中點，E是BC1的中點， DE/AC1， DE平面CDB1，AC1平面CDB1， AC1/平面CDB1；（III） DE/AC1， CED為AC1與B1C所成的角，在CED中，ED=AC 1=，CD=AB=，CE=CB1=2， ， 異面直線 AC1與 B1C

18、所成角的余弦值.解法二： 直三棱錐底面三邊長，兩兩垂直如圖建立坐標(biāo)系，則C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D(,2,0) (),()設(shè)與的交點為E，則E(0,2,2) () 異面直線與所成角的余弦值為7如圖，正三角形ABC的邊長為3，過其中心G作BC邊的平行線，分別交AB、AC于、將沿折起到的位置，使點在平面上的射影恰是線段BC的中點M求：（1）二面角的大??；（2）異面直線與所成角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）解 （）連接AM，A1GG是正三角形ABC的中心，且M為BC的中點，A，G，M三點共線，AMBCB1C1BC，B1C1AM于G，即

19、GMB1C1，GA1B1C1，A1GM是二面角A1B1C1M的平面角點A1在平面BB1C1C上的射影為M，A1MMG，A1MG=90°在RtA1GM中，由A1G=AG=2GM得A1GM=90°即二面角A1B1C1M的大小是60°（）過B1作C1C的平行線交BC于P，則A1B1P等于異面直線A1B1與CC1所成的角由PB1C1C是平行四邊形得B1P=C1C=1=BP，PM=BMBP=A1B1=AB1=2A1M面BB1C1C于M，A1MBC，A1MP=90°在RtA1GM中，A1M=A1G·在RtA1MP中，在A1B1P中，由余弦定理得，異面直線A

20、1B1與CC1所成角的大小為arccos8如圖，正三棱錐SABC中，底面的邊長是3，棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，M是BC的中點.求：（）的值；（）二面角SBCA的大??；（）正三棱錐SABC的體積.解 （）SB=SC，AB=AC，M為BC中點， SMBC，AMBC.由棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，即（）作正三棱錐的高SG，則G為正三角形ABC的中心，G在AM上，SMBC，AMBC，SMA是二面角SBCA的平面角.在RtSGM中，SMA=SMG=60°即二面角SBCA的大小為60°。（）ABC的邊長是3，9如圖，直二面角DABE中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB

21、，F(xiàn)為CE上的點，且BF平面ACE.（）求證AE平面BCE；（）求二面角BACE的大??；（）求點D到平面ACE的距離.解（I）（II）連結(jié)AC、BD交于G，連結(jié)FG，ABCD為正方形，BDAC，BF平面ACE，F(xiàn)GAC，F(xiàn)GB為二面角B-AC-E的平面角，由（I）可知，AE平面BCE，AEEB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，在直角三角形BCE中，CE=在正方形中，BG=，在直角三角形BFG中，二面角B-AC-E為（III）由（II）可知，在正方形ABCD中，BG=DG，D到平面ACB的距離等于B到平面ACE的距離，BF平面ACE，線段BF的長度就是點B到平面ACE的距離，即為D到平面A

22、CE的距離所以D到平面的距離為另法：過點E作交AB于點O. OE=1.二面角DABE為直二面角，EO平面ABCD.設(shè)D到平面ACE的距離為h， 平面BCE， 點D到平面ACE的距離為解法二：（）同解法一.（）以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖.面BCE，BE面BCE， ，在的中點， 設(shè)平面AEC的一個法向量為，則 解得令得是平面AEC的一個法向量.又平面BAC的一個法向量為，二面角BACE的大小為（III）AD/z軸，AD=2，點D到平面ACE的距離10 如圖，在四棱錐PABC中，底面ABCD為矩形，

23、側(cè)棱PA底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E為PD的中點（）求直線AC與PB所成角的余弦值；（）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE面PAC，并求出N點到AB和AP的距離 解 解法一：（）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A、B、C、D、P、E的坐標(biāo)分別為A（0，0，0），B（，0，0），C（，1，0），D（0，1，0），P（0，0，2），E（0，2）從而=（，1，0），=（，0，-2）設(shè)與的夾角為，則，AC與PB所成角的余弦值為（）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標(biāo)為（x，0，z），則由NE面PAC可得：即化簡得即N點的坐標(biāo)為（，0，1），從而N點到AB、AP的距離分別為1，解法二：（）

24、設(shè)ACBD=O，連OE，則OE/PB，EOA即為AC與PB所成的角或其補(bǔ)角在AOE中，AO=1，OE=PB=，AE=PD=，即AC與PB所成角的余弦值為（）在面ABCD內(nèi)過D作AC的垂線交AB于F，則連PF，則在RtADF中DF=設(shè)N為PF的中點，連NE，則NE/DF，DFAC，DFPA，DF面PAC從而NE面PACN點到AB的距離=AP=1，N點到AP的距離=AF=11如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1 （）求BF的長； （）求點C到平面AEC1F的距離解 本小題主要考查線面關(guān)系和空間距離的求法等基礎(chǔ)知識，同

25、時考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力解法1：（）過E作EH/BC交CC1于H，則CH=BE=1，EH/AD，且EH=AD.又AFEC1，F(xiàn)AD=C1EH.RtADFRtEHC1. DF=C1H=2.（）延長C1E與CB交于G，連AG，則平面AEC1F與平面ABCD相交于AG.過C作CMAG，垂足為M，連C1M，由三垂線定理可知AGC1M.由于AG面C1MC，且AG面AEC1F，所以平面AEC1F面C1MC.在RtC1CM中，作CQMC1，垂足為Q，則CQ的長即為C到平面AEC1F的距離解法2：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0

26、），E（2，4，1），C1（0，4，3）.設(shè)F（0，0，z）.AEC1F為平行四邊形 （II）設(shè)為平面AEC1F的法向量， 的夾角為a，則C到平面AEC1F的距離為12圖1 圖2如圖1，已知ABCD是上下底邊長分別為2和6，高為的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖2.（）證明：ACBO1；（）求二面角OACO1的大小.解 解法一（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1.所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 故可以O(shè)為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，圖3如圖3，則相關(guān)各點的坐標(biāo)是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）

27、O1（0，0，）.從而所以ACBO1. （II） 因為所以BO1OC，由（I）ACBO1，所以BO1平面OAC，是平面OAC的一個法向量.設(shè)是0平面O1AC的一個法向量，由 得. 設(shè)二面角OACO1的大小為，由、的方向可知，>，所以cos，>=即二面角OACO1的大小是解法二（I）證明 由題設(shè)知OAOO1，OBOO1，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB. 從而AO平面OBCO1， OC是AC在面OBCO1內(nèi)的射影.因為 ，圖4所以O(shè)O1B=60°，O1OC=30°，從而OCBO1由三垂線定理得ACBO1.（II）解 由（I）ACBO1，OCBO1，

28、知BO1平面AOC.設(shè)OCO1B=E，過點E作EFAC于F，連結(jié)O1F（如圖4），則EF是O1E在平面AOC內(nèi)的射影，由三垂線定理得O1FAC.所以O(shè)1FE是二面角OACO1的平面角. 由題設(shè)知OA=3，OO1=，O1C=1，所以，從而，又O1E=OO1·sin30°=，所以 即二面角OACO1的大小是13 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動. （1）證明：D1EA1D； （2）當(dāng)E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離； （3）AE等于何值時，二面角D1ECD的大小為. 解 解法（一）（1）證明：AE平面AA1DD

29、1，A1DAD1，A1DD1E（2）設(shè)點E到面ACD1的距離為h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）過D作DHCE于H，連D1H、DE，則D1HCE，DHD1為二面角D1ECD的平面角. 設(shè)AE=x，則BE=2x解法（二）：以D為坐標(biāo)原點，直線DA，DC，DD1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）（2）因為E為AB的中點，則E（1，1，0），從而，設(shè)平面ACD1的法向量為，則也即，得，從而，所以點E到平面AD1C的距離為（3）設(shè)平面D1EC的法向量，由 令b=1, c

30、=2,a=2x，依題意（不合，舍去）， .AE=時，二面角D1ECD的大小為.14 已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ABDC，底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點（）證明：面PAD面PCD；（）求AC與PB所成的角；（）求面AMC與面BMC所成二面角的大小解 方案一：（）證明：PA面ABCD，CDAD，由三垂線定理得：CDPD.因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，CD面PAD.又CD面PCD，面PAD面PCD. （）解：過點B作BE/CA，且BE=CA， 則PBE是AC與PB所成的角.連結(jié)AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四邊形AC

31、BE為正方形. 由PA面ABCD得PEB=90°在RtPEB中BE=，PB=， （）解：作ANCM，垂足為N，連結(jié)BN.在RtPAB中，AM=MB，又AC=CB， AMCBMC,BNCM，故ANB為所求二面角的平面角CBAC，由三垂線定理，得CBPC，在RtPCB中，CM=MB，所以CM=AM.在等腰三角形AMC中，AN·MC=，. AB=2，故所求的二面角為方法二：因為PAPD，PAAB，ADAB，以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，.（）證

32、明：因又由題設(shè)知ADDC，且AP與與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC面PAD.又DC在面PCD上，故面PAD面PCD（）解：因由此得AC與PB所成的角為（）解：在MC上取一點N（x，y，z），則存在使要使為所求二面角的平面角. 15 如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD，E、F分別為CD、PB的中點（）求證：EF垂直于平面PAB；（）設(shè)AB=BC，求AC與平面AEF所成的角的大小解 方法一：（）證明：連接EP。PD底面ABCD，DE在平面ABCD內(nèi)， PDDE，又CE=ED，PD=AD=BC。RtBCERtPDE PE=BE.F為PB

33、EFPB。由三垂線定理得：PAAB。 在RtPAB中，PF=AF，又PE=BE=EA，EFPEFA。EFFAPB、FA為平面PAB內(nèi)的相交直線。 EF平面PAB。（II）解：不妨設(shè)BC=1，則AD=PD=1。 方法二： 以D為坐標(biāo)原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。（）。 （）解： 16 在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）證明AB平面VAD（）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小解 證明：（）作AD的中點O，則VO底面ABCD 建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長為1， 則A（，0，0），B（，1，0），C（-，1，0

34、），D（-，0，0），V（0，0，）， 由 又ABAV=AAB平面VAD （）由（）得是面VAD的法向量設(shè)是面VDB的法向量，則 ， 又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為 17 如圖，已知長方體，直線與平面所成的角為，垂直于為的中點（）求異面直線與所成的角；（）求平面與平面所成二面角（銳角）的大小；（）求點到平面的距離解法一：（向量法）在長方體中，以所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖由已知，可得又平面，從面與平面所成的角即為又從而易得（）即異面直線、所成的角為（）易知平面的一個法向量設(shè)是平面的一個法向量由 取即平面與平面所成二面角（銳角）大小為（

35、）點A到平面BDF的距離，即在平面BDF的法向量上的投影的絕對值所以距離所以點A到平面BDF的距離為解法二：(幾何法)（）連結(jié)，過F作的垂線，垂足為K，與兩底面ABCD，都垂直，又因此為異面直線與所成的角 連結(jié)BK，由FK面得， 從而 為 在 和中， 由得 又， 異面直線與所成的角為（）由于面由作的垂線，垂足為，連結(jié)，由三垂線定理知即為平面與平面所成二面角的平面角且，在平面中，延長與；交于點為的中點、分別為、的中點 即，為等腰直角三角形，垂足點實為斜邊的中點F，即F、G重合易得，在中， ，即平面于平面所成二面角（銳角）的大小為（）由（）知平面是平面與平面所成二面角的平面角所在的平面面在中，由作

36、AHDF于H，則AH即為點A到平面BDF的距離 由AHDF=ADAF，得所以點A到平面BDF的距離為18 已知直四棱柱中，底面是直角梯形，求異面直線與所成的角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）解 由題意ABCD,C1BA是異面直線BC1與DC 所成的角.連結(jié)AC1與AC,在RtADC中,可得AC=. 又在RtACC1中,可得AC1=3. 在梯形ABCD中,過C作CHAD交AB于H,得CHB=90°,CH=2,HB=3, CB=.又在RtCBC1中,可得BC1=,在ABC1中,cosC1BA=,C1BA=arccos異面直線BC1與DC所成角的大小為arccos另解:如圖,以D為坐標(biāo)原點,

37、分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立直角坐標(biāo)系. 則C1(0,1,2),B(2,4,0), =(2,3,2),=(0,1,0),設(shè)與所成的角為,則cos=,= arccos.異面直線BC1與DC所成角的大小為arccos19如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面與底面ABC所成的二面角為，E、F分別是棱的中點（）求與底面ABC所成的角（）證明平面（）求經(jīng)過四點的球的體積 解 （）過作平面，垂足為連結(jié)，并延長交于，于是為與底面所成的角，為的平分線又，且為的中點因此，由三垂線定理，且，于是為二面角的平面角，即由于四邊形為平行四邊形，得（）證明：設(shè)與的交點為，則點為的中點連結(jié)在平行四邊形中，因為的中

38、點，故而平面，平面，所以平面（）連結(jié)在和中，由于，則，故由已知得又平面，為的外心設(shè)所求球的球心為，則，且球心與中點的連線在中，故所求球的半徑，球的體積20如圖，在三棱錐PABC中，ABBC，ABBCkPA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP底面ABC ()當(dāng)k時，求直線PA與平面PBC所成角的大?。?() 當(dāng)k取何值時，O在平面PBC內(nèi)的射影恰好為PBC的重心？方法一：() O、D分別為AC、PC ， ()，又， PA與平面PBC所成的角的大小等于， （）由()知， F是O在平面PBC內(nèi)的射影D是PC的中點，若點F是的重心，則B，F(xiàn)，D三點共線，直線OB在平面PBC內(nèi)的射影為直線BD，即反之

39、，當(dāng)時，三棱錐為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心方法二：， 以O(shè)為原點，射線OP為非負(fù)z軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）設(shè)則，設(shè)，則()D為PC的中點，又， ()，即，可求得平面PBC的法向量， ，設(shè)PA與平面PBC所成的角為，則，（）的重心， ，又，即，反之，當(dāng)時，三棱錐為正三棱錐，O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心21 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB側(cè)面BB1C1C，E為棱CC1上異于C、C1的一點，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求： （）異面直線AB與EB1的距離； （）二面角AEB1A1的平面角的正切值. 解 解法一： （）因AB面BB1C1C，故ABBE. 又EB1EA，且EA在面BCC1B1內(nèi)的射影為EB.由三垂線定理的逆定理知EB1BE，因此BE是異面直線AB與EB1的公垂線，在平行四邊形BCC1B1中，設(shè)