有關(guān)數(shù)列不等式放縮問(wèn)題的研究

1、有關(guān)數(shù)列不等式放縮問(wèn)題的探究一、直接放縮1、放大或縮小“因式”；例1.（2009年四川）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)任意的正整數(shù)，都有成立，記。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：對(duì)任意正整數(shù)都有；解：（）當(dāng)時(shí)，又 數(shù)列成等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是（）由（）知 = （舍去項(xiàng)直接放大） 又當(dāng)當(dāng) 例2.已知數(shù)列滿足（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：分析：本例（1）通過(guò)把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問(wèn)關(guān)鍵在如何放縮。解：（1），故數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。，（3）設(shè)，則 例3、已知求證：證明： 例4、已知數(shù)列滿足求證：證明 本題通

2、過(guò)對(duì)因式放大，而得到一個(gè)容易求和的式子，最終得出證明2、先放縮，后裂項(xiàng)（或先裂項(xiàng)再放縮）例5、已知an=n ，求證：3證明：=1 =1 () =1123本題先采用減小分母的兩次放縮，再裂項(xiàng)，最后又放縮，有的放矢，直達(dá)目標(biāo).3、先適當(dāng)組合, 排序, 再逐項(xiàng)比較或放縮例6、(2001年全國(guó)).已知i，m、n是正整數(shù)，且1imn.(1)證明：niAmiA；(2)證明：(1+m)n(1+n)m證明：(1)對(duì)于1im，且A =m··(mi+1)，由于mn，對(duì)于整數(shù)k=1，2，i1，有，所以(2)由二項(xiàng)式定理有：(1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn，(1+n)m=1+Cn+Cn2+C

3、nm，由(1)知miAniA (1imn ，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n(1+n)m成立.二、 添減項(xiàng)放縮 例7. 設(shè)，求證.簡(jiǎn)析 觀察的結(jié)構(gòu)，注意到，展開得，即，得證.例8. 設(shè)數(shù)列滿足 （）證明對(duì)一切正整數(shù)成立；（）令，判定與的大小，并說(shuō)明理由（04年重慶卷理科第（22）題）證明： 則例9. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足 （）寫出數(shù)列的前3項(xiàng)；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）證明：對(duì)任意的整數(shù)，有（04年全國(guó)卷） 簡(jiǎn)析 （）略，（

4、） ；（）由于通項(xiàng)中含有，很難直接放縮，考慮分項(xiàng)討論：當(dāng)且為奇數(shù)時(shí) （減項(xiàng)放縮），于是 當(dāng)且為偶數(shù)時(shí)當(dāng)且為奇數(shù)時(shí)（添項(xiàng)放縮）由知由得證。三 、部分項(xiàng)放縮1.固定一部分項(xiàng)，放縮另外的項(xiàng)例10.數(shù)列的通項(xiàng)公式，求證：它的前n項(xiàng)的和證明：例11.已知數(shù)列滿足，（）。 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，求證：對(duì)。解：（）， 又，數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為-2的等比數(shù)列，=，即。4分（）=， 當(dāng)n3時(shí)，= = =,12分 又，對(duì)。13分例12、求證：證明：2.固定部分因子，放縮 例13 .設(shè)求證： 解析 又（只將其中一個(gè)變成，進(jìn)行部分放縮），于是例14.(2010四川) 設(shè)（且），g(x)是f

5、(x)的反函數(shù).（）當(dāng)0a時(shí)，試比較與4的大小，并說(shuō)明理由.解：設(shè)a，則p1，1f(1)3當(dāng)n1時(shí)，|f(1)1|24當(dāng)n2時(shí)設(shè)k2,kN *時(shí)，則f(k)w_w w. k#s5_u.c o*m 1所以1f(k)1從而n1n-1+n+1-n1所以nf(1)n1n4綜上所述，總有|n|4四、分組放縮 例15.求證:解析: 例16.(泉州市高三質(zhì)檢) 已知函數(shù)，若的定義域?yàn)?，0，值域也為1，0.若數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，問(wèn)是否存在正常數(shù)A，使得對(duì)于任意正整數(shù)都有？并證明你的結(jié)論。 解析:首先求出,故當(dāng)時(shí),因此，對(duì)任何常數(shù)A，設(shè)是不小于A的最小正整數(shù)，則當(dāng)時(shí),必有.故不存在常數(shù)A使對(duì)所有的正整

6、數(shù)恒成立. 例17.求證:解析:一方面:(法二) 另一方面:五、 利用重要結(jié)論放縮1.利用均值不等式放縮例18. 設(shè)求證解析： 此數(shù)列的通項(xiàng)為，即 注：應(yīng)注意把握放縮的“度”：上述不等式右邊放縮用的是均值不等式，若放成則得，就放過(guò)“度”了！ 例19 .（全國(guó)聯(lián)賽山東預(yù)賽題） 已知函數(shù)，若，且在0，1上的最小值為，求證： 證明： 例20. 求證.簡(jiǎn)析 不等式左邊=，故原結(jié)論成立.2.利用柯西不等式放縮例21.若,求證:. 解析: 因?yàn)楫?dāng)時(shí),所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào). 所以 所以所以 3利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì) 姐妹不等式:和 記憶口訣”小者小,大者大” 解釋:看b,若b小,則不等號(hào)是小于號(hào),反之.例

7、22. 求證證明：利用假分?jǐn)?shù)的一個(gè)性質(zhì)可得 即 例23.證明:(98年高考)解析: 運(yùn)用兩次次分式放縮: . . (1) . (2) 相乘,可以得到: 所以有4. 利用貝努利不等式放縮例24. （上海高考試題）求證證明：(此處)得 證明(可考慮用貝努利不等式的特例) 例25.已知,求證: . 解析:首先可以證明: 所以要證 只要證: 故只要證,即等價(jià)于,即等價(jià)于而正是成立的,所以原命題成立.5.利用不等式表示不超過(guò) 的最大整數(shù)放縮例26. 已知不等式表示不超過(guò) 的最大整數(shù)。設(shè)正數(shù)數(shù)列滿足：求證:（05年湖北卷第（22）題）簡(jiǎn)析 當(dāng)時(shí)，即 于是當(dāng)時(shí)有 注：本題涉及的和式為調(diào)和級(jí)數(shù)，是發(fā)散的，不能

8、求和；但是可以利用所給題設(shè)結(jié)論來(lái)進(jìn)行有效地放縮； 引入有用結(jié)論在解題中即時(shí)應(yīng)用，是近年來(lái)高考創(chuàng)新型試題的一個(gè)顯著特點(diǎn)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力與創(chuàng)新意識(shí)。6.利用放縮例27. 已知用數(shù)學(xué)歸納法證明；對(duì)對(duì)都成立，證明（無(wú)理數(shù)）（05年遼寧卷第22題）解析：結(jié)合第問(wèn)結(jié)論及所給題設(shè)條件（）的結(jié)構(gòu)特征，可得放縮思路：。于是， 即注：題目所給條件（）為一有用結(jié)論，可以起到提醒思路與探索放縮方向的作用；當(dāng)然，本題還可用結(jié)論來(lái)放縮： ，即7.若則（證略）例28. 設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 解析： 引入一個(gè)結(jié)論：若則（證略）整理上式得（），以代入（）式得即單調(diào)遞增。以代入（）式得此式對(duì)一切正整數(shù)都成立，即對(duì)一

9、切偶數(shù)有，又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增，所以對(duì)一切正整數(shù)有。 注：上述不等式可加強(qiáng)為簡(jiǎn)證如下： 上述數(shù)列的極限存在，為無(wú)理數(shù)；同時(shí)是下述試題的背景：已知 是正整數(shù)，且（1）證明；（2）證明（01年全國(guó)卷理科第20題）8.利用二項(xiàng)式放縮 , 例28.設(shè)，求證：數(shù)列單調(diào)遞增且 證明： 利用二項(xiàng)展開式進(jìn)行部分放縮： 只取前兩項(xiàng)有對(duì)通項(xiàng)作如下放縮： 故有六、裂項(xiàng)放縮常用裂項(xiàng)放縮技巧(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例29.(1)求證: (2)求證: (3)求證: (4) 求證：解析:(1)因?yàn)?

10、所以 (2) (3)先運(yùn)用分式放縮法證明出,再結(jié)合進(jìn)行裂項(xiàng),最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易經(jīng)過(guò)裂項(xiàng)得到再證而由均值不等式知道這是顯然成立的，所以例30：求證: 解析:一方面:因?yàn)?所以 另一方面: 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以綜上有例31.已知,求證:.解析:所以 從而七、迭代放縮 例32. 已知,求證:當(dāng)時(shí), 解析:通過(guò)迭代的方法得到,然后相加就可以得到結(jié)論例33.已知函數(shù)f(x)=，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足=l， (1)寫出、的值; (2)試比較與的大小，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)數(shù)列滿足=，記Sn=證明：當(dāng)n2時(shí),Sn(2n1)分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。解

11、：(1)，因?yàn)樗裕?）因?yàn)樗?因?yàn)樗耘c同號(hào)，因?yàn)椋矗?）當(dāng)時(shí)，所以，所以例35（2011廣東理20） 設(shè)b>0,數(shù)列滿足a1=b，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，解： （1）由令，當(dāng)當(dāng)時(shí)，當(dāng) （2）當(dāng)時(shí)，（欲證），當(dāng)綜上所述八、構(gòu)造函數(shù)例36. (2012四川)已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對(duì)所有都有成立的的最小值；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由。解：（1）（2）n=2,a,(3)例37. 數(shù)列由下列條件確定：，（I）證明：對(duì)總有；(II)證明：對(duì)總有（02年北京卷第（19）題

12、） 解析 構(gòu)造函數(shù)易知在是增函數(shù)。 當(dāng)時(shí)在遞增，故 對(duì)(II)有，構(gòu)造函數(shù)它在上是增函數(shù)，故有，得證。九、構(gòu)造數(shù)列放縮例38.設(shè)求證解：令則，遞減，有，故 再如例4，令則，即遞增，有，得證！ 例39.求證: 解析: 設(shè)則,從而,相加后就可以得到所以 十、數(shù)學(xué)歸納法例40.已知函數(shù),數(shù)列滿足, ; 數(shù)列滿足, .求證:（）（） （）若則當(dāng)n2時(shí),.解：()先用數(shù)學(xué)歸納法證明,.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?<x<1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在上連續(xù),所以f(0)<f()<f(1),即

13、0<. 故當(dāng)n=k+1時(shí),結(jié)論也成立. 即對(duì)于一切正整數(shù)都成立.又由, 得,從而.綜上可知()構(gòu)造函數(shù)g(x)=-f(x)= , 0<x<1,由,知g(x)在(0,1)上增函數(shù).又g(x)在上連續(xù),所以g(x)>g(0)=0.因?yàn)?所以,即>0,從而() 因?yàn)?,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因?yàn)? n2, 所以 <<= .由 兩式可知: .例41 .設(shè)數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)證明對(duì)所有 有；（02年全國(guó)高考題） 解析 用數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)顯然成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)成立即，則當(dāng)時(shí)，成立。 利用上述部分放縮的結(jié)論來(lái)放縮通項(xiàng)，可得 十一、使用加強(qiáng)命題法證明不等式 欲證明,只要證明:. 例42.求證:對(duì)一切,都有.解析: 從而 當(dāng)然本題還可以使用其他方法,如: 所以. 例43.已知數(shù)列滿足:,求證: 解析: ,從而,所以有 ,所以 又,所以,所以有 所以 所以綜上有例44:已知數(shù)列滿足:,求證: .解析:由上可知,又,所以 從而 又當(dāng)時(shí),所以綜上有. 例43.(2008年浙江高考試題)已知數(shù)列,.記,.求證:當(dāng)時(shí).(1); (2); (3). 解析:(1),猜想,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明: (i)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立; (ii)假設(shè)當(dāng)時(shí),則時(shí), 從而,