繩連物模型的建構(gòu)與原型啟發(fā)問題的設(shè)計(jì)

1、繩連物模型的建構(gòu)與原型啟發(fā)問題的設(shè)計(jì)山東寧陽一中物理教研室 高翔 郵編：271400 E-mail:sdnygx兩個(gè)或若干個(gè)物體通過輕繩和細(xì)桿這一彈性介質(zhì)為媒介連接在一體，由于各自的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或者在以后的運(yùn)動(dòng)過程中，運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量不同而使彈性介質(zhì)被動(dòng)發(fā)生形變，從而對(duì)所接觸的物體產(chǎn)生彈力的作用，進(jìn)而改變物體的受力狀況并影響其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)能量的傳輸過程，這就是連結(jié)體問題。依照連接體所處物理環(huán)境的差異，分為力學(xué)連結(jié)體和電磁類關(guān)聯(lián)體兩大類。力學(xué)連結(jié)體是基礎(chǔ)，涉及到介質(zhì)中彈力產(chǎn)生的機(jī)理、物理過程的分析和臨界條件的凸顯等問題，提高力學(xué)連接體相關(guān)問題的分析，尤其是突出連結(jié)體模型的識(shí)別和臨界條件的判斷，是培

2、養(yǎng)學(xué)科思維品質(zhì)的重要切入點(diǎn)。一、繩連物模型的建構(gòu)與相關(guān)模型的轉(zhuǎn)化柔軟不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩作為理想化的物理模型，不計(jì)質(zhì)量單元對(duì)系統(tǒng)內(nèi)力和能量傳遞的影響，把它僅作為傳遞力和能量的介質(zhì)。由于彈性繩僅能發(fā)生拉伸形變，因此彈力只能沿繩收縮的方向，對(duì)接觸的物體施加指向里的彈力。鐵鏈和彈性細(xì)繩相似，但質(zhì)量單元對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的作用力有一定的影響，而且鐵鏈的重心隨幾何形狀的改變而變化，這也就導(dǎo)致實(shí)際問題的求解既與繩類存在差異又同時(shí)存在一定的相似，在不同的物理場(chǎng)景下應(yīng)區(qū)別對(duì)待。鐵鏈有時(shí)視為連續(xù)的質(zhì)量單元，即考慮到每一質(zhì)量單元對(duì)整體的影響，有時(shí)簡(jiǎn)化為傳遞力的介質(zhì)，忽略質(zhì)量單元，對(duì)該類模型的識(shí)別和有效的轉(zhuǎn)化就成為破解鐵鏈類問題

3、的關(guān)鍵。1.模型的轉(zhuǎn)化-鐵鏈類問題例題1如圖所示，一根質(zhì)量為長(zhǎng)為的勻質(zhì)鏈條，一端位于光滑的水平桌面上，另一端少許下垂于桌子邊緣，并繞過光滑的定滑輪從靜止開始下滑。設(shè)桌面足夠高，則鏈條在下滑的過程中，對(duì)滑輪產(chǎn)生的最大壓力是（ ） A B C D 【錯(cuò)解分析】：鏈條滑動(dòng)過程中余留在桌面上的鏈條對(duì)桌子的壓力與滑動(dòng)的速度無關(guān)。而繞在定滑輪上的鏈條繞之做圓周運(yùn)動(dòng)，不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下對(duì)滑輪的壓力不斷變化，取單個(gè)的鏈子為對(duì)象，模型簡(jiǎn)化為圖所示的場(chǎng)景，以之為對(duì)象，由受力分析可得：在未知的情況下，以孤立的一節(jié)鏈子為對(duì)象求解對(duì)定滑輪的壓力，實(shí)質(zhì)上忽略系統(tǒng)內(nèi)力的作用，將其簡(jiǎn)單視為一個(gè)孤立的小球從光滑的半球面上下滑，求其

4、受到的最大彈力，這樣將連接體簡(jiǎn)化為單體求解的方式，是屬于模型建構(gòu)的錯(cuò)誤。原型啟發(fā)如圖質(zhì)量分別為和的兩個(gè)物體通過光滑的定滑輪相連接，兩者質(zhì)量之和為，放置在光滑水平面上，繞過定滑輪豎直懸掛，兩物體質(zhì)量滿足什么關(guān)系才能使系統(tǒng)在加速運(yùn)動(dòng)過程中繩的拉力最大？解析：設(shè)繩子上的張力為，最大加速度設(shè)為，分別以為研究對(duì)象，受力分析可知：；，聯(lián)立兩式解得：，所以以滑輪為研究對(duì)象受力分析如圖中的（甲）所示，則：；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【正確解答】隨下滑鏈條數(shù)目的增多，下部的鏈條的重力越來越大，由系統(tǒng)的加速度隨之增加，則系統(tǒng)內(nèi)部的相互作用力，從“原型啟發(fā)”的分析中可知，鏈條上的拉力先變大，爾后再變小，即鏈條之間的作用力是一個(gè)變

5、力，遠(yuǎn)大于壓在定滑輪上一節(jié)鏈條的重力，可以忽略不計(jì)。因此說繞過定滑輪上鏈條內(nèi)部的作用力，等效為圖中的場(chǎng)景，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，。對(duì)應(yīng)練習(xí)1.如圖所示，有一均勻的細(xì)軟鏈放在光滑水平桌面上，當(dāng)它的一端稍露出桌面邊緣垂下時(shí)，整個(gè)鏈條的運(yùn)動(dòng)是（ ）A. 保持靜止 B. 勻速下降C. 勻加速下降 D.變加速下降2.如圖所示，現(xiàn)保持繩一直水平再將點(diǎn)向左或向右移動(dòng)一下，若不計(jì)一切摩擦，則懸點(diǎn)所受拉力F的變化情況是（ ）A、點(diǎn)左移增大 B、 無論左移或右移都保持不變C 、點(diǎn)右移增大 D、無論左移或右移都增大答案：2.與桿連物模型的區(qū)別輕質(zhì)細(xì)桿既能發(fā)生拉伸形變、剪切形變，同時(shí)也可發(fā)生扭轉(zhuǎn)形變，因此彈力的產(chǎn)生較為復(fù)雜，不

6、同于細(xì)繩的形變那樣比較單一，判斷臨界條件和求解極值問題是該類問題的關(guān)鍵。臨界條件及最值求解例題2.如圖所示，豎直墻壁和水平地面均為光滑，兩質(zhì)量均為的小球固定在長(zhǎng)度為的輕桿兩端，桿與水平地面的夾角為，現(xiàn)將桿由靜止釋放，問球即將脫離墻壁時(shí)，桿與水平地面的夾角為多少？解析：對(duì)于球，由于桿和墻壁的約束，受到恒力、變力和桿的彈力作用使之沿光滑的豎直墻壁向下運(yùn)動(dòng)；對(duì)于球始終受到，地面的彈力和輕質(zhì)細(xì)桿的彈力作用，沿光滑的水平面向右運(yùn)動(dòng)。在球未離開墻壁的過程中，墻壁對(duì)兩球與輕桿組成的系統(tǒng)提供向右的加速度，使系統(tǒng)等效重心參與向下和向右的變加速直線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)球即將離開墻壁時(shí)速度分別設(shè)為和，此時(shí)墻壁對(duì)系統(tǒng)的水平作用力

7、，即系統(tǒng)的，系統(tǒng)在水平方向上具有最大速度，球速度達(dá)到最大值，設(shè)此時(shí)桿與水平面的夾角為，整個(gè)過程系統(tǒng)機(jī)械能守恒：，即；與構(gòu)成封閉的三角形，由速度的矢量合成可知：聯(lián)立兩式解得：，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。連接體中速度關(guān)聯(lián)中的矢量分解及最值求解例題3如圖所示，兩小球用輕桿連接，球只能沿內(nèi)壁光滑的豎直滑槽運(yùn)動(dòng)，球處于光滑水平面內(nèi)，開始時(shí)桿豎直，兩球靜止。由于微小的擾動(dòng)，開始沿水平面向右運(yùn)動(dòng)，已知球的質(zhì)量為，球的質(zhì)量為，桿長(zhǎng)為。求： 球著地時(shí)的速度為多大? 球機(jī)械能最小時(shí)，水平面對(duì)球的支持力多大? 若，當(dāng)球機(jī)械能最小時(shí)，桿與豎直方向夾角的余弦值為多大?球機(jī)械能的最小值為多大?(選水平面為參考平面)解析：球受

8、到豎直管壁的約束、重力和彈性桿作用力下向下做變加速直線運(yùn)動(dòng)；球受到重力、地面支持力和彈性桿的彈力作用，沿水平面向右做變加速直線運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)等效重心同時(shí)具有水平向右和豎直向下的加速度，分別設(shè)為和。當(dāng)球著地時(shí)刻，球不再發(fā)生位移，此時(shí)，設(shè)球?yàn)椋撨^程系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒：，解得：球的機(jī)械能最小時(shí)，球的機(jī)械能最大，即球表現(xiàn)為動(dòng)能最大，此時(shí)系統(tǒng)在水平方向上的加速度，此時(shí)桿上沒有彈力，即；設(shè)滿足題干條件時(shí)桿與豎直方向的夾角為，兩球的速度各為，系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒，則：球向下運(yùn)動(dòng)，沿桿方向的分矢量與球沿桿方向的分矢量相抵消，即；聯(lián)立以上兩式解得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，解得。二、繩連物問題原型啟發(fā)與問題求解繩由于自身結(jié)構(gòu)的

9、特殊性，對(duì)相互接觸的物體施加彈力，但由于連接體各物體所受外界環(huán)境的約束以及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的不同，在其各自運(yùn)動(dòng)過程表現(xiàn)為受力特性和運(yùn)動(dòng)特征存在較大的差異。盡管有差異，但連接體的運(yùn)動(dòng)特征量之間卻必然存在著一定的關(guān)聯(lián)，那就是速度矢量的合成與分解，這是解決該類問題的關(guān)鍵。從物理環(huán)境的不同和運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量之間是否直接關(guān)聯(lián)的區(qū)別上分為：任意時(shí)刻速率相同和速度關(guān)聯(lián)兩類。每一類依照物理模型的原型啟發(fā)相似問題的求解真問題的求證三個(gè)遞進(jìn)關(guān)系來設(shè)計(jì)，由此理解建立模型、識(shí)別模型和運(yùn)用模型是物理思維的優(yōu)良品質(zhì)。1.任意時(shí)刻連接體速率相同問題的求解該類問題的特點(diǎn)是：連接體中的物體在任意時(shí)刻發(fā)生的運(yùn)動(dòng)學(xué)物理量，即通過的位移（路程）

10、、速率和加速度的大小保持一致。在整個(gè)的運(yùn)動(dòng)過程中，連接體中各物體的受力特性保持不變。原型啟發(fā)如圖所示, 一很長(zhǎng)且不可伸長(zhǎng)的柔軟輕繩跨過光滑定滑輪, 繩兩端各系質(zhì)量分別為和的兩球,其中球靜置于地面，用手托住球距離地面高度為, 此時(shí)輕繩剛好拉緊。從靜止開始釋放球后, 球可能達(dá)到的最大高度為多少？解析：在b落地前，組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，且兩物體速度大小相等，根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知：,解得：；球落地時(shí)，球上升的高度為也為，之后球向上做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)上升的高度為，該過程滿足機(jī)械能守恒，則：，解得：。相似問題求解如圖所示，在傾角的光滑斜面上通過定滑輪用一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩連著質(zhì)量均為的兩個(gè)物體。開始時(shí)用手

11、托著，距離地面高度為，位于斜面底端，撤去手后求：即將著地時(shí)的動(dòng)能？物體離開斜面底端的最遠(yuǎn)距離？解析：即將著地前，兩物體速率保持一致，只有系統(tǒng)的重力做功，兩者組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒，則，解得：，解得；落地后，以該速度沿斜面向上做勻減速直線與動(dòng)，直至速度減小為0，該過程物體與地球組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒，設(shè)沿斜面最終上升的距離為，取地面為零勢(shì)能面，則：，解得：【例題解析】如圖所示，光滑的圓柱被固定在水平臺(tái)上，用輕繩跨過圓柱體與質(zhì)量分別為的兩小球相連，開始時(shí)讓方在平臺(tái)上，兩邊繩繃直，兩球從靜止開始運(yùn)動(dòng)，其中上升，下降，當(dāng)上升到圓柱體的最高點(diǎn)時(shí)，繩子突然崩裂，發(fā)現(xiàn)恰能做平拋運(yùn)動(dòng)，求應(yīng)為的多少倍？解析

12、：系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過程中只有系統(tǒng)的重力做功，機(jī)械能守恒，設(shè)球上升到圓柱體最高點(diǎn)的時(shí)候速度為，在該過程中繩長(zhǎng)保持不變，在任意時(shí)刻兩球具有相同的速率。由題意分析可知球上升的高度為，經(jīng)過的路程為，等于球下落的高度，則：球做平拋運(yùn)動(dòng)，在頂點(diǎn)處僅受到重力，又因?yàn)樵撨^程是圓周運(yùn)動(dòng)的一部分，在頂點(diǎn)處：，解得，代入上式解得：2.連接體速率相關(guān)聯(lián)問題的求解兩個(gè)物體由于處在不同的約束環(huán)境下，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不同，但作為連接兩個(gè)物體的介質(zhì)繩，能實(shí)現(xiàn)力和能量的傳遞，這也就使兩個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)彼此都會(huì)發(fā)生影響，這就使物體的速度上存在一定的矢量關(guān)聯(lián)，分解或者求解速度之間的約束關(guān)系就成為解決這類問題的關(guān)鍵。原型啟發(fā)如圖所示，物塊和用一不可

13、伸長(zhǎng)的輕繩通過定滑輪連接，放在傾角的固定光滑斜面上，穿過豎直桿沿桿無摩擦地下滑，且。開始時(shí)將抬高到點(diǎn)，使細(xì)繩保持水平，此時(shí)段的繩長(zhǎng)為，現(xiàn)將由靜止開始下滑，求當(dāng)下滑到處，且距離點(diǎn)間距為，求經(jīng)過時(shí)的速度？（）解析：沿桿向下運(yùn)動(dòng)，沿光滑斜面向上運(yùn)動(dòng)，組成的系統(tǒng)只有重力做功，滿足機(jī)械能守恒，設(shè)到達(dá)點(diǎn)時(shí)各自速度分別為和則： ，即：既參與繞點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又參與沿繩向外拉伸的運(yùn)動(dòng)，合運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為沿桿向下運(yùn)動(dòng)，由矢量分解可知：，聯(lián)立兩式解得：。相似問題求解如圖所示，質(zhì)量的物體通過一輕彈簧固連在地面上，彈簧的勁度系數(shù)。一輕繩一端與物體連接，繞過無摩擦的兩個(gè)輕質(zhì)小定滑輪后，另一端與套在光滑直桿頂端質(zhì)量的小球連接

14、。已知直桿固定，桿長(zhǎng)，且與水平面的夾角。初始時(shí)使小球靜止不動(dòng)，與端相連的繩子保持水平，此時(shí)繩子中的張力，已知，重力加速度，繩子不可伸長(zhǎng)，現(xiàn)將小球從靜止釋放，求：在釋放小球前彈簧的形變量；若直線與桿垂直，求物體運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過程中繩子拉力對(duì)物體所做的功； （3）求小球運(yùn)動(dòng)到底端點(diǎn)時(shí)的速度？解析：（1）釋放小球前，物體處于平衡狀態(tài)，設(shè)彈簧形變量為，則：，解得：，故彈簧被拉長(zhǎng)了；（2）物理過程分析：物體由過程中，既同時(shí)參與繞的圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)參與沿繩收縮方向向上的運(yùn)動(dòng)，速度分別設(shè)為，速度矢量分解如圖（甲）所示，當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，沿繩子方向的速度為0，即在物體運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，物體的速度為0。物體的過程中，繩子不斷

15、向外拉長(zhǎng)，由如圖所示存在速度矢量分解。又因?yàn)?，即彈簧在兩種情況下拉伸狀態(tài)相同。解：小球從桿頂端運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理：，其中，物體下降的高度，由此可知彈簧被壓縮了，則彈簧的彈性勢(shì)能在初、末狀態(tài)相同。再以和彈簧為系統(tǒng)，由機(jī)械能守恒：對(duì)小球進(jìn)行速度分解可知，小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)物體B的速度；聯(lián)立以上幾式可得：（3）因桿長(zhǎng)，故，故，彈簧的伸長(zhǎng)量依然為，與最初狀態(tài)相比彈簧的彈性勢(shì)能相同，物體又回到了初始位置，其重力勢(shì)能也與最初狀態(tài)相同。在點(diǎn)對(duì)的速度進(jìn)行分解可得；由機(jī)械能守恒：聯(lián)立兩式可得小球A運(yùn)動(dòng)到桿的底端D點(diǎn)時(shí)的速度【例題解析】如圖所示，一個(gè)半徑的光滑半圓細(xì)環(huán)豎直放置并固定在水平桌面上，為圓心，為

16、半圓環(huán)左邊最低點(diǎn)，為半圓環(huán)最高點(diǎn)。環(huán)上套有一個(gè)的小球甲，甲可以沿著細(xì)環(huán)軌道在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。在水平桌面上方固定了兩個(gè)定滑輪，定滑輪的大小不計(jì)，與半圓環(huán)在同一豎直平面內(nèi)，它們距離桌面的高度均為，滑輪恰好在點(diǎn)的正上方?，F(xiàn)通過兩個(gè)定滑輪用一根不可以伸長(zhǎng)的細(xì)線將小球甲與一個(gè)質(zhì)量為的物體乙連在一起。一開始用手托住物體乙，使小球甲處于點(diǎn)，細(xì)線伸直，當(dāng)乙由靜止釋放后。甲運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)的速度大小是多少？甲、乙速度相等時(shí)，甲距離水平桌面的高度是多少？甲、乙速度相等時(shí)，它們的速度大小是多少？(結(jié)果可以用根式表示)物理過程分析：物體甲球在半圓弧軌道的約束、繩的拉力和自身重力作用下，沿光滑的圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)，克服重

17、力做功，繩子拉力做正功，速率不斷變化。物體乙在自身重力和繩子拉力作用下向下做變加速直線運(yùn)動(dòng)，兩者組成的系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒。選取物體甲沿圓弧運(yùn)動(dòng)到不同位置點(diǎn)，各自的速度矢量分解如圖（甲）所示，由分析可知，當(dāng)物體沿圓弧運(yùn)動(dòng)到繩與圓弧相切點(diǎn)時(shí)，在點(diǎn)的下方點(diǎn)和點(diǎn)，各自的速度矢量分解如圖所示，由此判斷當(dāng)物體甲運(yùn)動(dòng)到頂點(diǎn)處時(shí)，沿繩子運(yùn)動(dòng)的速度為零，即。解析：(1)甲運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí),乙的速度為零： ，解得： (2)當(dāng)連接甲球的細(xì)線與圓環(huán)相切時(shí)，甲、乙速度相等，此時(shí)甲球到達(dá)點(diǎn)，離開桌面的距離為，則： （3）由機(jī)械能守恒可得： 。【拓展提高】如圖所示，一個(gè)半徑為的半球形的碗固定在桌面上，碗的內(nèi)表面及碗口是光滑的，

18、碗口水平，點(diǎn)為其球心。一根輕質(zhì)細(xì)線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球和，當(dāng)它們處于平衡狀態(tài)時(shí)，小球與點(diǎn)的連線與水平線的夾角為。求小球與小球的質(zhì)量比辨析題：現(xiàn)將球質(zhì)量改為，質(zhì)量改為，且開始時(shí)球位于碗口點(diǎn)，由靜止沿碗下滑，當(dāng)球滑到碗底時(shí)，求兩球的速率為多大？某同學(xué)解法如下：當(dāng)球滑到碗底時(shí)，球下降的高度為，球上升的高度為，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有： 且 代入數(shù)據(jù)，解、兩式即可求得兩球的速率。 你認(rèn)為上述分析是否正確？如果你認(rèn)為正確，請(qǐng)完成此題；如果你認(rèn)為不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤，并給出正確的解答。在滿足第（2）問中的條件下，求球沿碗壁運(yùn)動(dòng)的最大位移是多少？ 物理過程分析：球在繩的拉力、碗壁彈力和自身重力的作用下沿碗壁做圓周運(yùn)動(dòng)，速度始終沿切線方向，在任意時(shí)刻速度矢量分解和運(yùn)動(dòng)到特殊點(diǎn)圓周底端時(shí)的速度矢量分解如圖（甲）所示，則：；當(dāng)球由圓周底端繼續(xù)向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，速度矢量分解如圖（乙）所示，即球之間速度在整個(gè)的過程中彼此之間存在著一定的關(guān)聯(lián)。解析：由平衡條件：；對(duì)球，受拉力與重力平衡得：聯(lián)立解得：；不正確。正確解答如下：球在碗底時(shí)，應(yīng)將沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于球的速度的大小。速度矢量分解如圖（甲）所示，即：；根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：