暨南大學(xué)2005—2007年真題(高等代數(shù))

1、暨南大學(xué)2005 2007年招收攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)考試試題(高等代數(shù))2005 年1、( 20'設(shè)m是大于1的整數(shù)，f(X)十+1，證明：f (x)整除f (x ) c的充要條件是c=-m2cos :10III0012cos :1III000+1i2cos :IIIJ-100+040R0III+2cos :+1000III12cos2、(20 '設(shè)n階行列式Dn(1) 當(dāng)=2k二時(shí)，k為整數(shù)，計(jì)算Dn(2)當(dāng)=k二時(shí)，k為整數(shù)，證明 Dn =Sin(n)一sin P3、(15 '以下線性方程組的系數(shù)行列式D =0,D的某個(gè)元素aj的代數(shù)余子式 Aj = 0，a1 X

2、'312X2 川'aXn=0(1)a21X1 a22X2 川 a2nXn =0minanM +an2X2 +jli+annXn =0證明：這個(gè)方程組的解都可以寫成(kAkAilhkAn)的形式，k為任意數(shù).4、 (20 '設(shè)A，B是兩個(gè)n級(jí)方陣，證明：AB與BA有相同的特征多項(xiàng)式5、(20 '將以下二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的滿秩的線性替換2 2 2=2為 3x2 5x3 4XtX2 -4x,x3 -8x2x3 .6、 (15'設(shè) L(r2,3)表示向量 >1 =(1,0,2,0) ,2 =(0,2,0,3) ,3 =(2,6, 4,9)生成的實(shí)

3、向量空間R4 的子空間，把L(1,2,3)的一個(gè)基底擴(kuò)充成 R4的一個(gè)基37、(20'設(shè)二是實(shí)向量空間R的線性變換，對(duì)任意向量=(x,y,z),；(：)- ；(x, y, z) =(2y z, -2x 3乙-x -3y) 求二的特征根與特征向量.8、(20'設(shè)二是n維線性空間V的線性變換，且、二的值域與二的核重合，證明：(1) n是偶數(shù)；(2) 如何選取V的基，才能使 匚在這個(gè)基下的矩陣是假設(shè)爾當(dāng)(Jordon)標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形2006 年一、選擇題(每題5分)2421用多項(xiàng)式g(x) =x -3x 1除多項(xiàng)式f(x)=2x 4x -5x 6所得的余式r(x)二()a.

4、49x-14b.49x -14c.x -14d.49x-1e.前面的答案均不對(duì)2、如果g(x) 是個(gè)非零多項(xiàng)式，且 g(1) = g (1) = 0, g(2) =g (2) =0,那么g(x) 一定有因子：()a. x 7 b.xc. x -16d.(x 1)2(x -2)2e.前面的答案均不對(duì)-13、如果行列式D的第一行第一列元素 a的代數(shù)余子式 A1 =4，貝U x二().-13a.7b.3c.2d.6e.前面的答案均不對(duì)2x4、由行列式定義的x的多項(xiàng)式f (x)二的最高項(xiàng)系數(shù)是(a.7b.2c.8d.6e.前面的答案均不對(duì)a12a13015、如果齊次線性方程組a21a22a23a24X

5、2只有零解，那么(a31a32a34X3a.線性方程組b.線性方程組c.線性方程組a11a12a13a21a22a23a31a32a33©41a42a43a11a12a,3a21a22a23a31a32a3341a42a43a11a12a13a21a22a23a31比2比3衛(wèi)41a42a43a24a44a24a44 一a24a34a44a34a34a42a43a44a14 I X1 丨 1X2X3X2X3a14 I X1X2X3無解;有無窮解;有唯一一組解;d.線性方程組aiia21a31_a41ai2a22a32a42ai3a23a33a43ai4X1a24a34a44X2X3有兩

6、組不同的解;e.前面的答案均不對(duì)6、如果向量組 4i,2,3 1是線性無關(guān)組，那么也是線性無關(guān)組.a.亠：:£2,2 亠:£3, >3 亠：S b.i -2,2 C C./ i 亠：:£2,2 亠:5,3 -d. - ： 2, ： 2 -3, >3e前面的答案均不對(duì)7、一個(gè)矩陣的對(duì)角線上方元素全為零，稱為下三角矩陣，那么a. 任意兩個(gè)同階下三角方陣的乘積不再是下三角矩陣；b. 任意兩個(gè)同階下三角方陣的乘積一定是對(duì)角矩陣；c. 任意兩個(gè)同階下三角方陣的乘積一定不可逆；d. 任意兩個(gè)同階下三角方陣的乘積一定可逆；e. 前面的答案均不對(duì).8、 設(shè)匸, ：-2

7、jH/' 和' ",：2,川，：J均是實(shí)數(shù)域R上的同一個(gè)向量空間 V的基，從基：2,川，/到p%,MB的過渡矩陣為A，即/，向量空間V中的向量關(guān)于基2，：2,川廠n *的坐標(biāo)Pn 一為2,川，yn,即丫 =力小,川，yJ匚，那么向量關(guān)于基Li2，lH，的坐標(biāo)為 戈a.(yi,y2,川 yn)A b.®,y?,|l|,y.)A c.®,y?,川，y.)Ad.A(yy?川，y.) e.前面的答案均不對(duì)2 2 2 9、三元二次型 f(X!,X2,X3)二印必a?2X2 *33X3 2ai?XiX? 2ai3XiX3 2a?3X?X3可能的標(biāo)準(zhǔn)型是：()J

8、2丄2丄212丄2丄22丄222丄2丄22丄22222 1a. y yyb.tyiy?y3,yiy? W c./y?y3,yiy?-y3,yi-y?-y3d/yi2y?2-y32,-%2-y?2議2,-%2-y?2,yi2,0'e.前面的答案均不對(duì)22210、當(dāng)()時(shí)，二次型 f (Xi,X2,X3)=XiX2 5X32tXiX2-2X1X3 4X2X3正定.a.t (£,0) b.t (-如丄 c.t (-如4)d.t (-4,0)U(1,2)55555e.前面的答案均不對(duì)11、()是實(shí)數(shù)域上次數(shù)不超過3次的多項(xiàng)式作成的向量空間的一組基.a. 1,x,-x,x3? b.&#

9、39;1,x 2,-x,x3? c.1,x,x(x 1),x(x1)(x 一2)? d.'1,x 2,x 9,x3?e.前面的答案均不對(duì)0 III1 HI丸III滿足A“ = 0的充要條件是扎10 九|0 00 0 0 III012、假設(shè)爾當(dāng)矩陣A = | +-_0 0 0 IIIa.八0 b.0 c. 1=0- 0 e.前面的答案均不對(duì)13、區(qū)間1.0,11上所有實(shí)函數(shù)全體按實(shí)數(shù)與函數(shù)的乘法和函數(shù)與函數(shù)的加法作成實(shí)數(shù)域上一個(gè)向量空間，該空間是().a.無限維向量空間b.有限維向量空間c.分?jǐn)?shù)維向量空間d.三維向量空間 e.前面的答案均不對(duì)14、如果A是n階實(shí)矩陣，f()= XE-A是

10、A的特征多項(xiàng)式，那么()a.f(A)=0 b.f(A)=0 c.f (A)可逆 d.1是f (A)對(duì)特征值 e前面的答案均不對(duì)15、區(qū)間1.0,11上所有可微實(shí)函數(shù)全體按實(shí)數(shù)與函數(shù)的乘法和函數(shù)與函數(shù)的加法作成實(shí)數(shù)域上的一個(gè)向量空1 1間，由exsin x,ex cosx, xexsin x, xex cosx, x2ex sin x, x2excosx 生成的子空間關(guān)于微分變換D 是I22J().a.其核空間b.其象空間c.不變子空間d.其核空間的正交補(bǔ)空間e.前面的答案均不對(duì)I 1-2 6 |16、 矩陣A= 103的初等因子是().-1-1 4 一a f 1)二b.- 1,(并1)c.；，

11、-1,(%-1)d.-1,(' T) ,(%'1)e前面的答案均不對(duì)17、 設(shè)u =(U1,U2, l,Un)，V =(V1,V2l,Vn)都是n維(n_2)歐氏空間Rn中給定的非零行向量,E是n階frn】單位矩陣令V =彳%公2,111兒 & e R,i =1,2,川，n迄=0卜，那么矩陣A = E vu ().Ii#Ja.有特征值1且其特征子空間為 V b.有特征值1且其特征子空間為V- c有特征值vu且其特征子空間為 Vd有特征值vu且其特征子空間為V- e前面的答案均不對(duì)18、如果是實(shí)正交矩陣Q的實(shí)特征值，那么()a.' =1 b. - -1 c.二d.

12、' =cosv i si nv e.前面的答案均不對(duì)19實(shí)數(shù)域上兩個(gè)有限維向量空間同構(gòu)的充要條件是()a.它們有相同的維數(shù) b它們有不同的維數(shù) c.它們有相同的基 d.它們?yōu)橄嗤南蛄靠臻g e.前面的答案均不對(duì)20、如果%,0(2，川,叫是歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么()是WVkokV的正交補(bǔ)空間 W丄的 一組基。a.：1, >2, 1|,n J b.：1,2, III，n 1 C.匸 1,2, I I Ii，冷 1I I，n d.匸 2,3，川，ne.前面的答案均不對(duì)在以下題目中選做5題.(每題10分)20061、設(shè)多項(xiàng)式f(x)=1，xil (x-k).證明：f(x)是有

13、理數(shù)域上的不可約多項(xiàng)式432試導(dǎo)出Ln、L 2、L 2的遞推關(guān)系，并由此得出Ln元素全為1、其余全為零的2、求多項(xiàng)式f(x) =x 4x 10x12x 9的重根2100III001210III000121III003、設(shè) l_1=2n =0+4I-1I-Rl!Ri+rqI-是主對(duì)角線上元糸全為00川1210000III121000III0122而鄰近主對(duì)角線的上下兩條對(duì)角線上n(n 2)階矩陣的行列式,的計(jì)算公式10 III01 HI4、設(shè)矩陣A=000III00III_an4_anIII0000:，即A為上次對(duì)角線上元素全為1001a2 a11，最后一行元素依次為-an,-anv,-andl

14、l,a2,的n(n-2)階矩陣，試證明 A的特征多項(xiàng)式=(-1)1(，) = (-1)(“ -y I" a*冷a*)，其中E是n階單位矩陣5、對(duì)參數(shù)的不同取值，討論下面方程組的可解性，在可解時(shí)求出其解的一般公式1)x1 x2 x 3 3 I32X| ( ；，：: 1)X2 X3 - 3 IX x2 (. T)x3 = 4 3，311n成立 An2n (-1)n 1 2n 2(-1)nE，其中 E 是 2 階單33設(shè)A是實(shí)正交矩陣，且特征值全為實(shí)數(shù)證明：A是對(duì)稱矩陣 6、設(shè)A|° 1，證明：對(duì)一切自然數(shù)2 1位矩陣7、設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，其特征值中最大者是、，最小者是 。由

15、A定義的二次型為X?f (X1,X2,川,Xn) =(X1,X2li,X2)A +f*gn證明：n元函數(shù)在n維單位球面S=(X,x2|,xn) e Rn E x =1上的最大值是 人，最小值是入n.y8、如果V是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)有限維歐氏空間，而A是V是的一個(gè)保持內(nèi)積不變的變換， 即對(duì)任意:J V，證明：A是歐氏空間V上的線性變換.10、假設(shè)A、B是實(shí)數(shù)域上向量空間 V的兩個(gè)線性變換，且具有關(guān)系 AB - BA二E ,其中E是V的恒等變換.證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)n成立AnB BAn = nAn=2007 年一、判斷以下命題的正誤.(每題3'共30'1、 如果f (x)是實(shí)數(shù)域

16、R上的次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式，那么f(x)是實(shí)數(shù)域R上的不可約多項(xiàng)式的充要條件是："對(duì)實(shí)數(shù)域R上任意兩個(gè)多項(xiàng)式 g(x), h(x)，只要f (x) g(x)h(x)，必有f (x) g(x)或f(x) h(x) .() k!2、 如果k 一2，那么全體k級(jí)排列中奇、偶排列總數(shù)均為.()23、 如果一個(gè)n元齊次線性方程組中每個(gè)方程的未知數(shù)系數(shù)之和全為0,那么該方程組有非零解.()4、 如果n維行向量組 1,2l(n線性無關(guān)且能由門維行向量組 l12l(n線性表示，那么向量組n維列向量空間Rn的一個(gè)基.5、一個(gè)n階實(shí)方陣可逆的充要條件是：該矩陣的列向量全體構(gòu)成6、 兩個(gè)實(shí)二次型f X =

17、X AX,gX =X BX合同當(dāng)且僅當(dāng)它們對(duì)應(yīng)的實(shí)對(duì)稱矩陣A, B均與對(duì)角矩陣合同7、 如果V是實(shí)數(shù)域R上的8維線性空間，那么V有無限組兩兩互異的基.8、 如果V是實(shí)數(shù)域R上的有限維線性空間， 那么V的與全體可逆線性變換可以交換的線性變換是數(shù)乘變換.9、 一個(gè)nxn的幾矩陣A仕可逆的充要條件是：“行列式 Ap.是一個(gè)非0常數(shù).10、 如果二是n維線性空間V的一個(gè)線性變換，那么 二是正交變換的充要條件是：“二變V的某組基為標(biāo)準(zhǔn)正 交基.二、在每個(gè)題后給出的5個(gè)答案中選擇一個(gè)正確的答案填空，將其前的字母填寫在答題紙上：每題4；共40'31、多項(xiàng)式gx二x - px q有重根的條件是：e.前

18、面的答案均不對(duì)a.4 p = 27qb.4 p 27q =0c.27 p -4q = 0 d.4q = 27p2、設(shè)n_2為自然數(shù)，由行列式定義的多項(xiàng)式1x2 xIIIk xIIInJ x1222III2kIII2心1332III3kIII3n_iP(x) =1I-1卜h+的最高次項(xiàng)系數(shù)為：11-lAl2卜IIIlk+III嚴(yán)+I11nh2 nIII+k nIII+nJ nn 2a.(-1)n1|(i!) b.(-1)n1(n-2)! c.(-1)n1 n! d.(-1)n1(n-1)! e.前面的答案均不對(duì)i =23、設(shè)012克是非齊次線性方程組 AX =b的三個(gè)兩兩互異的解向量， 而02,

19、川，口 n是對(duì)應(yīng)齊次線性方程 組AX -0的一個(gè)根底解系，那么非齊次線性方程組AX =b的通解形式之一為：sa. ：12Ci：'i，其中 C1,C2,|l,Cs是任意常數(shù)；i#sb.2 | 22匕、C"，其中G,C2H,Cs是任意常數(shù)；i =12 - 1 - 2 - sC.1 ：2 3 " Cii，其中G,C2I|,Cs是任意常數(shù);555 i:sd. 1 -2C/ i ,其中C1,C2I(,Cs是任意常數(shù)；=1e.前面的答案均不對(duì)4、 設(shè)A是n階方陣且A =0, E是n階單位矩陣，那么 E-A可逆且其逆矩陣為：()a.E A A2 b.A E c.E A2 d.A

20、A2 e前面的答案均不對(duì)5、 如果 n 元二次型 f (Xi,X2,|l( , Xn)的負(fù)慣性指數(shù)為 n，那么二次型 g(X|,X2,|l(, Xn) - - f (Xi,X2川，Xn)()a.負(fù)定b半負(fù)定c.半正定d.正定e.前面的答案均不對(duì)6、 如果 W,W2是實(shí)數(shù)域R上向量空間V的兩個(gè)子空間，貝U Wi W2為直和的充要條件是：()aW| W2b.dim(W W2) dim(W) c.dim(W W2) dim(W) d.We.前面的答案均不對(duì)7、設(shè)3維向量空間V上的線性變換 二在基；1, ；2, ；3下的矩陣為a11a21u a31a12a22a32旦3 Ia23，那么CT在基E2,名

21、3 ,引下的矩a33 |a11a12a13f313a12a11fa12a13a11a13a11a12 1a21a22a23b.a23a22a21c.a22a23a21d.a23a21a22?31a32a33 _1 ia33a32a31 _a32a33a31 _a33a31a32 _陣為：().a.e.前面的答案均不對(duì)的不變因子由低次到高次依次為(18、A(Q = 00a：1,',2f. b.、1,1-%, -1 r2c. "1-%,1-%2,1 - - 2-%3 f d.、1,',2re 前面的答案均不對(duì)9、與4維行向量空間(1,1,-1,1),(1, -1,-1,1

22、),(2,1,1,3)1正交的4維單位行向量是：()1111a. (4,0, -3,1) b.(4,0,1, -3) c.(0,4, -3,1) d. (0,4,1,-3) e前面的答案均不對(duì)、26 . 26 . 26 . 2610、如果設(shè)二是n(n -1)維實(shí)數(shù)域上線性空間 V的一個(gè)線性變換，那么 二可逆的充要條件是()a.<i(V) =&(o()Xv = 0 b.dimp)cn c.ker®) =譏Vga) =0 = 。d.dim(ker(-)二n e.前面的答案均不對(duì)三、解決以下各題(每題12'共60'321、設(shè)：r,2,3是方程8x _8x4x

23、7 = 0的3個(gè)根，計(jì)算門2 亠"：22 亠-：1 ： 2冷2 亠"：32 亠二13 J 亠二 22:匕32的值.2、f Xi x '- 2x _6線性方程組* 4x1 -x2 -x3-x4 =1 是否有解？假設(shè)有解， 是否有唯一解？假設(shè)解不唯一，試求其一個(gè)3 Xi x? X3 3特解和對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的一個(gè)根底解系0 1 03、設(shè)A = 0 0 1 ，試求A的可交換的3階實(shí)方陣全體組成的線性空間的一組基和維數(shù)0 0 0一4、試計(jì)算二次型fX1,血，怡=X1X2 x1x3 x2x3的標(biāo)準(zhǔn)型和對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)變換5、設(shè)A是主對(duì)角線元素全為1而其它非對(duì)角元素為 2的nn1階矩陣，即