第六節(jié)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂ppt課件

1、上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性*第六節(jié)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性及一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 第十二章 上頁 下頁 返回 結(jié)束 冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)類似于多項(xiàng)式冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)的性質(zhì)類似于多項(xiàng)式,但一般函數(shù)但一般函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則不一定有這么好的特點(diǎn)項(xiàng)級(jí)數(shù)則不一定有這么好的特點(diǎn). 例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù))()()(1232nnxxxxxxx每項(xiàng)在每項(xiàng)在 0,1 上都連續(xù)上都連續(xù), 其前其前 n 項(xiàng)之和為項(xiàng)之和為,)(nnxxS和函數(shù)和函數(shù))(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 1該和函數(shù)在該和函數(shù)在 x

2、1 連續(xù)連續(xù).一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性上頁 下頁 返回 結(jié)束 因?yàn)閷?duì)任意因?yàn)閷?duì)任意 x 都有都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收斂域?yàn)樗运氖諗坑驗(yàn)?(, +) ,但逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)但逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù) xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般項(xiàng)不趨于其一般項(xiàng)不趨于0, 所以對(duì)任意所以對(duì)任意 x 都發(fā)散都發(fā)散 .又如又如, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題問題: 對(duì)什么樣的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)才有對(duì)什么樣的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)才有:逐項(xiàng)連續(xù)逐項(xiàng)連續(xù) 和函數(shù)連續(xù)和函數(shù)連續(xù); 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo) = 和函數(shù)求導(dǎo)和函數(shù)求導(dǎo); 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積

3、分 = 和函數(shù)積分和函數(shù)積分 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義. 設(shè)設(shè) S(x) 為為 )(1xunn若對(duì)若對(duì) 都有一個(gè)只依賴于都有一個(gè)只依賴于 的自然數(shù)的自然數(shù) N , 使使 當(dāng)當(dāng)n N 時(shí)時(shí), 對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間 I 上的一切上的一切 x 都有都有)()()(xSxSxrnn則稱該級(jí)數(shù)在區(qū)間則稱該級(jí)數(shù)在區(qū)間 I 上一致收斂于和函數(shù)上一致收斂于和函數(shù)S(x) .在區(qū)間在區(qū)間 I 上的和函數(shù)上的和函數(shù),任意給定的任意給定的 0,顯然顯然, 在區(qū)間在區(qū)間 I 上上 )(1xunn一致收斂于和函數(shù)一致收斂于和函數(shù)S(x)部分和序列部分和序列)(xSn一致收斂于一致收斂于S(x) 余項(xiàng)余項(xiàng) )(xrn一致

4、收斂于一致收斂于 0 上頁 下頁 返回 結(jié)束 幾何解釋幾何解釋 : (如圖如圖) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,ZN當(dāng)當(dāng)n N 時(shí)時(shí),表示)()(xSxSn曲線曲線 )()(xSyxSy與總位于曲線總位于曲線)(xSyn)(xSyn之間之間.上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 研究級(jí)數(shù)研究級(jí)數(shù) ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在區(qū)間在區(qū)間 0, +) 上的收斂性上的收斂性.解解: 111) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1(k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(lim)(xSxSnn)

5、1111(limnxxn11x)0( x余項(xiàng)的絕對(duì)值余項(xiàng)的絕對(duì)值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因而因而, 任給任給 0, 取自然數(shù)取自然數(shù) ,11N則當(dāng)則當(dāng)n N 時(shí)有時(shí)有)0()(xxrn這說明級(jí)數(shù)在這說明級(jí)數(shù)在 0, +) 上一致收斂于上一致收斂于 .11)(xxS上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù) )()()(1232nnxxxxxxx在在 0,1 上不一致收斂上不一致收斂 . 證證: nnnnxxxxxxxS)()()(12)(xS10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正數(shù)取正數(shù) ,21對(duì)無論多么大的正數(shù)對(duì)

6、無論多么大的正數(shù) N ,)(11210Nx取, 1, 00 x,)(2101xrN而因此級(jí)數(shù)在因此級(jí)數(shù)在 0, 1 上不上不一致收斂一致收斂 . 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yox說明說明:11nnnxxS)()(xS10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(xS對(duì)任意正數(shù)對(duì)任意正數(shù) r 0, 欲使欲使,nr只要只要,lnlnrn因此取因此取,lnlnrN只要只要,Nn ,)(nnrxr必有即級(jí)數(shù)在即級(jí)數(shù)在 0, r 上一致收斂上一致收斂 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(Weierstrass) 判別法判別法 用一致收斂定義判別級(jí)數(shù)的一致收斂性時(shí)用一致收

7、斂定義判別級(jí)數(shù)的一致收斂性時(shí), 需求出需求出 ),()(xSxSn及這往往比較困難這往往比較困難. 下面介紹一個(gè)較方便的下面介紹一個(gè)較方便的判別法判別法.若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))(1xunn在區(qū)間在區(qū)間 I 上滿足上滿足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)nna則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn在區(qū)間在區(qū)間 I 上一致收斂上一致收斂 .上頁 下頁 返回 結(jié)束 由條件由條件2), 根據(jù)柯西審斂原理根據(jù)柯西審斂原理, ,0N當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 對(duì)任意正整數(shù)對(duì)任意正整數(shù) p , 都有都有 221pnnnaaa由條件由條件1), 對(duì)對(duì) x I , 有有)()()(2

8、1xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa則由上式得令,p2)(xrn故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)故函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn在區(qū)間在區(qū)間 I 上一致收斂上一致收斂 . 證畢證畢證證: :上頁 下頁 返回 結(jié)束 oxRRab若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)nnnxa0的收斂半徑的收斂半徑 R 0 , 則此級(jí)則此級(jí) 數(shù)在數(shù)在 (R, R ) 內(nèi)任一閉區(qū)間內(nèi)任一閉區(qū)間 a , b 上一致收斂上一致收斂 .證證: ,maxbar 設(shè)則對(duì)則對(duì) a , b 上的一切上的一切 x , 都有都有 ),2, 1 ,0(nraxannnn,0Rr 而由阿貝爾定理由阿貝爾定理(第三節(jié)定理第三節(jié)定理1) 級(jí)數(shù)級(jí)

9、數(shù) nnnra0絕對(duì)收斂絕對(duì)收斂 ,由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立由維爾斯特拉斯判別法即知推論成立. 說明說明: 若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂若冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間的端點(diǎn)收斂, 則一致收斂則一致收斂 區(qū)間可包含此端點(diǎn)區(qū)間可包含此端點(diǎn). 證畢證畢 推論推論. .上頁 下頁 返回 結(jié)束 證明級(jí)數(shù)證明級(jí)數(shù)22222sin22sin1sinnxnxx在在(, +) 上上 一致收斂一致收斂 .證證: ),(x因?qū)θ我?,2, 1 ,0(1sin222nnnxn而級(jí)數(shù)而級(jí)數(shù)021nn收斂收斂, 由維爾斯特拉斯判別法知所給級(jí)數(shù)由維爾斯特拉斯判別法知所給級(jí)數(shù)在在 (, +) 上上 一致收斂一致收斂 .例例3.3

10、.上頁 下頁 返回 結(jié)束 維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級(jí)數(shù)的一致收維爾斯特拉斯判別法不僅能判別級(jí)數(shù)的一致收 斂性斂性, 而且能判別其絕對(duì)收斂性而且能判別其絕對(duì)收斂性. 當(dāng)不易觀察到不等式當(dāng)不易觀察到不等式時(shí)，nnaxu)(可利用導(dǎo)數(shù)求可利用導(dǎo)數(shù)求)(maxxuanIxn例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù),1251xnxnn), 0 x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求導(dǎo)法可得用求導(dǎo)法可得知知2311nn收斂收斂, 因此原級(jí)數(shù)在因此原級(jí)數(shù)在0, +) 上一致收斂上一致收斂 . ,1)(25xnxnxun說明說明: :上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理1. 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) :)(1滿足x

11、unn, )(,)()21xSbaxunn上一致收斂于在區(qū)間.,)(上連續(xù)在則baxS證證: 只需證明只需證明, ,0bax . )()(lim00 xSxSxx由于由于)()(0 xSxS)()()()(00 xrxSxrxSnnnn)()()()(00 xrxrxSxSnnnn;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項(xiàng)baxun二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)二、一致收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)上頁 下頁 返回 結(jié)束 因?yàn)榧?jí)數(shù)因?yàn)榧?jí)數(shù))(1xunn一致收斂于一致收斂于S (x) , N, 0故),(N使當(dāng)使當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 有有3)(,3)(0 xrxrnn對(duì)這樣選定的對(duì)這樣選定的 n , ,)(0連續(xù)在xxSn從

12、而必存在從而必存在 0 ,有時(shí)當(dāng),0 xx3)()(0 xSxSnn從而得從而得)()(0 xSxS,)(0連續(xù)在故xxS).()(lim00 xSxSxx即證畢證畢 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1) 定理定理1 說明說明, 對(duì)一致收斂的級(jí)數(shù)對(duì)一致收斂的級(jí)數(shù), 極限運(yùn)算與無限極限運(yùn)算與無限 求和運(yùn)算可交換求和運(yùn)算可交換, 即有即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí)若函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立定理結(jié)論不一定成立. 例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在區(qū)間在區(qū)間 0 , 1 上處處收斂上處處收斂, 而

13、其和函數(shù)而其和函數(shù))(xS10 x, 01x, 1在在 x = 1 處不連續(xù)處不連續(xù) .說明說明: :上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2. 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) :)(1滿足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收斂于在區(qū)間則該級(jí)數(shù)在則該級(jí)數(shù)在 a, b 上可逐項(xiàng)積分上可逐項(xiàng)積分, xxuxxSnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即對(duì)且上式右端級(jí)數(shù)在且上式右端級(jí)數(shù)在 a, b 上也一致收斂上也一致收斂 . 證證: 因?yàn)橐驗(yàn)?xxukxxnkd)(01xxSxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上連續(xù)在區(qū)間各項(xiàng)baxun上頁 下頁 返回 結(jié)束 所以只需證明對(duì)任意所以只需

14、證明對(duì)任意 ),(,00 xxbaxx一致有一致有xxSxxSxxnxxnd)(d)(lim00 根據(jù)級(jí)數(shù)的一致收斂性根據(jù)級(jí)數(shù)的一致收斂性, ),(, 0NN 使當(dāng)使當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 有有abxSxSn)()(于是于是, 當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 對(duì)一切對(duì)一切 ),(,00 xxbaxx有有xxSxxSxxnxxd)(d)(00 xxSxSnxxd)()(0 xxSxSnbad)()(因此定理結(jié)論正確因此定理結(jié)論正確. 證畢證畢 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明: 若級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí)若級(jí)數(shù)不一致收斂時(shí), 定理結(jié)論不一定成立定理結(jié)論不一定成立. 例如例如, 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 2222) 1(221) 1(

15、22xnxnnexnexn它的部分和它的部分和 ,2)(222xnnexnxS因此級(jí)數(shù)在因此級(jí)數(shù)在 0 , 1 上上收斂于收斂于 S (x) = 0 , 所以所以.0d)(10 xxS但是但是xexnexnxnxnnd) 1(222222) 1(2211022) 1(1nnnee110)(dxxS為什么對(duì)級(jí)數(shù)定理結(jié)論不成立為什么對(duì)級(jí)數(shù)定理結(jié)論不成立? 分析它是否滿足分析它是否滿足 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理2 條件條件. 級(jí)數(shù)的余項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng) 2222)(xnnexnxr,10時(shí)當(dāng)nx )2(12)(0nenxrn可見級(jí)數(shù)在可見級(jí)數(shù)在 0, 1 上不一致收斂上不一致收斂 , 此即定理此即

16、定理2 結(jié)論結(jié)論 對(duì)級(jí)數(shù)不成立的原因?qū)?jí)數(shù)不成立的原因. 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理3. 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 滿足：)(1xunn,)()31上一致收斂在級(jí)數(shù)baxunn)()(1xuxSnn且可逐項(xiàng)求導(dǎo)且可逐項(xiàng)求導(dǎo), 即即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上連續(xù)在,)(1上一致收斂在區(qū)間則baxunn; )(,) 1xSba上收斂于在區(qū)間證證: 先證可逐項(xiàng)求導(dǎo)先證可逐項(xiàng)求導(dǎo). ),()(1xxunn設(shè)根據(jù)定理根據(jù)定理2, 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有對(duì), ,baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(aSxS上式兩邊對(duì)上式兩邊對(duì)

17、 x 求導(dǎo)求導(dǎo), 得得 ).()(xxS再證再證.,)(1上一致收斂在baxunn根據(jù)定理根據(jù)定理 2 , ,d)(1上一致收斂在級(jí)數(shù)baxxunxan而而xxunxand)(1)()(11auxunnnn上頁 下頁 返回 結(jié)束 )(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以所以.,上一致收斂在ba級(jí)數(shù)一致收斂并不保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo)級(jí)數(shù)一致收斂并不保證可以逐項(xiàng)求導(dǎo). 例如例如, 例例3中的級(jí)數(shù)中的級(jí)數(shù)22222sin22sin1sinnxnxx說明說明:在任意區(qū)間上都一致收斂在任意區(qū)間上都一致收斂, 但求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)但求導(dǎo)后的級(jí)數(shù) xnxx22cos2coscos其一般項(xiàng)不趨于其一般項(xiàng)不趨

18、于 0, 所以對(duì)任意所以對(duì)任意 x 都發(fā)散都發(fā)散 . 證畢證畢 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 證明函數(shù)證明函數(shù) 31sin)(nnxxfn對(duì)任意對(duì)任意 x 有連續(xù)導(dǎo)數(shù)有連續(xù)導(dǎo)數(shù).解解: 顯然所給級(jí)數(shù)對(duì)任意顯然所給級(jí)數(shù)對(duì)任意 x 都收斂都收斂 , 且每項(xiàng)都有連續(xù)且每項(xiàng)都有連續(xù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù), 而逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù)而逐項(xiàng)求導(dǎo)后的級(jí)數(shù) 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收斂nn故級(jí)數(shù)在故級(jí)數(shù)在 (,+) 上一致收斂上一致收斂, 故由定理故由定理3可知可知.cos)(21nnxxfn 再由定理再由定理1可知可知 .),()(上連續(xù)在 xf上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理4

19、. 若冪級(jí)數(shù)若冪級(jí)數(shù)nnnxa0的收斂半徑的收斂半徑,0R)(xS數(shù)nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx則其和函則其和函在收斂域上連續(xù)在收斂域上連續(xù), 且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與且在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分逐項(xiàng)求積分, 運(yùn)算前后收斂半徑相同運(yùn)算前后收斂半徑相同,即即證證: 關(guān)于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項(xiàng)可積的結(jié)論由維爾斯關(guān)于和函數(shù)的連續(xù)性及逐項(xiàng)可積的結(jié)論由維爾斯 特拉斯判別法的推論及定理特拉斯判別法的推論及定理 1, 2 立即可得立即可得 . 下面證明逐項(xiàng)可導(dǎo)的結(jié)論下面證明逐項(xiàng)可導(dǎo)的結(jié)論:上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證:.),(10內(nèi)收斂在先證級(jí)數(shù)RRxannnn),(RRx任取,11Rxxx使再取定, 11xxq記那么那么1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxqn1111由比值審斂法知級(jí)數(shù)由比值審斂法知級(jí)數(shù) ,10收斂nnqn故故, 0lim1nnqn,1有界因此nqn故存在故存在 M 0 , 使得使得 ),2, 1(111nMqnxn,01Rx 又,10收斂級(jí)數(shù)nnnxa由比較審斂法可知由比較審斂法可知上頁 下頁 返