初中奧林匹克數(shù)學解題思想方法和技巧 2010 9 27

1、初中奧林匹克數(shù)學解題思想方法和技巧【英文題名】Methodology and Techniques for Solving on Olympic Mathematics in Junior Middle School【中文關(guān)鍵字】 奧林匹克數(shù)學; 初中奧數(shù); 解題的方法和技巧;【英文關(guān)鍵詞】 Olympic mathematics; Olympic mathematic in Junior Middle School; methodology and techniques for solving ; 【中文摘要】隨著數(shù)學奧林匹克活動的廣泛深入的發(fā)展,奧林匹克數(shù)學及其教育也引發(fā)了各種各樣的問題與

2、爭議。在這種情況下,本文就初中的奧林匹克數(shù)學的解題為研究對象,對其所涉及的思想方法與技巧進行研究探討。【英文摘要】With the extensive and thorough development of the Mathematical Olympic activities, the Olympic mathematics and the education on it have also initiated various questions and disputes. Under this situation, with solving on Olympic Mathematics i

3、n Junior Middle School as its research objectives, this article attempts to study and probe on the methodology and techniques involved in it. 一奧林匹克數(shù)學教育數(shù)學競賽的興起，對數(shù)學、教育學和考試學都產(chǎn)生了積極的影響，對數(shù)學教育的改革也產(chǎn)生了一定的推動作用。這些都導致了競賽數(shù)學的誕生，從教育的角度看，競賽數(shù)學教育圍繞著數(shù)學競賽展開的數(shù)學教育活動，以開發(fā)智能為根本目的，以解決問題為基本形式，以數(shù)學競賽大綱為基本教學內(nèi)容，實行“多綱多本”的具有綜合性教育功能

4、的數(shù)學素質(zhì)教育。 何為競賽數(shù)學呢？我所理解的競賽數(shù)學應該是一門交叉學科，應該是數(shù)學與教育學的交叉，高等數(shù)學與初等數(shù)學的交叉，高等教育與初等教育的交叉，同時也是數(shù)學素質(zhì)與應試藝術(shù)的融合。二.初中奧林匹克數(shù)學內(nèi)容以及初中數(shù)學競賽的發(fā)展趨勢奧林匹克數(shù)學已經(jīng)成為中小學生數(shù)學課外活動的重要部分，奧林匹克數(shù)學的研究也已經(jīng)成為數(shù)學研究的重要課題。而初中奧數(shù)是奧數(shù)教育的基礎，對于數(shù)學人才的發(fā)現(xiàn)和培養(yǎng)，激發(fā)數(shù)學學習的興趣，推動數(shù)學教育的改革和發(fā)展都具有非常重要的、不可替代的作用。因此隨著數(shù)學奧林匹克和數(shù)學教育的不斷深化和發(fā)展，恰當?shù)卦u估初中奧數(shù)的奧數(shù)教育和基礎數(shù)學教育中的地位和作用。適宜地介紹初中學生學習的奧數(shù)

5、內(nèi)容，正確地引導初中學生學習奧數(shù)，不論對奧數(shù)活動的健康發(fā)展，還是對基礎數(shù)學教育和奧數(shù)的深入研究都是非常有益和必要的。 中國數(shù)學奧林匹克的培訓，基本上已經(jīng)形成了一個比較合理有效的培訓體系。在著這個體系中高中學生是數(shù)學奧林匹克的主力軍。我們也不可否認的認識到隨著奧數(shù)活動不斷發(fā)展，初中將會成為培養(yǎng)奧數(shù)人才的基地。當培訓體系逐步完善的同時，競賽活動和內(nèi)容也應該規(guī)范化與正規(guī)化。三.初中奧林匹克數(shù)學中解題的思想方法與技巧 競賽數(shù)學是鍛煉思維的體操，其核心是問題。數(shù)學競賽就是解決問題的競賽，那么，解題就成為了競賽數(shù)學教育的重要組成部分。在學校的數(shù)學學習中，同學們幾乎每天都要解一些數(shù)學題，許多同學對于書本上基

6、礎知識、定理可說是可以倒背如流，但是他們一碰到那些構(gòu)思巧妙、靈活運用知識、不拘一格的競賽數(shù)學題目的時候，就束手無策，連解題的著手點都找不到。當老師或者同學將解答過程高質(zhì)的時候，霎時恍然大悟，大發(fā)感慨原來如此。因此，很多同學都希望可以提高自己的解題能力，特別是一些希望參加競賽，并想在競賽中取得好成績的同學。那么，怎樣才能提高我們的解題能力呢！首先，要求同學們對課本所涉及的數(shù)學概念以及與這些概念緊密相關(guān)的定義、定理、數(shù)學公式與法則等都要熟悉；其次，要能夠靈活運用這些指示，在運用中可以結(jié)合一些基本的數(shù)學思想方法與解題技巧，打好這兩個方面的基礎之后，還要配合一定量的聯(lián)系來積累解題經(jīng)驗，養(yǎng)成良好的解題習

7、慣。解題經(jīng)驗的積累對于我們提高解題能力很重要，我們?nèi)裟軌蛟诮忸}中注意積累每一點發(fā)現(xiàn)與認識，從量變到質(zhì)變，慢慢就可以培養(yǎng)出一種善于思考和解決問題的能力。下面向大家介紹一些基礎的解題思想方法與技巧：首先，要養(yǎng)成良好的解題習慣，很多同學都忽視了解題步驟這一環(huán)節(jié)，一拿到題目就開始動筆進行解題，實際上這樣做是不好的。正確的解題步驟對我們解決問題有很大的幫助。那么，正確的解題步驟是怎樣的呢？其實每一位同學都知道，美國著名的數(shù)學家、教育學家波利亞在他的驚世之作怎樣解題中也明確地指出解題的步驟是：1.審題；2.分析；3.解題；4.檢查。首先，審題是解題的出發(fā)點。有許多數(shù)學題在審清題意之后，同時就發(fā)現(xiàn)了解題的方

8、法和途徑，因此，審題是解題中最重要的環(huán)節(jié)。當然也有一些數(shù)學題雖然我們審情出了題目，但是我們卻不能立即找出解題的方法甚至是連題目的意思都還沒有琢磨透，這時，就需要我們根據(jù)過去積累的解題經(jīng)驗，利用自己掌握的解題方法與技巧，將原問題轉(zhuǎn)化，尋找到解題的著手點，然后將它解決。在這個過程中數(shù)學的思想方法和解題技巧起到了非常重要而關(guān)鍵也是非常靈活的作用。這個過程也是最能夠展現(xiàn)數(shù)學美的地方，不知多少數(shù)學愛好者們陶醉于這個過程中，樂不思蜀。最后解題必須注意總結(jié)解題經(jīng)驗也就是檢查。如果說認真審題一個好的開頭，那么認真總結(jié)經(jīng)驗就是一個好的結(jié)尾?？偨Y(jié)是為了以后解題的需要。有了良好的解題習慣，無疑對于提高我們的解題能力

9、奠定了一個堅實的基礎。其次，要奠定好堅實的解題功底掌握好解題工具：數(shù)學的思想方法和技巧。下面將這些方法與技巧分成：1.探索思路的鑰匙-關(guān)于審題的思想；2.解決問題的關(guān)鍵-關(guān)于解題的思想。1.探索思路的鑰匙關(guān)于審題的思想 整體處理的思想 一道數(shù)學題可以說是一個系統(tǒng)，有條件和文體組成，條件通常分成幾個部分獨立開來。有時條件多了，問題應該會比較容易解決，但是前提是合理地利用條件。如果條件之間相互獨立而毫無聯(lián)系，那么對于我們審題來說是一種麻煩，所以我們在審題的時候就應該注意對題目整體結(jié)構(gòu)的分析處理，從整體的性質(zhì)出發(fā)去把握各個部分，這樣處理思想我們稱之為整體處理的思想。也就是說可以通過政體的性質(zhì)類確定部

10、分的性質(zhì)。在競賽數(shù)學里，整體處理的思想應用也非常的廣泛，例如：例1在ABC的內(nèi)部有個點，以這個點為頂點，將三角形分割成互補重疊的三角形，共可得幾個三角形？分析：由于對ABC的分割未必是唯一的，因此，直接計算比較困難。當我們?nèi)=1.2.3可以猜測一共得到小三角形個。這里如果我們可以用整體處理的方法來解決的話，就可以找到解題的辦法。解：設三角形分割得到個小三角形，由于三角形的內(nèi)角和是180度，所以個三角形的內(nèi)角和等于：;另外我們注意到從整體來看這個三角形的內(nèi)角和是由兩部分角組成的，一是在等頂點A、B、C處，二是頂點在三角形內(nèi)部的個點而且互補重疊，每一個點都對應一個360度的周角，所以內(nèi)角和綜上所

11、述可以得到：所以.從上面的例子我們可以看出：整體處理的思想方法可以幫助我們發(fā)掘問題的內(nèi)在特征，聯(lián)合各個條件，使得每一個條件的作用力都朝著解決問題的方向使，從而使得所研究的問題得以順利解決。 等量代換的思想等量代換顧名思義就是用相等的量來代換原來的量，使原問題得以解決的思想方法。通過改變原命題的陳訴或者改變觀察角度，使之更為我們所熟悉，從而達到解題的目的。運用數(shù)學元素的等量代換來解題的方法叫做換元法。換元法就是用一個新的字母或者新的數(shù)學式取代換原字母或者數(shù)學式。利用恒等變形，將原問題由難化易，由繁化簡，由隱蔽化顯然的一種等量代換的解題方法。在競賽數(shù)學里，等量代換的思想應用也非常的廣泛，看下面的例

12、題： 例2已知求證： 證明：設則： 由上式得： 從而： 說明：由于已知條件和問題表達式比較復雜，所以我們可以利用換元法將其化簡，再利用關(guān)系式得到結(jié)果。2.解決問題的關(guān)鍵-關(guān)于解題的思想 帶余除法初等數(shù)論中有許多問題都是在研究整數(shù)之間的除法。任意兩個整數(shù)的和、差或者積都是整數(shù)，但是兩個整數(shù)相除時所得到的結(jié)果卻不一定是整數(shù)。那么就可以將除法分為整除和帶余除法。下面。先介紹一下帶余除法的概念與性質(zhì)：帶余除法：設、是兩個整數(shù)，則存在唯一的一對整數(shù)q和r，滿足 ，其中稱為除以所得的商，稱為除以所得的余數(shù)。定義：如果除以所得的余數(shù)等于零，那么稱能被整除，或稱整除。記作。否則，如果余數(shù)不等于零，那么稱不能整

13、除。性質(zhì)1：如果那么。這時整除的傳遞性；行至2：若則對任意整數(shù)都有 有了上面的定義和性質(zhì)，我們可以很方便地將整數(shù)劃分為若干類。奇數(shù)和偶數(shù)實際上就是將所有整數(shù)按被2除時的余數(shù)為1還是為0這個標準分成兩類。余數(shù)為1就是奇數(shù)，用或（這里為整數(shù)）表示；余數(shù)為0就是偶數(shù)，用表示。這種分類的方法很容易推廣到一般情形，例如：所有整數(shù)按輩3除時的余數(shù)可分成三類：第一類是能夠被3整除的數(shù)，可以用表示；第二類是被3除余數(shù)為1的數(shù)，可以用表示；第三類是被3除余數(shù)為2的數(shù)，可以用或表示。一般德，整數(shù)按被除時的余數(shù)可以分成類，這類數(shù)可以分別用表示，其中為整數(shù)。按照這個規(guī)律，我們完全可以根據(jù)問題的需要將整數(shù)劃分成若干類，

14、從而使問題條理化，這就是利用余數(shù)的思想方法。例34個數(shù)2613，2243，1503，985被同一自然數(shù)除時所得的余數(shù)相同（但不為零），求除數(shù)和余數(shù)。解：設除數(shù)為，余數(shù)為，依題意有： 得：得： 以上可知，370和518都可以被整除，也就是說時370和518的公約數(shù)。因為370和518的大于1的公約數(shù)有2，37，74，所以相應地 所以除數(shù)為2時余數(shù)是1，除數(shù)是37時余數(shù)是23，除數(shù)是74時余數(shù)是23。 待定系數(shù)法 “待定系數(shù)法“是一種很重要的解決多項式問題的數(shù)學方法，它的思想方法是：先假設一個恒等式，其中含有待定的系數(shù)，然后根據(jù)多項式衡等概念或者是有關(guān)的定理導出方程或方程組，解方程或方程組從而求出

15、待定的稀疏，或者從方程或方程組中消去待定系數(shù)，找到原來那些已知系數(shù)間所存在的關(guān)系，從而解決問題。在這種方法的使用過程中有個地方需要注意：在假設恒等式的時候，通常需要知道問題的預定結(jié)構(gòu)，當中的待定系數(shù)主要是整式中的系數(shù)。換句話說就是：只要能與之多項式問題的結(jié)構(gòu)都可以考慮使用待定系數(shù)法。下面我們用例子來看看待定系數(shù)法的應用：例4請問：當為什么數(shù)時，多項式能夠被整除？分析：根據(jù)題目的意思和整除的要求，可以預知商式應該是一個二次三項式，所以我們可以運用待定系數(shù)法假設所求商式為，再根據(jù)題目已知的兩個多項式進行分析可以知道，這樣就減少了兩個待定系數(shù)，再根據(jù)多項式衡等概念可以求解出其他三個待定系數(shù)。解：假設商式為，則依題意可得： 比較等式左右兩邊多項式的系數(shù)可得：解方程組得： 所以當時，多項式能夠被整除。四、小結(jié)數(shù)學競賽的興起，對數(shù)學、教育學和考試學都產(chǎn)生了積極的影響，對數(shù)學教育的改革也產(chǎn)