實(shí)變函數(shù)教案ch5積分2

1、§5.3. 乘積空間上的積分定義5.3.1X與Y是集合，分別取定 與，記 ，稱 E的x截口（集）， E的y截口（集）定義5.3.2設(shè) 為上的二元函數(shù)取定 ，定義 稱為的截口（函數(shù)） 類似可定義的截口（函數(shù)）性質(zhì)：若 有 ， ， 以下設(shè) 上的函數(shù)，那么：； ；定義5.3.3（乘積代數(shù)）設(shè)AX和AY 分別是X和Y上的代數(shù)，記 AX, AY 由生成的代數(shù)和代數(shù)分別稱為AX與AY的乘積代數(shù)和乘積代數(shù)記 AXAY， 稱 AXAY) 為可測(cè)空間, AX) 與, AY) 的乘積可測(cè)空間稱為可測(cè)矩形 AXAY 中的元素稱為中的可測(cè)集定理5.3.1設(shè) AXAY) 是乘積可測(cè)空間 (1) 若AXAY，則

2、 有 AY，AX；(2) 若 f是上的AXAY可測(cè)函數(shù)，則 上的AY可測(cè)函數(shù)；上的AX可測(cè)函數(shù)證：只對(duì)截口加以證明(1) 取定，令A(yù)XAYAY 據(jù)截口集的性質(zhì)知，為上的代數(shù) 而當(dāng)，有 AY于是，進(jìn)而AXAY 這說(shuō)明：AXAY，則 AY，(2) f是上的AXAY可測(cè)函數(shù)， 開集AXAY 由(1)得 AY， 從而 上的AY可測(cè)函數(shù)引理定理5.3.2設(shè), AX, ) 和, AY, ) 是兩個(gè)有限測(cè)度空間，AX和AY是代數(shù) y E (1) 若AXAY，定義，則是X上 Ex 的非負(fù)AX可測(cè)函數(shù)； y Ey(2) 由 AXAY) 定義的集合函數(shù)是 AXAY)上的有限測(cè)度，且 o x x，AX，AY)滿足上

3、式的乘積空間上的測(cè)度是唯一的（證略）定理5.3.3( Fubini定理 )設(shè), AX, ) 和, AY, ) 是兩個(gè)有限測(cè)度空間，AX 和AY 是代數(shù)，為 AXAY) 上的可測(cè)函數(shù)(1) 若 ，則存在零測(cè)集A與零測(cè)集B，令 ， 則 ，且成立 (*)(2) 若 的兩個(gè)累次積分中有一個(gè)有限，則另一個(gè)也有限； 此時(shí)在上可積，同時(shí)(*)式成立證：分三種情況討論(1) 首先，設(shè)AXAY 則, 據(jù)前一定理，為X上非負(fù)AX可測(cè)函數(shù)，且 由積分的線性性質(zhì)知，當(dāng)為上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)時(shí)，也有 (a) 其次，設(shè)為上的非負(fù)AXAY可測(cè)函數(shù)，用非減的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)列，據(jù)Levi定理，可得(a)式成立最后，設(shè)為上的一般AXA

4、Y可測(cè)函數(shù)且可積令 ，則 均在X上非負(fù)AX可測(cè)，且由 ，可知均在X上非負(fù)可積，從而在X上a.e. 有限 記 ， 則 再令 ， 則在X上可積，且當(dāng) 時(shí)； 當(dāng) 時(shí)，此外，同理可證，存在 零測(cè)集B及，使 (2) 在(1)中已證：若為上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，有(a)式成立在(a)式中，視作，視作相應(yīng)所得的函數(shù)，則知當(dāng)在X上可積時(shí)（即的“先y后x的累次積分值有限”），在上的積分值也有限，在上可積，從而在上可積由(1)即得(2)（書上錯(cuò)誤）例1設(shè) ， 若 ， 則 絕對(duì)收斂， 且 證：在Fubini 定理中， 取 ， AXAY=P ， 上的計(jì)數(shù)測(cè)度)， 則AXAY， 為上的計(jì)數(shù)測(cè)度， 是上的可測(cè)函數(shù)，據(jù)Fubin

5、i 定理中(2) 即得結(jié)論例2（積分的幾何意義）設(shè), A ,是有限的測(cè)度空間，是有限值可測(cè)函數(shù)，若 y f(x) y= f(x) A，記曲邊梯形 則 為 A上的可測(cè)集，且 證：令 o a x b x則A， 有 A，A 即 均在上A可測(cè)，故 為A可測(cè)集 于是，§5.4. 廣義測(cè)度（簡(jiǎn)介）5.4.1. 廣義測(cè)度及 JordanHahn 分解定義5.4.1. 設(shè), A )是可測(cè)空間，集合函數(shù) A ，滿足：(1) ；(2) (可列可加性) 若為A中兩兩不交的集列， 則 ；稱為, A )上的一個(gè)廣義測(cè)度 若 ，稱為有限廣義測(cè)度； 若存在A，稱為有限廣義測(cè)度注：類似地，可給出廣義測(cè)度 A 的相應(yīng)

6、定義廣義測(cè)度不具有測(cè)度的全部性質(zhì)例如：(1)令，取Lebesgue 可測(cè)空間 定義：， 可驗(yàn)證是上的一個(gè)廣義測(cè)度(2) 取測(cè)度空間, A, ， f為X上的A可測(cè)函數(shù)， 且 定義 ，A ) 則是, A )上的廣義測(cè)度 特別，若 ，則是, A )上的有限廣義測(cè)度 定義5.4.2. 設(shè)為, A )上的一個(gè)廣義測(cè)度集A 滿足： A有 ，則稱E為關(guān)于的正定集（負(fù)定集）引理1若 為的正（負(fù)）定集，則A， 集合 均為的正（負(fù)）定集證：A，有 正定定理5.4.1. (1) （Hahn分解） 設(shè), A, ) 是廣義測(cè)度空間， 存在A， 使E為正定集，為負(fù)定集(2) （Jordan分解）, A )上的任一廣義測(cè)度

7、均可分解為 ，其中為A上的測(cè)度，且是有限測(cè)度進(jìn)而，若為有限（或有限）廣義測(cè)度，則為有限（或有限）測(cè)度 的上變差； 的下變差證：(1) 令 A為負(fù)定集，為負(fù)定集)則存在負(fù)定集列取 ，則B為負(fù)定集， 令 ，可證E為正定集， 為負(fù)定集（證略）(2) 取上述關(guān)于的Hahn分解 ，其中E為正定集，為負(fù)定集 令 ，A ) 則 ， 即 是測(cè)度，是有限測(cè)度進(jìn)而，若是有限廣義測(cè)度，則，為有限測(cè)度注：一般來(lái)說(shuō)，Hahn分解并非唯一如上例(2)中的定理中由Hahn分解導(dǎo)出的Jordan 分解不隨Hahn分解的改變而改變即若 為的兩個(gè)不同的Hahn分解，其中 為正定集，為的負(fù)定集 則 ，A )（反證法：假設(shè)，正定集）

8、從而 ，但 是負(fù)定集，矛盾兩個(gè)等式成立）若 是, A )上的兩個(gè)測(cè)度，且 有限，令 A ) 可以驗(yàn)證是, A )上的廣義測(cè)度；當(dāng) 有限（或有限）時(shí)，也有限（相應(yīng)地有限）5.4.2廣義測(cè)度的絕對(duì)連續(xù)定義5.4.3. 設(shè)為, A )上的廣義測(cè)度，令 A )， 即 ，稱為的全變差（測(cè)度）為, A )上的測(cè)度；若有限（或有限），則也有限（相應(yīng)地有限）定義5.4.4. （絕對(duì)連續(xù)） 設(shè)是, A )上的廣義測(cè)度，若 ，則稱關(guān)于絕對(duì)連續(xù)，記作 引理2設(shè)是, A )上的廣義測(cè)度，以下三條等價(jià)：(1) ； (2) ，； (3) 定理5.4.2. 設(shè)是, A )上的廣義測(cè)度，且有限，則 A， 時(shí)，有 證：“”反證

9、法假設(shè) 不成立A，使 取 ，矛盾“”要利用RN 定理，略5.4.3RadonNikodym 定理引理3設(shè)是, A )上的有限測(cè)度，且 則 A，使得 ，且A是關(guān)于廣義測(cè)度 的正定集證：令 是, A )上的有限廣義測(cè)度，關(guān)于存在Hahn分解 正定集，負(fù)定集)， 記 ， 則 由于負(fù)定集，故 ，即 令 ，得 已知 由 得 于是， （是正測(cè)度）故 取 即可*定理5.4.3（RadonNikodym定理） 設(shè)與分別為, A )上的有限廣義測(cè)度與有限測(cè)度若，則存在X上a.e. 有限的可測(cè)函數(shù)， 滿足 ，A )且在等價(jià)的意義下是唯一的（即若滿足A )， 則 ）注：記 ，稱為關(guān)于的 RadonNikodym (

10、RN) 導(dǎo)數(shù)證：若A )，則取 即可 下設(shè) 以下從特殊到一般，分三步證明第一步設(shè)是有限測(cè)度令 F 為非負(fù)A可測(cè)，且 A，因F，故F ， 且 存在 F， 使 令 則 在X上非負(fù)可測(cè)， 且存在兩兩不交的 A， 滿足 ， 于是，A )亦即 F再令 ， 則在X上非負(fù)可測(cè)， 且 ， 由Levi 定理知，F(xiàn)， 且 下證即為所求注意到F，即 A ) 由 故在X上有限 令 ，A )則 是, A ) 上的測(cè)度， 由 知 而 ， 知 是有限測(cè)度 下證： （即得 A） 這等價(jià)于 ，（是測(cè)度）采用反證法若不然，則由引理3知，存在與A，使 且 A是正定集， 即A )亦即A )令 則 g是X上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)， A， 有

11、（F ）故 F 另一方面， 這與的定義矛盾第二步設(shè)是有限廣義測(cè)度，是有限測(cè)度由Jordan分解知，為有限測(cè)度，且，據(jù)第一步結(jié)論，使 ， A )令 ，則， 且A )第三步設(shè)是有限廣義測(cè)度，是有限測(cè)度是廣義測(cè)度，具有性質(zhì)：A， 由均為有限易知，存在兩兩不交的 A，且 令 ，A )， 則 分別為有限廣義測(cè)度與有限測(cè)度對(duì)于，由于 知， 即 由第二步結(jié)論，使，A ) 得，從而有限再令 因兩兩不交，知為X上的 有限的可測(cè)函數(shù)，且 ，從而 ，A )但 于是 ， 得在X上關(guān)于的積分存在（可能為）， 從而有 ，A )在等價(jià)意義下，的唯一性是顯然的（書上，錯(cuò)誤）注：我們稱實(shí)數(shù)域R具有RadonNikodym 性質(zhì)

12、 (RNP)復(fù)測(cè)度與復(fù)積分：定義1設(shè), A ) 為可測(cè)空間，復(fù)函數(shù)，其中 為, A )上實(shí)可測(cè)函數(shù)，稱為復(fù)可測(cè)函數(shù)若是, A )上的測(cè)度，A 上積分存在（或可積），則稱在E上積分存在（或可積），且定義定義2設(shè), A ) 為可測(cè)空間，復(fù)集合函數(shù) A 滿足：(1) ；(2) (可列可加性) 若為A中兩兩不交的集列， 則 ；稱為, A )上的一個(gè)復(fù)測(cè)度注：(A) 在RN定理中，若為復(fù)測(cè)度，則定理依然成立，其中為復(fù)值可積函數(shù)(B) 在概率論中，設(shè)F是樣本空間S上的一個(gè)事件域（代數(shù)），則 F )是一個(gè)可測(cè)空間若F 是一個(gè)概率測(cè)度，則F, 是概率測(cè)度空間若是復(fù)隨機(jī)變量，則要用到復(fù)積分第五章習(xí)題4設(shè), A

13、是測(cè)度空間，A，為E上a.e. 有限的可測(cè)函數(shù)列證明：證：“”設(shè) 固定 時(shí)， 從而 ， “” 設(shè) ，由于 先取 ； 后對(duì)此，選 時(shí)， 于是，當(dāng) 時(shí)， ，7設(shè), A, 為一測(cè)度空間， 證明：證： 由于 ， ， 故 11設(shè), A, 為一測(cè)度空間，為X上可測(cè)函數(shù)，A 證明：(1) 若 E，且 存在，則 ；證：利用 令 則兩兩不交， ， 據(jù) 有：(2) 若 E，且， 則 證：利用Lebesgue 控制收斂定理于可測(cè)，且， 而 （控制函數(shù)）E，()， 故錯(cuò)誤：E， . (見測(cè)度性質(zhì)(6)，上半連續(xù)性有條件成立)如：取，在上定義測(cè)度為 (勢(shì))， ().取 ，而 ，而 14（Hölder 不等式）15（Minkowski 不等式）23設(shè)證明：，存在多項(xiàng)式P，使 證：分三步逼近：簡(jiǎn)單函數(shù)連續(xù)函數(shù)多項(xiàng)式第一步根據(jù)積分的定義，對(duì)于，存在簡(jiǎn)單函數(shù)，使第二步記 根