數(shù)學(xué)：一《平行線等分線段定理》教案2(新人教A版選修4-1)

1、平行線等分線段定理【教學(xué)目標(biāo)】1識(shí)記并掌握平行線等分線段定理及其推論，認(rèn)識(shí)它的變式圖形； 2能運(yùn)用平行線等分線段定理任意等分已知線段，能運(yùn)用推論進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明或計(jì)算； 3培養(yǎng)學(xué)生化歸的思想、運(yùn)動(dòng)聯(lián)系的觀點(diǎn)?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】平行線等分線段定理及推論的應(yīng)用【教學(xué)難點(diǎn)】平行線等分線段定理的證明【教學(xué)方法】引導(dǎo)·探究·發(fā)現(xiàn)法【教具準(zhǔn)備】三角板、矩形紙片、印有等距離平行線的作業(yè)紙、電腦、實(shí)物投影儀、自制課件等【教學(xué)設(shè)計(jì)】一、實(shí)際問(wèn)題，導(dǎo)入新課 1問(wèn)題：不用其它工具，你能用一張矩形紙片折疊出一個(gè)等邊三角形嗎？ABCDNMBCDNPEGF2折法：（教師演示，學(xué)生動(dòng)手） ·先將矩形（

2、ABCD）紙對(duì)折， 得折痕MN（如圖1）； ·再把B點(diǎn)疊在折痕MN上， 得到RtBEP（如圖2）； ·最后沿EP折疊，便可得到 （如圖1） 等邊BEF（如圖2）。 （如圖2）3導(dǎo)入：為什么這樣折出的三角形是等邊三角形呢？通過(guò)今天這節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們將從理論上解決這一問(wèn)題。二、復(fù)習(xí)引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)定理 1復(fù)習(xí)提問(wèn) （1）你能用尺規(guī)作圖將一條線段2等分嗎？4等分呢？你還會(huì)將一條線段幾等分？ （2）你能用尺規(guī)作圖將一條線段3等分嗎？能否將一條線段任意等分呢？ 師：為了回答第2個(gè)問(wèn)題，讓我們先來(lái)做一個(gè)實(shí)驗(yàn)。 2操作實(shí)驗(yàn)請(qǐng)同學(xué)們用老師發(fā)下的、印有等距離平行線的作業(yè)紙和刻度尺做以下實(shí)驗(yàn)：（1）

3、畫(huà)一條與這組平行線垂直的直線l1，則直線l1被這組平行線截得的線段相等嗎？為什么？（2）任意畫(huà)一條與這組平行線相交的直線l2，量一量直線l2被這組平行線截得的線段是否相等。3引導(dǎo)猜想引導(dǎo)：在上面的問(wèn)題中，已知條件是什么？得到的結(jié)論是什么？你能用文字語(yǔ)言表述嗎？ 猜想：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。 4驗(yàn)證猜想 教師用幾何畫(huà)板驗(yàn)證同學(xué)們剛才做實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論（猜想）。三、歸納探究，證明定理（圖1） 1歸納：如果以3條平行線為例證明上面的猜想，你能根據(jù)圖1寫(xiě)出“已知”和“求證”嗎？ 已知：直線a / b / c，AB = BC（如圖1） 求證：

4、A'B' = B'C'。2探究：（1）不添加輔助線能直接證明嗎？ （2）四邊形ACC'A' 是什么四邊形？ （3）在梯形中常作什么樣的輔助線？（圖2）DE3證明：根據(jù)學(xué)生提供的證明方法，完成證明。 證法一：（略）參見(jiàn)課本P176的證法。證法二：過(guò)A'、B' 點(diǎn)作AC的平行線，分別交直線b、c平行線等分線段定理： 如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。 于D、E（如圖2）。（以下證明略）注1 結(jié)論與直線A'C' 的位置無(wú)關(guān)；注2 對(duì)于3條以上的平行線組，可用同樣的方法證

5、明（說(shuō)明證法二更具一般性）。 4定理： 推理形式：a / b / c，AB = BC， A'B' = B'C'。四、圖形變式，引出推論 1隱線變式，得推論1在圖1中，隱藏直線a、b、c，得梯形ACC'A'（如圖3）。這時(shí)定理的條件、結(jié)論各是什么？條件：在梯形ACC'A'中，AB=BC，AA' / BB' / CC'。 結(jié)論：A'B' = B'C'。推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，與底邊平行的直線必平分另一腰。 （圖3） （圖4） （圖5） （圖6） 2運(yùn)動(dòng)變式，得推論2既然定理的

6、結(jié)論與被截直線的位置無(wú)關(guān)，將直線A'C' 平行向左移動(dòng)，得到變式圖形4。這時(shí)定理在ACC' 中的條件、結(jié)論各是什么？條件：在ACC' 中，BB' /CC'，AB=BC。 結(jié)論：A'B' = B'C'。推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)，與另一邊平行的直線必平分第三邊。3變換圖形，深化理解如果將直線A'C' 繼續(xù)向左平行移動(dòng)（如圖5、6），這時(shí)定理的條件、結(jié)論有什么變化？五、運(yùn)用新知，解決問(wèn)題 1應(yīng)用定理，等分線段 （1）已知線段AB，你能它三等分嗎？依據(jù)是什么？ （圖7） 已知：線段AB（如圖7）。 求作

7、：線段AB的三等分點(diǎn)。 作法：（略。見(jiàn)圖8） （師生同步完成作圖過(guò)程） 注作圖題雖不要求寫(xiě)作法，但最后的結(jié)論一定要寫(xiě)出。 （2）你還能將已知線段幾等分呢？能任意等分嗎？ （圖8） 2應(yīng)用推論，分解圖形例1已知：如圖9，在ABCD中，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)， CM、AM分別交BD于E、F。 求證：BE = EF = FD。 分析：（1）根據(jù)條件，你能得到哪些平行線？ （圖9） （2）在圖9中，有哪些與推論有關(guān)的基本圖形？ 證明：（略。過(guò)程由學(xué)生自己完成）例2已知：如圖10，ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O， 過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、O分別作直線a的垂線，垂足 分別為A'、B'

8、、C'、D'、O'。 求證：A'D' = B'C'。 分析：（1）你能在圖10中找到幾個(gè)與推論有關(guān)的基本圖形？ （圖10） （2）在直線a上，有哪些線段是相等的？根據(jù)是什么？ 證明：（略。過(guò)程由學(xué)生自己完成） 思考：若去掉條件“AC、BD交于點(diǎn)O”，結(jié)論是否成立？ 3你能運(yùn)用今天所學(xué)知識(shí)，解決本課開(kāi)始提出的“折等邊三角形”問(wèn)題嗎？六、課堂小結(jié)，提煉升華1理解一個(gè)定理平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等， 那么這組平行線在其他直線上截得的線段也相等。2掌握兩個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，與底邊平行的直線必平分另一

9、腰。推論2：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)，與另一邊平行的直線必平分第三邊。3了解三種思想化歸思想定理證明是通過(guò)作輔助線，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形全等的知識(shí)解決； 兩個(gè)例題也是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩種基本圖形來(lái)解決。 運(yùn)動(dòng)思想兩個(gè)推論是通過(guò)定理圖形運(yùn)動(dòng)到特殊位置得到的，因此推論是定理的特殊表現(xiàn)形式。辯證思想定理是由特殊（三條平行線）推廣到一般； 應(yīng)用定理則是將一般情況運(yùn)用到特殊（具體）問(wèn)題之中。七、達(dá)標(biāo)檢測(cè)，回授效果 1已知：如圖11，在梯形ABCD中，AB/CD，E是CD的中點(diǎn)， EF/BC交AB于F，F(xiàn)G/ BD交AD于G。 求證：AG = DG。 2如圖12，在ABC中，D是AB的中點(diǎn)，DE/BC交AC于E， （圖11） EF/AB交BC于F。 （1）求證：BF=CF； （2）圖中與DE相等的線段有 ； （3）圖中與EF相等的線段有 ； （4）若連結(jié)D