數(shù)學(xué)：2.1.2正弦定理（二） （北師大版 必修5）

1、2.1.2正弦定理（二）知識(shí)梳理1.在中，A>Ba>bsinA>sinB2.在中，A+B+C=, ,3.若為銳角，則A>-BsinA>cosBcosA<sinB4.=ah( h表示a邊上的高)5.正弦定理的另一個(gè)作用是能夠進(jìn)行邊角互化，應(yīng)用此法可根據(jù)條件判斷三角形形狀或證明三角形中的公式，但要注意三角形和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。題型一 判斷三角形的形狀【例1】在中，已知，試判斷的形狀【解】令，由正弦定理，得代入已知條件，得，即tantantan又， （，），所以，從而為正三角形點(diǎn)評(píng): 判斷三角形的形狀，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系，角與角的大小關(guān)系，是否角相等？

2、有無(wú)直角或鈍角?一般有兩種轉(zhuǎn)化方向，要么轉(zhuǎn)化為邊，要么轉(zhuǎn)化為角。通過(guò)正弦定理，可以實(shí)現(xiàn)邊角互化題型二 正弦定理的應(yīng)用例2. 在中，tanA=,tanB=,且最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為l,求：（1）角C,（2）最短邊的長(zhǎng)解：（1） tan（A+B）=1,C=（2）tanA>tanB，且C為鈍角，故b最小，c最大，由tanB=得sinB=由正弦定理得，最短邊長(zhǎng)b=l點(diǎn)評(píng): 利用正弦定理解三角形中，要注意三角形和三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)。備選題 正弦定理的綜合應(yīng)用例3 已知ABC的面積為1，tanB=,tanC=-2,求ABC的邊長(zhǎng)以及ABC外接圓的面積。解： tanB=，0<B<sinB=.cosB

3、=又tanC=-2,<C<sinC=,cosC=則sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=()+=, a=b則S=absinC=b=1解得b=,于是a=再由正弦定理得c=外接圓的直徑2R=R=,于是外接圓的面積的面積S=點(diǎn)評(píng) 綜合應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦定理和三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算。點(diǎn)擊雙基1在ABC中，角均為銳角，且則ABC的形狀是（ ）A直角三角形 B銳角三角形 C鈍角三角形 D等腰三角形 解 都是銳角，則答案C2.在中，則 ( )A B C D解： A=120,B=C=30 答案：D3在ABC中，若，則ABC的形狀是（ ）A直角三角形 B等腰或直

4、角三角形 C不能確定 D等腰三角形 解. 答案:B 4.在ABC中，若則一定大于，對(duì)嗎？填_（對(duì)或錯(cuò)）解： 則答案 對(duì)5在ABC中，若_。解：答案：課后作業(yè)一、選擇題1在ABC中，若，則ABC的形狀是（ ）A直角三角形 B。等腰或直角三角形 C。等腰直角三角形 D。等腰三角形解：a=b+cA=90B+C=90,cosC=sinB又 sinB=,B=45=C答案：C2. 在ABC中，已知b = 6，c = 10，B = 30°，則解此三角形的結(jié)果是 （ ） A.無(wú)解 B.一解 C.兩解 D.解的個(gè)數(shù)不能確定解：=， sinC=,有兩解答案：C 3. 已知ABC中，三角形面積，則角A等于

5、（ ）A. B. C. 或 D. 或解：由可得，或.答案：D4.已知ABC中，abc12，則ABC等于( )A123 B231 C132 D312解：abc12c=a+bABC是直角三角形且C=90，A=30,B=60答案：A5在ABC中，若，則ABC的形狀是（ ）A直角三角形 B等邊三角形 C不能確定 D等腰三角形 解： ，答案：等腰三角形6在ABC中，A=60°, a=, b=4, 那么滿足條件的ABC ( )(A) 有 一個(gè)解 (B) 有兩個(gè)解 (C) 無(wú)解 (D)不能確定解：bsinA=2 a< bsinA 不能構(gòu)成三角形答案：D7. 已知、為的三個(gè)內(nèi)角、的對(duì)邊，向量，

6、若，且，則角、的大小分別為（ ）A B C D解： ，又，.答案：C8.ABC中，則ABC的周長(zhǎng)為（ ）A BC D解：在中，由正弦定理得：化簡(jiǎn)得AC=，化簡(jiǎn)得AB=，所以三角形的周長(zhǎng)為：3+AC+AB=3+=3+。答案：D二、填空9.在中，若，且，則 ， ， 解：a:b:c=4:5:64 ，5 ，6 10若在ABC中，則=_。解： 答案：11.在銳角中，則的值等于 ，的取值范圍為 . 解: 設(shè)由正弦定理得由銳角得，又，故，答案：2，三解答題12. 在ABC中，已知=,且sinAsinB=sinC,判斷ABC的形狀。解：由= b-a=ab又sinAsinB=sinC，由正弦定理得ab=c b-a=c即 b=a+cABC為直角三角形13. 在中，.（1）求角C的大??；（2）若的最長(zhǎng)邊為，求最短邊的長(zhǎng).解：（1），=又角C為的內(nèi)角，.（2），為最長(zhǎng)邊，又，、 ，角最小，邊最短，由得，由正弦定理：，得所以最短邊的長(zhǎng)為.14.已知ABC的三個(gè)內(nèi)角A、BC成等差數(shù)列，其外接圓半徑為1，且有。（1）求A、BC的大??；（2）求ABC的的面積。解：A+B+C=180°且2B=A+C，B=60°，A+C=120°，C=120°A。，=， 又0°<A&