2020年中考數(shù)學(xué)壓軸專題圓的證明與計(jì)算

1、中考數(shù)學(xué) 壓軸專題 圓的證明與計(jì)算(含答案)1. 如圖，在 4ABC中，AABC=90O, D是邊AC上的一點(diǎn)，連接 BD,使那=241, E是BC上的一點(diǎn)，以 BE為直徑的4O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.(1)求證：AC是4O的切線；(2)若"=60。，4O的半徑為2,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留根號(hào)和 兀)/I證明：如解圖，連接OD, OB = OD, AA1=AODB , ADOC= A1+ AODB =2A1,又那= 2A, AADOC = AA, AABC=90°, A+AC= ADOC + AC=90°, ODC=90°,即 ODAAC, 點(diǎn)D在AO上，OD是

2、半徑， AC是AO的切線；(2)解：AAA=60°, DOE=60°, C=30°,在 RtRCD 中，OD=2, CD = OD tan60 2y3,S 陰影=Socd S扇形 ODE = 1X 2 W360去二乙 273-I 2360,32.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的AO上，AD與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為 D, AD交40于點(diǎn)E.(1)求證：AC平分ADAB;一，.4 AF(2)連接BE交AC于點(diǎn)F,若cosHAD=£,求左的值.5 FCD第2題圖 證明：連接OC,如解圖,第2題解圖CD是40的切線, OCACD,AD ACD,OC AAD, ADA

3、C = AOCAOC = OA, CA= AOAC, ADAC = AOAC, AC 平分 ADAB;(2)解：如解圖,連接BC,第2題解圖AB是AO的直徑, AACB = 90°, cos zCAD=4,5'3設(shè) AD = 4x,則 AC=5x, CD = 3x, tanDAC = * AEBC=ADAC,由（1）得，ABAC = ADAC , AEBC= ABAC, tan EBC = tan ZBAC = tan ZDAC = 3,4CF BC 3 BL Ab 4， BC CF 3TaCF _9 aCF 9 aAE 7 aC=16，AAF = 7 fC=9.3.如圖，已

4、知。的直徑CD=6, A, B為圓周上兩點(diǎn)，且四邊形 OABC是平行四邊形，過(guò)A點(diǎn)作直線 EF/BD,分別交 CD、CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E, F, AO與BD交于G點(diǎn).(1)求證：EF是4O的切線;(2)求AE的長(zhǎng).證明：4CD是4O的直徑， ABDACB.在平行四邊形 OABC中，OACB, AOAABD,XAEFABD, AOA AEF ,OA是4O的半徑，4EF是&O的切線；(2)解：四邊形OABC是平行四邊形，在 4O中，OA=OC,四邊形OABC是菱形，如解圖，連接 OB,則OB=OC=BC,第3題解圖即OBC是等邊三角形. 3 = 60°, AAAOE=60

5、6;,在 RtMOE 中，AE = AO - tanAOE = 373.4. 如圖，在 Rt9BC中，C=90°,以BC為直徑的4O交AB于點(diǎn)D,切線DE交AC于點(diǎn)E.(1)求證：AA=AADE;(2)若 AD = 16, DE = 10,求 BC 的長(zhǎng).第4題圖(1)證明：如解圖，連接 OD, DE是40的切線，AODE= 90 , ADE + ABDO = 90 . MCB = 90 AA+ AB= 90°,又OD=OB, AB= ABDO, 加=AADE;(2)解：如解圖，連接CD,第4題解圖 "DE= AA, *E=DE, BC 是 AO 的直徑，ACB=

6、90°, EC是AO的切線， DE = EC, AE=EC,又DE = 10, AC=2DE=20,在 RtMDC 中，DCnOW2 =12,設(shè) BD = x.在 Rt 旭DC 中，BC2=x2+122,在Rt必BC中,BC2= (x+ 16)2202, x2+ 122=(x+ 16)2 202,解得x= 9, BC = 122+ 92= 15. . 如圖，已知 AB是AO的直徑，CD與AO相切于 C, BEACO.求證：BC是AABE的平分線;(2)若 DC = 8,O的半徑CB= AEBC(1)證明：BE4CO,OC = OB, CB= AOBC, BC= AEBC,BC是&qu

7、ot;BE的平分線；(2)解：設(shè) AD = x,則 DO = x+6,CD 是 AO 的切線, ACD ACO , ADCO= 90°,在 Rt ZDCO 中，有 DC2+CO2=DO2, 82+ 62= (x+ 6)2,解得 x=4,DO = 10,CEBOCO ABE, dc = DO，CE 624而ACE=T- . 如圖，在 ABC中，AB=AC,以AB為直徑的OO交AC邊于點(diǎn) D ,過(guò)點(diǎn)C作CF /AB,與過(guò)點(diǎn)B的切線交于點(diǎn) F,連接BD.(1)求證：BD = BF;(2)若 AB=10, CD = 4,求 BC 的長(zhǎng).證明：ABF是AO的切線, AABF = 90°

8、;, CFAAB, AF = 90°, AABC= AFCB,AB>AO的直徑， AADB = BDC = 90°, AF= ABDC, AB = AC, AABC= AACB, AACB=AFCB,在ABCD和ABCF中，ZF = ABDCZFCB = ADCB,BC=BC ABCDAABCF(AAS), BD = BF;(2)解:AAB=AC, AB=10, AC= 10, CD = 4, AD = 6,在RtMDB中，由勾股定理得 BD = /l02-62 = 8, 在Rt旭CD中，由勾股定理得 BC = ->J82+ 42=475, BC的長(zhǎng)為475.7

9、. 如圖，在 AO中，AC與BD是AO的直徑，BEAAC, CFABD,垂足分別為 E, F.(1)四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由;(2)求證：BE=CF.第7題圖(1)解：四邊形ABCD是矩形，理由如下： AC與BD是4O的直徑， AABC=AADC = 90°, ABAD = ABCD = 90 °, 四邊形ABCD是矩形；(2)證明：ABEAAC, CFABD, ABEO= ACFO = 90°,在ABOE和COF中，ZBEO = ACFOBOE = ACOF,OB=OC ABOEACOF(AAS).BE=CF.8.如圖，PB為AO的切線

10、，B為切點(diǎn)，直線 PO友NO于點(diǎn)E、F,過(guò)點(diǎn)B作PO的垂線BA,垂足為點(diǎn) D,交AO于點(diǎn)A,延長(zhǎng)AO與AO交于點(diǎn)C,連接BC, AF.(1)求證：直線PA為。的切線；_1(2)若 BC=6, tanF=2,求 AO 的半徑.證明：如解圖，連接 OB,第8題解圖PB是4O的切線， APBO = 90°,OA = OB , BA APO 于點(diǎn) D , AD = BD,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，即OP垂直平分AB, AAOP= ABOP,在APAO和PBO中，OA=OBAOP= ABOP,OP=OP APAOAAPBO(SAS), APAO=APBO= 90°, OA為2O的半徑，直線P

11、A為AO的切線;(2)解：OA=OC, AD = BD, BC=6,A 1 OD = /BC=3,設(shè) AD = x,rADx 1貝“tanF = =人taDF DF 2, DF = 2x, AOA = OF = 2x 3,在Rt MOD中，由勾股定理得(2x 3)2= x2+32,解得xi = 4, x2=0(不合題意，舍去)， OA=2x 3=5,即AO的半徑為5. 1= ABCD.9 . 如圖，AB是AO的直徑，弦 CD祥B于點(diǎn)E,點(diǎn)P在4O上,(1)求證：CBAPD;(2)若 BC=3, sin ZBPD = 3,求 AO 的直徑.5第9題圖(1)證明：ABPD=BCD, 1= ABCD

12、, 1= ABPD,CBAPD;(2)解：如解圖，連接AC,第9題解圖AB是AO的直徑, AACB = 90°, CDAAB,BD = BC, ABPD= ACAB,3 sin BPD = sin £AB = 5,BC_3 即 AB 5, BC=3, AB=5,即4O的直徑是5.10 .如圖，AB是AO的直徑，點(diǎn)P是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切。于點(diǎn)C,在線段PA上截取PD = PC,連接CD并延長(zhǎng)交4O于點(diǎn)E,連接BC、BE.(1)求證：AABE= ABCE;5.(2)若。的半徑為BC=3,求tan BEC的值.證明：如解圖，連接 CO并延長(zhǎng)交 4 于點(diǎn)F,連接BF,則BFC

13、=BEC, AFBC = 90° .第10題解圖PD = PC, APDC= APCD.PC切AO于點(diǎn)C, APCB+ ABCF= 90°,又BFC+ BCF = 90 °, APCB= ABFC, APCB= ABEC. AABE= APDC -ABEC, ABCE = APCD - APCB , AABE= ABCE;(2)解:BC=3, CF = 2OC=5, 在Rt ABCF中，由勾股定理得，BF =qCF21BC2 =4,BC 3 tan BFC = B=4，由(1)知BFC = BEC, tan BEC = tan ZBFC = 3.411.如圖，AB

14、是AO的直徑，點(diǎn) C是AO上一點(diǎn)，AD和過(guò)點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為D,直線DC與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) P,弦CE平分"CB,交直徑AB于點(diǎn)F,連接BE.(1)求證：AC平分ADAB;3(2)若 tan ZPCB=0 BE = 5成，求 PF 的長(zhǎng).DE第11題圖證明：如解圖，連接OC, OA = OC, OAC= AOCA, PC是NO的切線，且AD ACD, OCP= AD=90°, OC AAD, CAD = AOCA = AOAC ,即 AC 平分 ADAB;(2)解：如解圖，連接AE,第11題解圖弦CE平分AACB, AACE= ABCE,AE=BE,AE=BE,

15、 又AAB是直徑, AAEB=90°, AB=72BE= 10, OB = OC=5, APCB= APAC, AP= AP,PB BC APCBAAPAC, PC CA八 3 A PB BC 3 tan PCB = tan Jcab = 4，aPC=CA=45設(shè) PB = 3x,貝U PC=4x,在Rt Z2POC中，根據(jù)勾股定理得，(3x+ 5)2 = (4x)2+ 530解得 x1 = 0, x2 = y.人人 30120x>0, Ax= , PC = -7-,又PCBMPAC, BCE=AACF, APCB+ ABCE=APAC+ AACF ,即 ZPCF=APFC,P

16、F=PC=120B, AC經(jīng)過(guò)圓心O并與圓相交于點(diǎn)D、C,過(guò)C作直線CEAAB,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.12.如圖，已知 AABC的邊AB是4O的切線，切點(diǎn)為(1)求證：CB平分AACE;(2)若 BE=3, CE = 4,求 AO 的半徑.第12題圖(1)證明：如解圖，連接 OB,第12題解圖 AB是AO的切線， OBAAB, CEAAB, OB ACE, 1= A3, OB = OC, 1= A2, 2= A3, CB 平分 AACE;(2)如解圖，連接BD, CEAAB, AE=90°, BC= BE2+ CE2= 132+ 42= 5, CD是AO的直徑， ADBC = 90&

17、#176;, AE= ADBC, ADBCAABEC,CD _ BCbc = ce' BC2= CD CECD =5225OC = 1CD = 21, 2 o25 4的半徑為v o13.如圖，AB為AO的直徑，直線 CD切40于點(diǎn) M, BE4CD于點(diǎn)E.(1)求證：BME=AMAB;(2)若 BE=158, sin BAM = |,求 A0 的半徑.證明：如解圖，連接0M, 直線CD切40于點(diǎn)M , 0MD =90°,第13題解圖 ABME+ A0MB =90°, AB為40的直徑， AAMB= 90°, AAM0 + A0MB = 90°,

18、ABME= AAM0 . 0A = 0M MAB= AAMO . ABME= AMAB ;(2)解：由(1)可得，BME=MAB. sin BAM =|, sin BME = |, 5，5，在 Rt 旭EM 中，BE= v, sin BEM =整=3. ZBM = 6, 5BM 5在Rt必BM中, sin BAM =7- = 3. ZAB= 5 BM = 10. AzO 的半徑為 5.AB 514.如圖，在AABC中,AB=AC,以AB為直徑的AO與BC交于點(diǎn)D,D作4O的切線交AC于點(diǎn)E.25(1)求證：AABD=AADE;(2)若AO的半徑為21, AD = 20,求CE的長(zhǎng). 63第14題圖(1)證明：如解圖，連接 OD.第14題解圖DE 為 4O 的切線， 4OD 4DE , AADO+ AADE = 90° .AAB為AO的直徑， AADB = 90°, AAD